2022年秋高中數(shù)學章末素養(yǎng)提升1第一章空間向量與立體幾何課件新人教A版選擇性必修第一冊

1、第一章空間向量與立體幾何章末素養(yǎng)提升| 體 系 構 建 | | 核 心 歸 納 | 1空間向量的有關概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一個平面的向量2空間向量中的有關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使得ab(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向

2、量p，存在唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空間的一個基底兩向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運算律(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac4空間向量的坐標表示及其應用設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)5空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面的法向量顯然

3、一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmnm0| 素 養(yǎng) 提 升 | 素養(yǎng)1數(shù)學運算角度1基向量的運算如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60(1)求AC1的長；(2)求異面直線BD1與AC夾角的余弦值基向量運算的注意點(1)基向量的選擇：三個向量不共面且模和夾角已知或能求，使下一步的計算成為可能(2)基向量的運

4、算常常與共線向量定理、共面向量定理、平面向量基本定理等相結合，各個定理要理解準確(3)加減運算中注意表示向量的字母規(guī)律，數(shù)量積運算中注意兩向量夾角的確定(2)證明：AA1底面ABC，AA1AC，AA1ABac0，ab0AB1BC1，(ab)(acb)0|a|2|b|2acbc|a|2|b|2bc0A1CBC1，(ca)(acb)0，|c|2|a|2bc0|b|2|c|2，|b|c|，即ABACAB1A1C角度2坐標運算如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)為A1B1的中點(1)求證：DEC1F；(2)求異面直線A1C與C1F所成角的余弦值2如圖，已知四棱錐PAB

5、CD的底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(1)求證：PA平面BDE；(2)求二面角BDEC的余弦值(1)證明：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PDDC2，則A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，素養(yǎng)2邏輯推理如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，P為側棱CC1上一點(1)求證：側棱CC1上不存在點P使B1P平面ABB1A1(2)CC1上是否存在點P使得B1PA1B？若存在，確定PC的長；若不存在，說明理由(1)證明：(反證法)若CC1上存在點P，使B

6、1P平面ABB1A1，則平面BCC1B1平面ABB1A1又BCBB1，BC平面ABB1A1BCAB，與題意矛盾CC1上不存在點P使B1P平面ABB1A1巧用空間向量證明空間中的位置關系(1)線面平行：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；可在平面內找到一個向量，證明其與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內兩不共線向量線性表示(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量平行；利用線面垂直的性質定理轉化為線線垂直問題(3)面面平行：證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉化為線面平行、線線平行問題(4)面面垂直：證明兩個平面的法向量互相垂直；轉化為線面

7、垂直、線線垂直問題3如圖，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ADCDCB90，AD1，BC3，PCCD2，PC底面ABCD，E為AB的中點求證：(1)AD平面PCB；(2)平面PDE平面PAC證明：(1)ADCDCB90，ADBC，且AD平面PCB，BC平面PCBAD平面PCB(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，| 鏈 接 高 考 | (2020年浙江)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC(1)求證：EFDB；(2)求直線D

8、F與平面DBC所成角的正弦值線面角圖1 方法二，由三棱臺ABCDEF，得DFCO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為如圖2，以O為原點，分別以射線OC，OD為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成的角的求法，意在考查學生的直觀想象能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎題面面角(2)取A1B的中點E，連接AE，因為AA1AB，所以AEA1B又因為平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，且AE平面ABB1A1，所以AE平面A1BC在直三棱柱ABCA1B1C1中

9、，BB1平面ABC，由BC平面A1BC，BC平面ABC，得AEBC，BB1BC又因為AE，BB1平面ABB1A1且相交，所以BC平面ABB1A1所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，【點評】本題考查空間向量的相關計算，平面與平面所成的角的求法，能夠根據(jù)題意求出點D的坐標是解題的關鍵(2019年新課標)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(1)求證：MN平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離距離圖1 ME綉ND四邊形MNDE是平行四邊形，故MNED又MN平面C1DE，MN平面C1DE方法二，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分別