小波變換與多分辨分析課件

1、第七章 小波變換與多分辨分析 背景知識 子帶編碼 多分辨展開 小波變換 小波包1小波分析發(fā)展歷史1807年 Fourier 提出傅里葉分析 ， 1822年發(fā)表 “熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年 Haar 提出最簡單的小波1980年 Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨率分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關(guān)的領(lǐng)域。 2問 題1. 為什么要研究小波變換？優(yōu)點(diǎn)？2. 圖像如何進(jìn)行多分辨處理與

2、小波表示？3正弦波和小波（a） 正弦波曲線； (b) 小波曲線 45 與傅里葉變換相比，小波變換的優(yōu)點(diǎn)： 小波變換同時提供了信號的時間-頻率信息，而DFT只是提供了頻率信息。小波分析是利用多種 “小波基函數(shù)” 對 “原始信號” 進(jìn)行分解，而傅里葉變換的基函數(shù)為三角函數(shù)。 小波變換為原始信號提供了多分辨表達(dá)能力，在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。6圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換 傅里葉變換 余弦變換 正弦變換 圖像變換 哈達(dá)瑪變換 沃爾什變換 K-L變換 小波變換77.1 背景知識7.1.1 圖像金字塔 金字塔算法 一幅圖像的金字塔是一系列以金

3、字塔形狀排列的分辨率 逐步降低的圖像集合 一個金字塔圖像結(jié)構(gòu) 金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當(dāng)向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。8建立金字塔的方框圖9高斯和拉普拉斯金字塔編碼 首先對圖像用高斯脈沖響應(yīng)作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細(xì)節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進(jìn)行間隔采樣，細(xì)節(jié)并不會因此而丟失 。10 雙通道子帶編碼和重建 7.1.2 子帶編碼子帶：一幅圖像被分解成一系列帶限分量的集合，稱為子帶，它們可以重組在一起無失真地重建原始圖像。11子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組 二維子帶編碼和解碼12哈爾基函數(shù)是最古老也

4、是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達(dá)： T=HFHT其中，F(xiàn)是一個NN圖像矩陣，H是NN變換矩陣，T是NN變換的結(jié)果 7.1.3 哈爾(Haar)變換134x4 Haar變換矩陣1488的Haar變換矩陣為：15哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解 167.2 多分辨率展開 函數(shù)的伸縮和平移 給定一個基本函數(shù) ,則 的伸縮和平移公式可記為：17函數(shù)的伸縮和平移 18 序列展開 信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標(biāo)，ak是具有實數(shù)值的展開系數(shù)， 是具有實數(shù)值的展開函數(shù) 19尺度函數(shù)20 小波函數(shù) 給

5、定尺度函數(shù)，則小波函數(shù) 所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。 定義小波集合 ，21 令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系 22第一講核心知識點(diǎn)1小波變換與DFT變換相比優(yōu)點(diǎn)是什么？為什么引入圖象變換？2金字塔分解與子帶編碼的關(guān)系如何？ 3多分辨展開為什么引入尺度函數(shù)，尺度函數(shù)存在什么特點(diǎn)？小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關(guān)系是什么？237.3 一維小波變換 一維離散小波變換（DWT）24257.4 快速小波變換算法Mallat離散小波變換算法 26Mallat離散小波逆變換 277.5 二維離散小波變換對于MN的離散函數(shù)f(x,y)的離散小波變換對為：28二維離散小波變換的一次分解 29圖像的二維離散小波變換307.6 小波包分解31 思考：高頻成分Wj-1以及Wj-2可以繼續(xù)分解嗎？32小波包分解分析樹33小波包分解的頻譜分離特征34思考問題1？How to realize image denoising35思考問題2？如何去除文字信息得到比較清晰的企鵝圖片？36HOW To DO Inpainting?371 小波變換中為什么引入下采樣？正變換以及逆變換的物理含義是什