數(shù)學(xué)分析復(fù)旦數(shù)學(xué)系2004年上下冊課后習(xí)題答案版版ex14

1、PAGE PAGE 10第十四章 曲線積分、曲面積分與場論 習(xí) 題 14.1 第一類曲線積分與第一類曲面積分求下列第一類曲線積分：，其中是以為頂點的三角形；，其中為單位圓周；，其中為星形線；，其中為雙紐線；，為螺旋線的一段：。其中為曲線上相應(yīng)于從0變到1的一段??；，其中為球面和平面的交線。解（1） 。（2）。（3）令 ，則 ，于是 。（4）將表示為參數(shù)方程 ，再利用對稱性，就有。注 本題也可利用的極坐標(biāo)方程，得到 。（5）。 （6）。（7）因為在上成立，所以 。2. 求橢圓周的質(zhì)量，已知曲線在點處的線密度是。 解 質(zhì)量 。3. 求下列曲面的面積：包含在圓柱面 內(nèi)的部分；錐面被平面所截的部分；球

2、面包含在錐面內(nèi)的部分；圓柱面被兩平面所截部分；拋物面包含在柱面內(nèi)的那部分；環(huán)面 ，其中。解（1）。（2）聯(lián)立錐面與平面方程，消去，得到 ，這是所截的部分在平面上投影區(qū)域的邊界，它是個橢圓。記，再令，則區(qū)域與區(qū)域?qū)?yīng)，且, 于是所截部分的面積為 。（3）這部分球面在平面上的投影區(qū)域為 ，于是 。（4）圓柱面方程可寫成，區(qū)域，于是 。（5）方程可化為極坐標(biāo)方程，于是 。（6）由 ，可得 ，所以 。求下列第一類曲面積分：，其中是左半球面，；，其中是區(qū)域的邊界；，是錐面被柱面所截部分；，其中是圓柱面介于平面與之間的部分；，其中是球面；，其中是拋物面介于平面與之間的部分；，其中是螺旋面， 的一部分。 解

3、（1）由對稱性，。（2）設(shè)，則 。（3） 。（4）設(shè)，則 。（5）由對稱性，有，又由于 ，所以 。（6）由對稱性，有，再由，得到 。（7）由 ，得到 。于是 。5設(shè)球面的半徑為，球心在球面上。問當(dāng)何值時，在球面內(nèi)部的面積最大？并求該最大面積。解 不妨設(shè)的球心在，于是在球面內(nèi)部的曲面方程為 。將此方程與球面方程聯(lián)立，解得，這樣，在球面內(nèi)部的部分在平面上的投影為 ，從而面積為 。對求導(dǎo)，得，令，得到。由于，所以當(dāng)時，面積最大，面積最大值為 。6. 求密度為的拋物面殼的質(zhì)量與重心。解 質(zhì)量。設(shè)重心坐標(biāo)為，由對稱性，。 ,作代換 ，得到 ，于是 ，所以重心為。求均勻球面（半徑是，密度是1）對不在該球面

4、上的質(zhì)點（質(zhì)量為1）的引力。解 設(shè)球面方程為，質(zhì)點的坐標(biāo)為。在球面上處取一微元，面積為，它對質(zhì)點的引力為。由對稱性， 。令，得到，于是，在上述積分中，再令，得到，所以當(dāng)時，引力；當(dāng)時，引力。8設(shè)為連續(xù)函數(shù)，它在處有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。記為以點為中心，半徑為的球面，以及。（1）證明：；（2）若，求當(dāng)時無窮小量的主要部分。解（1）由于在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，成立。于是當(dāng)時，所以成立 。（2）令，則，其中。利用對稱性，有， 。由于，以代入，得到。由Taylor公式，即知當(dāng)時，無窮小量的主要部分為 。9. 設(shè)為上半橢球面（），為在點處的切平面，為原點到平面的距離，求。 解 因為橢球面在點的法向量為，所以切平面的方程為 ，從而原點到的距離為 。 令，則，由 ， ，得到 ，由此得到。注 本題也可由：投影到平面上來計算得到 。10. 設(shè)是單位球面。證明，其中為不全為零的常數(shù)，是上的一元連續(xù)函數(shù)。證 將坐標(biāo)系保持原點不動旋轉(zhuǎn)成坐標(biāo)系，使軸上的單位向量為，由于旋轉(zhuǎn)變換是正交變換，保持度量不變，所以球面上的面積元也不變。設(shè)球面上一點的新坐標(biāo)為，則，于是 。下面計算這一曲面積分。令球面的參數(shù)方程為，則，所以 。11設(shè)有一高度為（為時間）的雪堆在溶化過程中，其側(cè)面滿足方程（設(shè)長度單位為cm，時間單位為h）。已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)0.9）。問高度為130