微積分高等數(shù)學(xué)課件第講簡單常微分方程一課件

1、2022/10/11 第二十一講 簡單常微分方程(一)一、微分方程的基本概念二、一階常微分方程2022/9/271 第二十一講 2022/10/12 十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，而要根據(jù)具體問題的條件和某些物理定律，首先得到一個或幾個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知條件把未知函數(shù)求出來。一、微分方程的基本概念2022/9/272 十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理一2022/10/13重力切向分力解2022/9/273重力切向分力解2022/10/14根據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而

2、有微分方程初始條件定解條件定解問題2022/9/274根據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而有微分方2022/10/15 定義1: 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 稱為微分方程. 未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程. 未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如2022/9/275 定義1: 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程2022/10/16例如二階 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.定義2: ( 微分方程的階 )2022/9/276例如二階 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階2022/10/17 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整式的微分方程稱為線性微分方程.定義

3、3: ( 線性與非線性)2022/9/277 未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整2022/10/18定義4: ( 微分方程的解)稱為微分方程的通解. 微分方程的通解：2022/9/278定義4: ( 微分方程的解)稱為微分方2022/10/192022/9/2792022/10/110微分方程的特解： 一個常微分方程的滿足定解條件的解稱為微分方程的特解通解有時也寫成隱式形式稱為微分方程的通積分2022/9/2710微分方程的特解：通解有時也寫成隱式形式2022/10/1112022/9/27112022/10/112有n個定解條件2022/9/2712有n個2022/10/113 定義5: ( 積

4、分曲線 與積分曲線族)積分曲線族2022/9/2713 定義5: ( 積分曲線 與積分曲線2022/10/114二、 一階常微分方程的 初等積分法所謂初等解法,就是用不定積分的方法求解常微分方程.初等解法只適用于若干非常簡單的一階常微分方程,以及某些特殊類型的二階常微分方程.2022/9/2714二、 一階常微分方程的所謂初等解法,就2022/10/115(一) 變量可分離型(三) 一階線性方程(二) 可化為可分離變量(五) 全微分方程(四) 伯努利(Bernoulli)方程(六) 積分因子2022/9/2715(一) 變量可分離型(三) 一2022/10/116兩邊積分通解分離變量這兩個方程

5、的共同特點是變量可分離型(一) 分離變量法2022/9/2716兩邊積分通解分離變量這兩個方程的共同特2022/10/117(1) 解兩邊積分分離變量即2022/9/2717(1) 解兩邊積分分離變量即2022/10/118(分離變量時,這個解被丟掉了!)于是得到方程通解2022/9/2718(分離變量時,這個解被丟掉了!)于是得2022/10/119(2) 解分離變量兩端積分, 得通解奇異解2022/9/2719(2) 解分離變量兩端積分, 得通2022/10/120(二) 可化為可分離變量這兩個方程的共同特點是什麼 ? 可化為齊次型方程2022/9/2720(二) 可化為可分離變量這兩個方

6、程2022/10/121求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！2022/9/2721求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！2022/10/122分離變量兩端積分2022/9/2722分離變量兩端積分2022/10/123取指數(shù)并且脫去絕對值由此又得到通解2022/9/2723取指數(shù)并且脫去絕對值由此又得到通解2022/10/1242022/9/27242022/10/125兩端積分得通解2022/9/2725兩端積分得通解2022/10/1262022/9/27262022/10/127(三) 一階線性微分方程2022/9/2727(三) 一階線性微分方程2022/10/128性質(zhì)1：性質(zhì)2：

7、性質(zhì)3：2022/9/2728性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：2022/10/129性質(zhì)4：性質(zhì)5：2022/9/2729性質(zhì)4：性質(zhì)5：2022/10/130(1) 如何解齊次方程？非齊次齊次可分離型！標(biāo)準(zhǔn)形式：什麼類型？一階線性微分方程2022/9/2730(1) 如何解齊次方程？非齊次齊次可2022/10/131分離變量是p(x)一個原函數(shù)不是不定積分！齊次通解解得注意：齊次通解的結(jié)構(gòu)：2022/9/2731分離變量是p(x)一個原函數(shù)不是不定積2022/10/132(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(1)的解具有形式將這個解代入(1) , 經(jīng)計算得到2022/9/2732(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(12022/10/133化簡得到即2022/9/2733化簡得到即2022/10/134積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊次通解或2022/9/2734積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊2022/10/135非齊次通解的結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解2022/9/2735非齊次通解的結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解2022/10/1362022/9/27362022/10/137這是線性方程嗎？是關(guān)于函數(shù) x=x(y) 的一階線性方程！解變形為：第一步:先求解