2021-2022學(xué)年陜西師范大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則ABCD2一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A20 B24 C16 D3 “夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”是以我國(guó)哪位數(shù)學(xué)家命名的數(shù)學(xué)原理（）A楊輝B劉微C祖暅D李淳風(fēng)4已知函數(shù)，若，則()ABCD5若集合，則集合( )ABCD6如圖所示，這是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）ABCD7已知點(diǎn)為雙曲線的對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)的兩條直線 與的夾角為，直線與雙曲線相交于點(diǎn)，直線與雙曲線相交于點(diǎn)，若使成立的直線與有且只有一對(duì)，則雙

3、曲線離心率的取值范圍是（ ）ABCD8在我國(guó)南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”其意思是，用一組平行平面截兩個(gè)幾何體，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)幾何體的體積必然相等根據(jù)祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的（ ）條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要9已知向量、滿足，且，則、夾角為（ ）ABCD10某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有( )A720種B600種C360種D300種11下列

4、命題中：“xy”是“x已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3，線性回歸直線方程y=bx+命題“xR，x2+x+10其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D412定義在 上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的 恒有 成立；（2）當(dāng) 時(shí)， ；記函數(shù) ，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)14已知f（x）是定義在（，+）上周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）2x1，則f（log23）_15若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.16二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)用數(shù)字表示三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)

5、出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；（）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方.（）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（）當(dāng)變化時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.19（12分）觀察下列等式:； (1)猜想第n(nN*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.20（12分）已知函數(shù)f（x）=sin+cos，xR（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求函數(shù)f（x）在x2，2上的單調(diào)遞增區(qū)間；（

6、2）函數(shù)f（x）=sinx（xR）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象21（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）將直線：（為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)是（1）中的直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.22（10分）一個(gè)不透明的袋子中，放有大小相同的5個(gè)小球，其中3個(gè)黑球，2個(gè)白球如果不放回的依次取出2個(gè)球回答下列問(wèn)題：()第一次取出的是黑球的概率；()第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；()在第一次取出的是黑球的條件下，第二次取出的是白球的概率參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的

7、四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】，選D.2、A【解析】試題分析：該幾何體為一個(gè)正方體截去三棱臺(tái)，如圖所示，截面圖形為等腰梯形，梯形的高，所以該幾何體的表面積為，故選A考點(diǎn)：1、幾何體的三視圖；2、幾何體的表面積3、C【解析】由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運(yùn)用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果兩個(gè)截面面積仍然相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”，這就是以我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅命名的數(shù)學(xué)原理，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對(duì)概念的理

8、解，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】分析：先求出g（1）=a1，再代入fg（1）=1，得到|a1|=0，問(wèn)題得以解決詳解：f（x）=5|x|，g（x）=ax2x（aR），fg（1）=1，g（1）=a1，fg（1）=f（a1）=5|a1|=1=50，|a1|=0，a=1，故答案為：A點(diǎn)睛：本題主要考查了指數(shù)的性質(zhì)，和函數(shù)值的求出，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】試題分析：解：所以選D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算6、A【解析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個(gè)半圓柱，故其體積為，故選A.7、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線以及夾角關(guān)系列不等式，解得結(jié)果【

9、詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為因?yàn)槭钩闪⒌闹本€與有且只有一對(duì)，所以從而離心率，選A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率取值范圍，考查綜合分析求解能力，屬較難題.8、A【解析】先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等”是“兩個(gè)幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結(jié)合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題。9、C【解析】對(duì)等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的

10、運(yùn)算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，因此，、夾角為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角的計(jì)算，同時(shí)也考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況， 5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有605300種不同的順序，故選D【點(diǎn)睛】本題考查排列、

11、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】充要條件即等價(jià)條件，不等價(jià)則不充要；根據(jù)正態(tài)分布的特征，且=3，得到P(X0)=P(X6)=1-P(X6)，判斷其正確；根據(jù)回歸直線的特征，得出其正確；寫(xiě)出命題p的否定p，判定其錯(cuò)誤；最后得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于，由xy0，可以推出x2y2，充分性成立，x2對(duì)于，根據(jù)題意得P(X0)=P(X6)=1-P(X6)=1-0.72=0.28，所以正確；對(duì)于，根據(jù)回歸直線一定會(huì)過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以正確；對(duì)于，命題“xR，x2所以正確命題有兩個(gè)，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)判斷命題的正誤的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有充要條件，正態(tài)分布，含有一個(gè)

12、量詞的命題的否定，回歸直線方程的特征，屬于簡(jiǎn)單題目.12、C【解析】根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）x+2b，x（b，2b，又因?yàn)閒（x）k（x1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的x（1，+）恒有f（2x）2f（x）成立， 且當(dāng)x（1，2時(shí)，f（x）2x；f（x）2（2）=4x，x（2，4，f（x）4（2）=8x，x（4，8，所以f（x）x+2b，x（b，2b（b取1，2，4）由題意得f（x）k（x1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，如圖所示只需過(guò)（1，0）的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）

13、kPA2，kPB，所以可得k的范圍為故選：C【點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】計(jì)算出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)可得出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，因此，的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、【解析】利用周期及奇偶性可將f（log23）化為，而，

14、則答案可求【詳解】f（x）是定義在（，+）上周期為2的偶函數(shù)，f（log23）f（log23）f（log23+2），且當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）2x1，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性及周期性的應(yīng)用，考查指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為求有兩個(gè)不同的解的問(wèn)題，令，分析的單調(diào)性和圖像，從而求出c的取值范圍.【詳解】引入函數(shù)，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以又分析知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此題屬于基礎(chǔ)題.16、-160【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

15、令，可得，即展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（）即；（）0.【解析】（）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程， 可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；（）不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，得到，再構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，由的單調(diào)性，可以求出的最小值.【詳解】（I）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，得，因?yàn)?，所以，故l的方程為即.（II）不等式恒成立，即恒成立，記，則，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增

16、，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，則，即，則，記，則，令，得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，則，得的最小值為，所以的最小值為1，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.18、（），；（）.【解析】（）根據(jù)題意，可將直線與曲線C聯(lián)立求得，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，于是可知點(diǎn)的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設(shè)，可用相關(guān)點(diǎn)法表示出的坐標(biāo)，代入，于是得到軌跡方程.【詳解】解：（）當(dāng)時(shí)，直線，曲線的普通方程為：，由解得或，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，所以，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，.（

17、II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（點(diǎn)除外），因?yàn)榍€是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2.所以點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.（解法二）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，是極點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入中，得，因?yàn)?，不重合，所以，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，邏輯推理能力，難度中等.19、 (1)；(2) (i) 當(dāng)時(shí),等式顯然成立；(ii) 見(jiàn)證明；【解析】（1）猜想第個(gè)等式為.（2）先驗(yàn)證時(shí)等式成立，再假設(shè)等式成立，并利用這個(gè)假設(shè)證明當(dāng)時(shí)命題也成立.【詳解】（1）猜想第個(gè)等式為

18、.（2）證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，故原等式成立；設(shè)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，命題也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個(gè)基本的步驟：（1）歸納起點(diǎn)的證明即驗(yàn)證命題成立；（2）歸納證明：即設(shè)命題成立并證明時(shí)命題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論.20、（1）函數(shù)f（x）在x2，2上的單調(diào)遞增區(qū)間是，（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：將f（x）化為一角一函數(shù)形式得出f（x）=2sin（），（1）利用，且x2，2，對(duì)k合理取值求出單調(diào)遞增區(qū)間（2）該函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象，先向左平移，再圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即得到函數(shù) y=2sin（）解：f（x）=sin+cos=2sin（）（1）最小正周期T=4令z=，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ由，得+4kx+4k，kZ取k=0，得x，而，2，2函數(shù)f（x）在x2，2上的單調(diào)遞增區(qū)間是，（2）把函數(shù)y=sinx圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin（x+）的圖象，再把函數(shù)y=sin（x+） 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin（）的圖象，然后再