2021-2022學(xué)年湖南省長沙市師大附中梅溪湖中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，則的值為ABC0D12已知函數(shù)的圖象在點M(1,f(1)處的切線方

2、程是+2,則的值等于( )A0B1CD33已知曲線C：y，曲線C關(guān)于y軸的對稱曲線C的方程是（）AyByCyDy4一次考試中，某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若，則該班數(shù)學(xué)成績的及格（成績達(dá)到分為及格）率可估計為（ ）ABCD5設(shè)集合U=x1x10,xZ，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A2,4,6,7B2,4,5,9C2,4,6,8D2,4,6,6某校組織最強(qiáng)大腦賽，最終、兩隊講入決賽，兩隊各由3名選手組成，每局兩隊各派一名洗手，除第三局勝者得2分外，其余各局勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽隊選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時隊的得分高于隊的得分

3、的概率為（）ABCD7若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）ABCD8已知集合，則（ ）ABCD9使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為( )ABCD10在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）ABCD11的展開式中的系數(shù)為（ ）A5B10C20D3012已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域為(0,+)只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則_14已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 15在二項展開式中，常數(shù)項是_.16已知向量，且與共線，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）甲，乙兩人進(jìn)行射擊比

4、賽，各射擊局，每局射擊次，射擊中目標(biāo)得分，未命中目標(biāo)得分，兩人局的得分情況如下：甲乙（1）若從甲的局比賽中，隨機(jī)選取局，求這局的得分恰好相等的概率；（2）從甲，乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局，記這局的得分和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望18（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明19（12分）在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且.(1)當(dāng)時，求的值；(2)求證:當(dāng)時，.20（12分） “學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP是由中宣部主管，以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機(jī)客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，2019年1月1日上線后便成為了

5、黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機(jī)抽取了名該地黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如表所示：分?jǐn)?shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，這名黨員這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，記抽得這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，21（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在x=

6、3處有極大值，求c的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，求c的取值范圍22（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），曲線（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：，記曲線與的交點為.（）求點的直角坐標(biāo)；（）當(dāng)曲線與有且只有一個公共點時，與相較于兩點，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且是上的奇函數(shù)，可求出函數(shù)的最小正周期，再由時，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，則有，變形可得，即

7、函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，故.故選C【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，周期性、奇偶性、對稱性等，熟記相關(guān)性質(zhì)即可求解，屬于常考題型.2、D【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求得的值；根據(jù)點在切線方程上，求得的值，進(jìn)而求得的值?！驹斀狻奎cM(1,f(1)在切線上，所以 根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，所以 所以 所以選D【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點在曲線上的意義，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】設(shè)所求曲線上任意一點，由關(guān)于直線的對稱的點在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解【詳解】設(shè)所求曲線上任意一點，則關(guān)于直線的對稱的點在已知曲線，所以，故選A【點睛】本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線的

8、對稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點，求得其關(guān)于直線的對稱點，代入已知曲線求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題4、B【解析】由題意得出正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，由正態(tài)密度曲線的對稱性得知所求概率為可得出結(jié)果.【詳解】由題意，得，又，所以，故選B.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計算，解題時要充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率來計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.5、D【解析】先求出CUA,再求【詳解】由題得CU所以UAB故選：D【點睛】本題主要考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這種知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】先將隊

9、得分高于隊得分的情況列舉出來，然后進(jìn)行概率計算.【詳解】比賽結(jié)束時隊的得分高于隊的得分可分為以下種情況：第一局：隊贏，第二局：隊贏，第三局：隊贏；第一局：隊贏，第二局：隊贏，第三局：隊贏；第一局：隊贏，第二局：隊贏，第三局：隊贏；則對應(yīng)概率為：，故選：C.【點睛】本題考查獨(dú)立事件的概率計算，難度較易.求解相應(yīng)事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可從“分類加法”的角度去看事件，然后再將結(jié)果相加.7、C【解析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的定義域和二次不等式的恒成立問題，意

10、在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力數(shù)形結(jié)合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.8、A【解析】分析：根據(jù)題意，求得集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解詳解：由題意，所以，故選A點睛：本題主要考查了集合的運(yùn)算問題，其中正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力9、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當(dāng)r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用10、C【解析】先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點存在定理可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，故選C.

11、【點睛】本題主要考查零點存在定理的應(yīng)用，屬于簡單題.應(yīng)用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).11、D【解析】根據(jù)乘法分配律和二項式展開式的通項公式，列式求得的系數(shù).【詳解】根據(jù)乘法分配律和二項式展開式的通項公式，題目所給表達(dá)式中含有的為，故展開式中的系數(shù)為，故選D.【點睛】本小題主要考查二項式展開式通項公式的應(yīng)用，考查乘法分配律，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并化簡整理，結(jié)合函數(shù)在定義域為(0,+)只有一個極值點進(jìn)行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域為(0,+) 當(dāng)時，恒成立，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，符合題

12、意；當(dāng)時，時，又函數(shù)在定義域為(0,+)只有一個極值點，在處取得極值.從而或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)與相切的切點為，則切線方程為，因為切線過原點，則，解得，則切點為此時.由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點睛：導(dǎo)函數(shù)的零點并不一定就是原函數(shù)的極值點所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是原函數(shù)的極值點二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、26【解析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則.【點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依

13、次求值(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍14、0.16 【解析】試題分析：因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線的對稱軸為.由及正態(tài)分布的性質(zhì)，考點：正態(tài)分布及其性質(zhì).15、60【解析】首先寫出二項展開式的通項公式，并求指定項的值，代入求常數(shù)項.【詳解】展開式的通項公式是，當(dāng)時， .故答案為：60【點睛】本題考查二項展開式的指定項，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題型.16、2【解析】先求得，然后根據(jù)兩個向量共線列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意，

14、由于與共線，故，解得，故.【點睛】本小題主要考查平面向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩個平面向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）求出基本事件總數(shù)，這2局的得分恰好相等包含的基本事件個數(shù).由此能求出這2局的得分恰好相等的概率；（2）甲，乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，記這2局的得分和為X，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）從甲的4局比賽中，隨機(jī)選取2局，基本事件總數(shù)，這2局的得分恰好相等包含的基本事件個數(shù).這2局的得分恰好相等的概率；（2）甲，乙兩人的4局比賽中

15、隨機(jī)各選取1局，記這2局的得分和為X，則X的可能取值為13，15，16，18，X的分布列為：X的數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，是中檔題.18、（1），；（2），證明見解析【解析】（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【詳解】（1） 且于是 從而可以得到，猜想通項公式 （2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，滿足通項公式； 假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即 由（1）知即證當(dāng)時命題成立； 由可證成立.【點睛】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列

16、的通項公式.19、 (1) ；(2)證明見解析.【解析】（1）推導(dǎo)出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果【詳解】(1) ，解得，同理解得 即； (2) 要證 時，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證， 根據(jù)基本不等式得，所以原不等式成立【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題20、（1）；（2）見解析【解析】（1）利用分?jǐn)?shù)統(tǒng)計表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結(jié)果；（2）計算出從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項分布，利用二項分布概率公式

17、求解出每個可能的取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；再利用二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式求得期望.【詳解】（1）由題意得：（2）從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率為：由題意得，的可能取值為，且；的分布列為：【點睛】本題考查正態(tài)分布中的概率求解問題、二項分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠確定服從于二項分布，屬于常規(guī)題型.21、 (1) c=3或c=1 (2) 【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值點，求出c的值，檢驗即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于c的不等式組，解出即可【詳解】（1），在處有極大值，解得：c=3或1，當(dāng)c=3時，或時，遞增，時，遞減，在處有極大值，符合題意；當(dāng)時，或時，遞增，時，遞減，在處有極大值，符合題意，綜上，c=3或c=1；