廈門大學(xué)線性代數(shù)2-2向量間的線性關(guān)系課件

1、1第二節(jié) 向量間的線性關(guān)系一、n維向量二、向量的線性關(guān)系三、線性相關(guān)性四、特殊向量組的幾何意義2一、n維向量數(shù)域F上的n個(gè)數(shù) 定義2.2.1組成的有序數(shù)組, 稱為數(shù)域F上的一個(gè)n維向量,其中 稱為向量的第i個(gè)分量(i=1,2,n) =a1,a2 , an或=a1,a2 , anT行向量列向量本節(jié)中，n維向量均指n維列向量 3 數(shù)域F上的全體n維列向量構(gòu)成的集合記作 Fn分量都是0的n維向量稱為零向量，記作0 向量稱為n維向量 的負(fù)向量, 記作 分量全是實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))的n維向量稱為實(shí)(復(fù))向量 向量可以看作是特殊的矩陣 4例1矩陣有3個(gè)行向量 有4個(gè)列向量 5 若干個(gè)維數(shù)相同的列向量(或維數(shù)相同的

2、行向量) 所構(gòu)成的集合叫做向量組 由一個(gè)向量組的部分向量構(gòu)成的向量組稱為該 向量組的部分組向量組 , , ， 稱為矩陣A的行向量組8設(shè)有兩個(gè)n 維向量和一個(gè)實(shí)數(shù) kR,則定義 =a1,a2 , anT =b1,b2 , bnT(1) = ai =bi , i=1,2,n(2) + = a1 + b1 , a2 + b2 , an + bn T(3) k =ka1,ka2 , kanT(4) - = (-1) = - a1,- a2 ,- anT(5) - = +(-1) 二、向量的線性運(yùn)算10例2 設(shè) 若3維向量 滿足 試求向量 解 由 11三、線性相關(guān)性設(shè) 定義2.2.4,則對(duì)任意常數(shù) F,

3、 向量 稱為這s個(gè)向量的一個(gè)線性組合 設(shè) 若存在常數(shù) 使得 則稱向量 可以表為 的線性組合, 或稱 可由向量組 線性表出(或線性表示)12n維零向量0是任一n維向量組 例3的線性組合 例4 設(shè) n維單位坐標(biāo)向量組為 則可由 線性表出 已知的向量能否由一個(gè)已知的向量組線性表示？或者說：一個(gè)已知的向量是否可以表示為已知向量的線性組合。如果能是否唯一？綜合：18n元線性方程組AX= 有解的充分必要條件是向量可由其系數(shù)矩陣A的列向量組 線性表出 定理2.2.1向量可由向量組 線性表出的充分必要條件是 推論2.2.1其中19設(shè) = 1,1,1T, = 1,3,0T, = 2,4,1T 例6試將向量 用向

4、量 與 線性表出20向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念對(duì)于向量組 1,2,s如果存在不全為零的數(shù) k1,k2,ks ,使得則稱這個(gè)向量組線性相關(guān) 否則稱這個(gè)向量組線性無關(guān)k11 + k22 + + kss = 0定義2.2.5注意注例27定理2.2.2設(shè)令 則向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是s元齊次線性方程組 有非零解. 推論2.2.2 設(shè)則向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是28推論2.2.3 令,則n維向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是n元齊次線性方程組 的系數(shù)行列式等于零例7 任意s(n)個(gè)n維向量必線性相關(guān) 任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)設(shè)令則有非零解向量組必線性相關(guān)29定理2.2.3 令,則

5、n維向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是s元齊次線性方程組 僅有零解. 即向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是 例31例8是三個(gè)向量, 由于2 = 21 , 因而有系數(shù) 2,-1,0 不全為零由上述定義可知1, 2, 3線性相關(guān)21 + ( - 1)2 + 03 = 0 32例9 含有零向量的任一向量組線性相關(guān)設(shè)向量組為 0, 1,2,s 對(duì)任意的數(shù) k 0，有k0 + 01 + 02 +0n = 033如果n維向量組 例11線性無關(guān), 試判斷向量組 的線性相關(guān)性 解 設(shè)存在數(shù) ,使得 即線性無關(guān), 故 34齊次線性方程組的系數(shù)行列式為 當(dāng)s為奇數(shù)時(shí),|A|=2,方程組僅有零解.所求向量組線性無關(guān) 當(dāng)

6、s為偶數(shù)時(shí),|A|=0,方程組有非零解.所求向量組線性相關(guān) 35若n維向量組 例12線性無關(guān)，那么在每一個(gè)向量的第n個(gè)分量后都添加一個(gè)分量所得到的n+1維向量組亦線性無關(guān)(即“無關(guān)組的延長(zhǎng)組亦無關(guān)”)36定理2.2.4向量組1,2, ,s(s2)線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余s-1個(gè)向量的線性表出37 線性相關(guān)的向量組中未必每個(gè)向量均可由其余 s-1個(gè)向量線性表出1 = 1,0,0T 2 = 0,1,0T 3 =0,0,0T1 不能由 2, 3 線性表示38推論2.2.4 向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是它的每一個(gè)向量都不能由其余s-1個(gè)向量線性表出 定理2.2.5 若向

7、量組 線性無關(guān), 而向量組 線性相關(guān), 則向量 可由向量組 線性表出,且表示法唯一 39若向量組1, 2, , s中有一部分向量線性相關(guān),則該向量組線性相關(guān)例13反之未必40 若向量組1, 2, , s線性無關(guān),則其任一部分 向量組都是線性無關(guān)反之未必 可總結(jié)如下結(jié)論 部分相關(guān)整體相關(guān) 整體無關(guān)部分無關(guān) 整體相關(guān)部分相關(guān) 部分無關(guān) 整體無關(guān)41向量組1, 2, m線性相關(guān)還是線性無關(guān), 通常 是指 m2 的情況, 但也適用于 m=1的情形. 我們先就 m=1, m=2,m=3的情形作一些討論當(dāng)m=1時(shí), 向量組只有一個(gè)向量. 若=0, 則 對(duì)任一非零常數(shù)k均有 k=0; 若 0, 則僅 當(dāng) k=0 時(shí)才有 k=0. 由定義可知 當(dāng) =0 時(shí), 則是線性相關(guān)的; 當(dāng) 0 時(shí), 則是線性無關(guān)的四、特殊向量組的幾何意義42 當(dāng)m=2時(shí), 向量組有兩個(gè)向量 如果這兩個(gè)向量線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù) k1, k2使得 k1 + k2 = 0 如果 k10，則有 如果 k20，則有 因而兩個(gè)向量線性相關(guān)則它們的對(duì)應(yīng)分量成比例， 反過來也一樣成立 =