專(zhuān)題03 一線(xiàn)三垂直模型構(gòu)造全等三角形(教師版)

1、專(zhuān)題 一線(xiàn)垂直模構(gòu)造全三角形模型：垂直全等模如圖：BCAEBCAC結(jié)論： eq oac(,t)BCD eq oac(,t).BAD C E模分說(shuō)到三垂直模型，不得不說(shuō)一下弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，多利用垂 直求角，勾股定理求邊長(zhǎng)，相似求邊長(zhǎng)都會(huì)用到從弦圖支離出來(lái)的一部分幾何圖形去求解圖和圖就是 我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到的兩種弦.圖三垂直圖形變形如下圖、圖，這也是由弦圖演變而來(lái).圖BDAC 圖E圖模實(shí)例1如圖，求證. C【明，AEDACED90CED在A(yíng)BE 和ECD 中 CED ， ， EDCDBEBC.例2少？如圖，ACBBC，BEAD 于 D，cm則 DE 的為多BE【析

2、，CE，ADCEBC.BCEACDEBCDCA. 在CEB 和 中 DCA ADCA ，cm，DECE例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰 R eq oac(,t) 有個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐.y (0,3)x【析1）圖，過(guò)點(diǎn) 作 BDx 軸于點(diǎn) ，DBC由等腰 eq oac(,Rt)ABC 知，BCD. AOC在BCD 和CAO ， ACO ，CAO AC，3，BD2，OD （，）y (0,3)x C(-2,0)圖O（）圖，點(diǎn) A 作 AD 軸點(diǎn) . COB在 和CBO ， OCB ，ACD. CB，AD. （，（，） 1，OC ，ODOD （，）yC，Dx(-1,0)O圖鞏提1如圖

3、，正方形 ABCD，.證）BF.D【明1）四邊形 ABCD 是正方形， BDABCBCD90FC在A(yíng)BE 和BCF 中，AB BC BCF ，ABEBCF，. （），CBF. 90，AEB.CBFAEBBGE，.2直線(xiàn) l 上有三個(gè)正方形 a、， 、 的積分別是 和 11則 的面積_.Dba E【析、c 都正形，CD，ACB，BACDCE 在 和CBE ， DCE ，ACBCDE，AB，BCDE 在 R eq oac(,t) 中， 2 2 BC 2 2即 S c3已知，ABC 中， P 為 BC 上一動(dòng)點(diǎn)（CP別 、 作 BE 于 E、 CF 于 .（）證：CF；（） P 為 BC 延線(xiàn)上一點(diǎn)

4、，其它條件不變，則線(xiàn)段 BE、 是存在某種確定的數(shù)量關(guān)系畫(huà)圖并 直接寫(xiě)出你的結(jié).AAFPBEB P【析， BACBAE90，BAE. 在A(yíng)BE 和CAF 中 ，ABECAF，AF ACAF，BE. （）圖，BECF.理由：同（）證ABECAF ，AF.AF， .EAFB CP4如圖，在直角梯形 ABCD 中AD2，設(shè)BCD，以 D 為旋轉(zhuǎn)中心，將 腰 繞 D 逆針旋轉(zhuǎn) 至 DE.（） ，求 的積；（） ，求 的積；（當(dāng) 090想 的面積與 大有無(wú)關(guān)系？若有關(guān) eq oac(,出) 的積 與 的系式； 若無(wú)關(guān)，請(qǐng)證明結(jié)論EADBC【解析1）；（）點(diǎn) D DG 于點(diǎn) G過(guò)點(diǎn) 作 AD 交 延線(xiàn)于點(diǎn)

5、 . ，又，2.在CGD 和 中 ，DEF CG ，AD， ，CG 1 EAD 2 的積與 大無(wú)關(guān)5ABC 的側(cè)作正方形 形 ACFG A 作 AH 于 的向延長(zhǎng)線(xiàn)與 EG 交于點(diǎn) P. 證：BCAP求EPGDAFB H C【解析】過(guò) G 作 GMAP 于點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) E 作 EN 交 AP 延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) . 四邊形 ACFG 是方形，AG，CAHGAM又AH，CAHACHACH GMA在A(yíng)CH 和 中， ，ACHGAM，. 同理可證 AN，AHEN . 在EPN 和GPM 中 GPM ，EPNGPM，NPMP CHAP課練一解題1在 ABC中，BC，直線(xiàn)MN 經(jīng)點(diǎn) ，且 ADMN 于點(diǎn) D，B

6、E 于點(diǎn) （）直線(xiàn) MN 繞 旋到如圖 1 的位置時(shí)，求證DEAD+BE；（）直線(xiàn) MN 繞 旋到如圖 2 的位置時(shí)，求證DE；（）直線(xiàn) MN 繞 旋到如圖 3 的位置時(shí)，線(xiàn)段 DE、 間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直 接寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不要證明【答案）見(jiàn)解析）見(jiàn)解析AD【析（）題意易得，而可證ADC，然后根據(jù)全等三角 形的性質(zhì)可求解；（）題意易得CEB=，則可求CAD=BCE，進(jìn)而可證CADBCE然后根據(jù)全等三 角形的性質(zhì)可求解；（）據(jù)題意可證BCE，后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解【析（）明，MN，ADCCEB，BCE+，DACBCE，在 和CEB， ，AC CBADC（，DE；（）明AD，A

7、DCCEB，BCE+，DACBCE，AC=BCADC，DECD；（）：，由如下：，BEMN，ADCCEB，BCE+，DACBCE，AC=BCADC，DEAD【小結(jié)】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握全等三角形的質(zhì)與判定 及直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵2課間，小明拿著老師的等腰角板玩，不小心掉在兩墻之間，如圖所示：（）證ADC；（）知 請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度 的?。繅K磚的厚度相）【答案）見(jiàn)詳解）砌墻磚塊的厚度 a 為 【析（）據(jù)題意可得 AC，ACB90，DE，進(jìn)而得到CEB，根據(jù) 等角的余角相等可得BCE，證 即（）用1）中全等三角形的性質(zhì)進(jìn)

8、行解答【析（）明：由題意得：，ADDE，DE，ADCCEBACDBCEDAC，BCE，在 和 中 BCE，BCADC（）：由題意得塊墻磚的厚度為 ，AD，由（1）得：ADCCEB，a，答：砌墻磚塊的厚度 a 為 【結(jié)此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件3已知，A（-，圖 1，0， 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰直 C 點(diǎn)坐；坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn) （與點(diǎn) C 重 使PAB 與 全？ 若在，直接寫(xiě)出 P 點(diǎn)標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（如 2點(diǎn) 為 y 正半軸上一動(dòng)點(diǎn)以 為角頂點(diǎn)等腰直設(shè) b a- 的【答案）；在，P ）【析（） CDy 軸 ，BOA，出 ，BE=AO

9、=1，即可得出答案；（）為三種情況，畫(huà)出符合條件的圖形，構(gòu)造直角三角形，證三角形全等，即可得出答案； （） MFy 軸 ，AOE，求出 ，即可得出答案【析（）作 CEy 于 E，圖 ，A（-，（， ，CEB=CBA=90，ECB+，CBE+， ECB=，在CBE 和 中ABOAOB，CE=BO=2，即 ，C-，在一點(diǎn) ， PAB 與 ABC 全等，分為三種情況：如圖 ，過(guò) P 作 PE x 軸于 ，則 PAB PEA 90，EPA ，在 PEA 和 AOB 中 ， PA AB， PAE 90， PEA， AO EA 2， OE ，即 P 的坐標(biāo)是；圖 3過(guò) 作 CM 軸于 ，過(guò) 作 x 軸 ，

10、則 CMA CBAPBA ， CAB ，AC AP， 90 ，在 CMA 和 中 PAE， PEAAC ， CAM PAE 90， ， PE AM ， CM C ， ，OE 0 ，即 P 的坐標(biāo)是 圖 4過(guò) 作 軸 ，CBA ，AB AP ， CBA 90，則 AEP AOB 90 ， APE ，在和 PEA中， PEA，AB PEA， AO AE OB ， 0 AE ，即 P 的坐標(biāo)是，綜合上述：符合條件的 的標(biāo)是（） M 作 y 軸于 ，到下圖 5M FO ，由上圖得： ， 90 ， MEF ，AEO ，在 AOE 和 EMF 中 EFM EMF，AE EM EMF ， EF AO ， M

11、F ， x軸， 軸MFO 90，四邊形 FONM是矩形， MN OF，a MF OA 【小結(jié)】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)綜合運(yùn)用 性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，用了分類(lèi)討論思想4公路上， A B 兩相距 25千米，、 D 為兩所學(xué)校， 于 ， CB 于點(diǎn) ，圖，已知 千，現(xiàn)在要在公路 AB上建一報(bào)亭 H ，得 、 D 兩學(xué)校到 H 的離相等，且 90，問(wèn)： H 應(yīng)在距離 站遠(yuǎn)？學(xué)校到公路的距離是多少千米？【答案】 H 應(yīng)在距離 站 千處，學(xué)校 【析到公路的距離是 10 千先根據(jù)垂直的定義可得 90，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得 BHC

12、，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得 【析AH , DA HB 15千米，最后根據(jù)線(xiàn)段的和差可得由題意得： HC，AB 25千米，DA AB CB AB， ， ，DHC 90， 90， BHC， 在 和 BHC 中 BHC，DH ADH ( AAS )， AH BC DA HB，DA HB 15千米，千米，AB 25千米， 10千米，答： H 應(yīng)在距離 A 站 千處，學(xué)校 到路距離是 10 千【結(jié)本題考查了垂直的定義、直角三角形的兩銳角互余、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，練掌握三 角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵5如圖所示，在 ABC和 中， E 是 BC 的點(diǎn)AB，足為 ，（）證；（） BD=10 厘，求 的【答案）證明見(jiàn)解析 5 厘【析（） DE，可得BFE=90，由直角三角形兩銳角互余，可得ABC+ ，由 ，由直角三角形兩銳角互余，可得ABC+，據(jù)同角的余角相等，可得DEB，后根據(jù) AAS 判斷EDB，據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到 BD=BC；（）（）知EDB根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得到 AC=BE由 E 是 的中點(diǎn)，得到 BD 厘 【