大學數(shù)學(高數(shù)微積分)第八章λ矩陣第五節(jié)(課堂講解)

1、主要內(nèi)容第五節(jié) 初等因子定義不變因子與初等因子的關系舉例初等因子的求法一、定義在這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域P 是復數(shù)域.上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量.為了得到若爾當標準形，再引入定義 7 把矩陣 A (或線性變換 A ) 的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算) 稱為矩陣 A (或線性變換 A )的 初等因子.例 設 12 級矩陣的不變因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 個按定義，它的初等

2、因子有 7 個，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .其中 ( - 1 )2 出現(xiàn)三次， + 1 出現(xiàn)二次.二、不變因子與初等因子的關系首先，假設 n 級矩陣 A 的不變因子d1() , d2() , , dn()為已知.將 di() (i =1, 2, , n) 分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：則其中對應于 kij 1 的那些方冪就是 A 的全部初等因子.我們注意到不變因子有一個除盡一個的性質(zhì)，即 di() | di+1() (i =1, 2, , n - 1) ,從而因此在

3、d1() , d2() , , dn() 的分解式中，屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即k1j k2j knj (j = 1, 2, , r) .這說明，同一個一次因式的方冪作成的初等因子中方次最高的必定出現(xiàn)在 dn() 的分解式中，方次次高的必定出現(xiàn)在 dn-1() 的分解式中.如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數(shù)唯一地作出不變因子的方法.設一個 n 級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方冪的那些初等

4、因子按降冪排列，而且當這些初等因子的個數(shù)不足 n 時，就在后面補上適當個數(shù)的 1，使得湊成 n 個.設所得排列為于是令則 d1() , d2() , , dn() 就是 A 的不變因子.這也說明了這樣一個事實：如果兩個同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似.反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子.綜上所述，即得：定理 8 兩個同級復數(shù)矩陣相似的充分必要條是它們有相同的初等因子.三、初等因子的求法初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些.在介紹直接求初等因子的方法之前，先來說明關

5、于多項式的最大公因式的一個性質(zhì)：如果多項式 f1()， f2() 都與 g1()， g2() 互素，則(f1()g1() , f2()g2()=(f1() , f2()(g1() , g2().事實上，令( f1()g1() , f2()g2() = d() ,( f1() , f2() = d1() ,( g1() , g2() = d2() .顯然，d1() | d() , d2() | d() .由于 ( f1() , g1() = 1 , 故 ( d1() , d2() ) = 1，因而 d1() d2() | d() .另一方面，由于d() | f1() g1() ,可令d() =

6、f () g () ,其中 f () | f1() , g() | g1() .由于( f1() , g2() = 1 ,故 ( f () , g2() = 1 . 由 f () | f2() g2() 又得 f () | f2()，因而 f () | d1() .同理 g() | d2() .所以d() | d1() d2() .于是d() = d1() d2() .證畢引理 設如果多項式 f1()， f2() 都與 g1()， g2() 互素，則 A() 和 B() 等價.證明顯然， A() 和 B() 有相同的二級行列式因子.而 A() 和 B() 的一級行列式因子分別為d() =( f

7、1()g1() , f2()g2()d () =( f2()g1() , f1()g2() .由上面的討論知道， d() 和 d () 是相等的，因而 A() 和 B() 也有相同的一級行列式因子.所以A() 和 B() 等價.證畢下面的定理給了我們一個求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子.定理 9 首先用初等變換化特征矩陣 E - A 為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算)就是 A 的全部初等因子.則所有這些一次因證明設 E - A 已用初等變換化為對角形其中每個 hi() 的最高項系數(shù)都為 1 .將 hi() 分解成互不

8、相同的一次因式方冪的乘積：我們現(xiàn)在要證明的是，對于每個相同的一次因式的方冪在 D() 的主對角線上按遞升冪次排列后，得到的新對角矩陣 D () 與 D() 等價.此時 D () 就是E - A 的標準形而且所有不為 1 的就是 A 的全部初等因子.為方便起見，先對 - 1 的方冪進行討論.令于是而且每個都與 gj() (j = 1, 2, , n) 互素.如果有相鄰的一對指數(shù) ki1 ki+1,1 , 則在 D()中將與對調(diào)位置，而其余因式保持不動.根據(jù)與等價.從而 D() 與對角矩陣等價.然后對 D1() 作如上的討論.如此繼續(xù)進行直到對角矩陣主對角線上元素所含 - 1 的方冪是按遞升冪次排

9、列為止.依次對 - 2 , , - r 作同樣處理，最后便得到與 D() 等價的對角矩陣D () ，它的主對角線上所含每個相同的一次因式的方冪，都是按遞升冪次排列的.證明四、舉例例 1 求下列 - 矩陣的初等因子.例 2 已知 - 矩陣 A() 的初等因子，秩 r 與階數(shù) n ，求 A() 的標準形.例 3 求下列矩陣的不變因子，行列式因子與初等因子本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結束 !若想結束本堂課, 請單

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