工程力學(xué) 截面的幾何性質(zhì)

1、工程力學(xué) 截面的幾何性質(zhì)2022/9/161第1頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三 A-1 截面的靜矩和形心一、截面的靜矩和形心1.基本概念OxdAyyxC微面積對(duì)y軸的靜矩微面積對(duì)x軸的靜矩整個(gè)平面圖形對(duì)y軸的靜矩整個(gè)平面圖形對(duì)x軸的靜矩常用單位：m3 或mm3 。數(shù) 值：可為正、負(fù)或 0 。2022/9/162第2頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三2.形心坐標(biāo)公式3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系推論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。2022/9/163第3頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三1.組合截面的靜矩 根據(jù)靜矩的定義：整

2、個(gè)平面圖形對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：二、組合截面的靜矩和形心2022/9/164第4頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三組合截面靜矩組合截面面積組合截面的形心坐標(biāo)公式為：2.組合截面的形心坐標(biāo)公式2022/9/165第5頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三例A-1 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。 解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，所以對(duì)x軸的靜矩為Ozyb(z)ydyhb2022/9/166第6頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三例A-2 試計(jì)算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩

3、個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：Oxyy112010 xx8010yC(y,x)矩形I矩形II2022/9/167第7頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：2022/9/168第8頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4 或 mm4)所以（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。） OzyyzrdA A-2 截面的極慣性矩、慣性矩、慣性積 2022/9/169第9頁，共2

4、9頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三3. 慣性積（其值可為正、負(fù)或0，單位:m4 或 mm4)截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4. 慣性半徑（單位m 或 mm）OzyyzrdA2022/9/1610第10頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三5.主慣性軸:當(dāng)平面圖形對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積 =0時(shí)，則坐標(biāo)軸 y0、z0稱為主慣性軸。7.形心主慣性軸:過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸?？梢宰C明:任意平面圖形必定存在一對(duì)相互垂直的形心主慣性軸。8.形心主慣性矩:平面圖形對(duì)任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。6.主慣性矩:平面圖形

5、對(duì)任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。推論：具有一個(gè)或兩個(gè)對(duì)稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的主慣性軸。2022/9/1611第11頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三例A-3 試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。 解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，則 dA=b dy同理yhCx dyyb(a)2022/9/1612第12頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三 若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對(duì)形心軸x 的慣性矩同樣為hxyb(b)C2022/9/1613第13頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三例A-4 試計(jì)算

6、圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。 zDyyz解：由于圓截面有極對(duì)稱性，所以所以2022/9/1614第14頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三A-3 平行移軸公式1.平行移軸公式推導(dǎo) 左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，yc，zc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為xy ,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyzczCObdAzcycyx2022/9/1615第15頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三同理，有：注：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。2022/

7、9/1616第16頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三例A-5：求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸Zc的慣性矩。（1）求形心坐標(biāo)解：zyb(y)ycCdzcy（2）求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得： 2022/9/1617第17頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三思考題A-1：O為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，y、z軸為過點(diǎn)且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知ba)： （A）Iyz （B） Iyz ( C ) Iyz= （D） Iz=IyzABDyOab（思考題A-1）思考題A-2：等腰直角三角形如圖所示，y、z軸是過

8、斜邊中點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中為任意值），該圖形的:(1)慣性積Iyz (2)慣性矩Iz 、 Iy。yzaa（思考題A-2）目錄2022/9/1618第18頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三一、轉(zhuǎn)軸公式 任意面元dA 在舊坐標(biāo)系ozy和新坐標(biāo)系oz1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11A-4 轉(zhuǎn)軸公式、截面的主慣性軸和主慣性矩2022/9/1619第19頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三 利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式 ：2022/9/1620第20頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期

9、三注：上式中的 的符號(hào)為：從舊軸z至新軸z1逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（上式表明，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 ）將前兩式相加得2022/9/1621第21頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三 由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。二、截面的主慣性軸和主慣性矩(1) 主慣性軸:截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。(2) 主慣性矩:截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。(3) 形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)

10、與截面的形心重合時(shí)。(4) 形心主慣性矩:截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。2022/9/1622第22頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三(5)確定主慣性軸的位置 設(shè)0是舊軸x 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0角的象限）2022/9/1623第23頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三(5) 由上面tan20的表達(dá)式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式：極大值Imax極小值Imin2022/9/1624第24頁，共29頁，202

11、2年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三(6) 幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對(duì)稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。2022/9/1625第25頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三zyC10b10b40120a2080CCa 例：試計(jì)算截面的形心主慣性矩。解：作與上、左邊平行的形心坐標(biāo)軸xcyc 。（1）求形心坐標(biāo)：（2）求對(duì)自身形心軸的慣性矩。（3）由平行移軸公式求整個(gè)截面的2022/9/1626第26頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三xc0yc0a=113.8（4）由轉(zhuǎn)軸公式得zyC10b10b40120a2080CCa 2022/9/1627第27頁，共29頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)50分，星期三 利用三角函數(shù)整理上式，得轉(zhuǎn)軸公式 ：同理得：20