概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1、概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用課前導(dǎo)引第一課時(shí)：概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用： 1. 在5張卡片上分別寫(xiě)著數(shù)字1、2、3、4、5, 然后把它們混合, 再任意排成一行, 則得到的數(shù)能被5或2整除的概率是( ) A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 解析 基本事件總數(shù)為A55, 有利的基本事件數(shù)為3A44, 所求的概率為 B考點(diǎn)搜索 1. 運(yùn)用排列組合知識(shí)探求等可能事件的概率. 2. 學(xué)會(huì)對(duì)事件進(jìn)行分析，會(huì)求下列三種概率： 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率； 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率； 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率.鏈接高考例1 (1) (湖北卷)以平行六面體ABCD-ABCD的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形

2、, 從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形, 則這兩個(gè)三角形不共面的概率p為 ( )解析 共可作C8356個(gè)三角形, 由對(duì)立事件知：A例4 (湖北卷) 為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費(fèi)用如下表： 預(yù)防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費(fèi)用（萬(wàn)元）90603010 預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下，請(qǐng)確定一個(gè)預(yù)防方案,使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大. 解析 方案1：?jiǎn)为?dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件

3、不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9. 方案2：聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施, 費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元, 由表可知. 聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大, 其概率為:1(10.9)(10.7)=0.97. 方案3：聯(lián)合采用三種預(yù)防措施, 費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元, 故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施, 此時(shí)突發(fā)事件不發(fā)生的概率為:1(10.8)(10.7)(10.6)=10.024=0.976. 綜合上述三種預(yù)防方案可知, 在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下, 聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大. 點(diǎn)評(píng) 本小題考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.例5 某

4、單位組織4個(gè)部門(mén)的職工旅游，規(guī)定每個(gè)部門(mén)只能在韶山、衡山、張家界3個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)，假設(shè)各部門(mén)選擇每個(gè)景區(qū)是等可能的. (1) 求3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇的概率; (2) 求恰有2個(gè)景區(qū)有部門(mén)選擇的概率.解析 某單位的4個(gè)部門(mén)選擇3個(gè)景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為34. 由于是任意選擇, 這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等. (1) 3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為C423! (從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)作為1組, 另外2個(gè)部門(mén)各作為1組, 共3組,共有C42=6種分法, 每組選擇不同的景區(qū), 共有3!種選法), 記“3個(gè)景區(qū)都有部門(mén)選擇”為事件A1, 那么事件A1的概率為 法一 (2) 分別記“恰有2個(gè)景區(qū)有部

5、門(mén)選擇”和“4個(gè)部門(mén)都選擇同一個(gè)景區(qū)”為事件A2和A3，則事件A3的概率為 事件A2的概率為 法二 恰有2個(gè)景區(qū)有部門(mén)選擇可能的結(jié)果為3(C412!+C42)(先從3個(gè)景區(qū)任意選定2個(gè), 共有C32=3種選法, 再讓4個(gè)部門(mén)來(lái)選擇這2個(gè)景區(qū)，分兩種情況：第一種情況,從4個(gè)部門(mén)中任取1個(gè)作為1組，另外3個(gè)部門(mén)作為1組，共2組，每組選擇2個(gè)不同的景區(qū)，共有C412!種不同選法. 第二種情況，從4個(gè)部門(mén)中任選2個(gè)部門(mén)到1個(gè)景區(qū),另外2個(gè)部門(mén)在另1個(gè)景區(qū)，共有C42種不同選法）. 所以點(diǎn)評(píng) 本小題考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.另外2個(gè)部門(mén)在另1個(gè)景區(qū)，共有C42種不同選法）.

6、所以在線探究 1. 編號(hào)為1，2，3的三位學(xué)生隨意入坐編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位. (1) 求恰有1個(gè)學(xué)生與座位編號(hào)相同的概率; (2) 求至少有1個(gè)學(xué)生與座位編號(hào)相同的概率.解析 (1) 設(shè)恰有1個(gè)學(xué)生與座位編號(hào)相同的概率為P1, 則(2) 設(shè)至少有1個(gè)學(xué)生與座位編號(hào)相同 (即有1個(gè), 3個(gè))的概率為P2, 則或轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件來(lái)算 2. 甲、乙兩支足球隊(duì)，苦戰(zhàn)120分鐘,比分為1：1，現(xiàn)決定各派5名隊(duì)員，兩隊(duì)球員一個(gè)間隔一個(gè)出場(chǎng)射球，每人射一個(gè)點(diǎn)球決定勝負(fù)，假若設(shè)兩支球隊(duì)均已確定人選，且派出的隊(duì)員點(diǎn)球命中率為0.5. (1) 共有多少種不同的出場(chǎng)順序？ (2) 不考慮乙

7、隊(duì)，甲隊(duì)五名隊(duì)員中有兩個(gè)隊(duì)員射中，而其余隊(duì)員均未能射中，概率是多少？ (3) 甲、乙兩隊(duì)各射完5個(gè)點(diǎn)球后, 再次出現(xiàn)平局的概率是多少？解析 (1) 甲、乙兩支足球隊(duì)各派5名隊(duì)員的排序分別有A55種, 若甲隊(duì)隊(duì)員先出場(chǎng), 則有A55A55種出場(chǎng)出場(chǎng)順序, 同理, 乙隊(duì)隊(duì)員先出場(chǎng), 也有A55A55種出場(chǎng)順序, 故兩隊(duì)球員一個(gè)間隔一個(gè)出場(chǎng)射球, 共有2A55A55=28800種不同的出場(chǎng)順序. (2) 不考慮乙隊(duì)，甲隊(duì)五名隊(duì)員中恰有兩個(gè)隊(duì)員射中而其余隊(duì)員均未能射中有種情形，在每一種情形中，某一隊(duì)員是否身射中，對(duì)其他隊(duì)員沒(méi)有影響，因此是相互獨(dú)立事件，概率是 (3) “甲、乙兩隊(duì)各射完5個(gè)點(diǎn)球后，再次

8、出現(xiàn)平局”包含六種情況：兩隊(duì)都恰有k名隊(duì)員射中(k=0，1，2，3，4，5)，分別記為Ak，且它們互斥. 甲、乙兩隊(duì)各射完5個(gè)點(diǎn)球后，再次出現(xiàn)平局的概率是 第二課時(shí)：概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：課前導(dǎo)引 1. 某校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為1500人、1200人和1000人，現(xiàn)采用按年級(jí)分層抽樣法了解學(xué)生的視力狀況，已知在高一年級(jí)抽查了75人，則這次調(diào)查三個(gè)年級(jí)共抽查了_人. 解析 全校共有學(xué)生1500120010003700（人），所以全校共抽查了3700185（人）答案 185 2. 某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)

9、據(jù)，結(jié)果用右側(cè)的條形圖表示. 根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為A. 0.6小時(shí)B. 0.9小時(shí)C. 1.0小時(shí)D. 1.5小時(shí) 解析答案 B考點(diǎn)搜索 2. 了解條形圖、直方圖的含義;1. 了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的含義;3. (文科)總體平均數(shù)的估計(jì)：對(duì)于一個(gè)總體的平均數(shù)，可用樣本平均數(shù) 總體方差的估計(jì)：對(duì)于一個(gè)總體的方差, 可用樣本方差 還可用 4. (理科) 掌握離散型隨機(jī)變量的分布列及期望與方差的定義、性質(zhì).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): (1) E(c)c (2) E(a+b)=aE+b(a, b, c為常數(shù)) 方差的性質(zhì): (1) D(a+b)=a2D (2) D=E2-

10、(E)2 (3) 若0-1分布, 則E=P, D=p(1p) (4) 若B(n, p), 則E=np, D=np(1p) (1) (2019年全國(guó)卷理)從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為:鏈接高考 012P例2解析0.1, 0.6, 0.3 答案解析0.1, 0.6, 0.3 答案 本題考查概率分布的概念、等可能性事件概率的求法.點(diǎn)評(píng) (2) (2019年湖南卷, 文、理)一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件它們來(lái)自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線, 為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量, 決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣, 已知甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列

11、，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了_件產(chǎn)品. 設(shè)甲、乙、丙分別生產(chǎn)了ad, a, a+d件產(chǎn)品, 則(ad)+a+(a+d)=3a=16800a=5600解析答案5600 設(shè)甲、乙、丙分別生產(chǎn)了ad, a, a+d件產(chǎn)品, 則(ad)+a+(a+d)=3a=16800a=5600解析答案點(diǎn)評(píng)5600 本題主要考查了運(yùn)用等差數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力, 注意設(shè)法技巧;屬容易題. （全國(guó)卷，文） 從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測(cè)驗(yàn), 每位女同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為 , 每位男同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為 , 試求： 例3 （I）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率； （II）10位同學(xué)中的女同學(xué)

12、甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率. 解析 （）隨機(jī)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為 （）甲、乙被選中且能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率為 點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 例4 (1) (2019年湖南卷, 理)某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn), 一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4, 0.5, 0.6,且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響, 設(shè)表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值. （）求 的分布及數(shù)學(xué)期望； （）記“函數(shù) f(x)x23 x1在區(qū)間2, )上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率. 解析

13、（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”, “客人游覽乙景點(diǎn)”, “客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1, A2, A3 . 由已知A1, A2, A3相互獨(dú)立, P(A1) =0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.6, 客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0, 1, 2, 3, 相應(yīng)地, 客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3, 2, 1, 0, 所以 的可能取值為1, 3. 所以 的分布列為 1 3 P0.760.24E=10.76+30.24=1.48法一法二 的可能取值為1，3. 點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的基本知識(shí)和期望等概念及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，切入點(diǎn)是準(zhǔn)確求出分布列，其中第二問(wèn)與二次函數(shù)單調(diào)性結(jié)合，考查分類(lèi)討

14、論思想及綜合分析能力. (2) (2019年北京卷,文) 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為 , 乙每次擊中目標(biāo)的概率 , 求: (I) 甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率;(II) 乙至少擊中目標(biāo)2次的概率;(III) 求乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率.(I) 甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為 (II) 乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為 解析（III）設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A, 乙恰擊中目標(biāo)2次且甲恰擊中目標(biāo)0次為事件B1,乙恰擊中目標(biāo)3次且甲恰擊中目標(biāo)1次為事件B2, 則AB1+B2, B1，B2為互斥事件 所以, 乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率為 所以, 乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率

15、為 本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、互斥事件的概率及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合分析能力. 點(diǎn)評(píng)在線探究 2. (1) (理科)有一個(gè)456的長(zhǎng)方體, 它的六個(gè)面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個(gè)長(zhǎng)方體鋸成120個(gè)111的小正方體, 從這些小正方體中隨機(jī)地任取1個(gè). (I) 設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望. (II) 如每次從中任取一個(gè)小正方體,確定涂色的面數(shù)后, 再放回, 連續(xù)抽取6次, 設(shè)恰好取到兩面涂有顏色的小正方體次數(shù)為 , 求的數(shù)學(xué)期望. (1) 分布列 0123p解析(1) 分布列 0123p解析 (2) (文科)為檢查甲乙兩廠的100瓦電燈泡的生產(chǎn)質(zhì)量

16、，分別抽取20只燈泡檢查結(jié)果如下：瓦數(shù)949698100102104106甲廠個(gè)數(shù)0368201乙廠個(gè)數(shù)1274321(1) 估計(jì)甲乙兩廠燈泡瓦數(shù)的平均值；(2) 如果在95105瓦范圍內(nèi)的燈泡為合格 品, 計(jì)算兩廠合格品的比例各是多少?(3) 哪個(gè)廠的生產(chǎn)情況比較穩(wěn)定？解析方法論壇 1. 在中學(xué)教材中，初等概率的教學(xué)分為必修與選修兩段，其中必修內(nèi)容是文、理科高考的共同內(nèi)容，要著重理解等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的意義及事件間的關(guān)系，掌握計(jì)算四種隨機(jī)事件概率的公式，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 2. 明確解概率題的幾類(lèi)典型錯(cuò)誤： (1) “非等可能”與“等可能”混同.

17、(2) “互斥”與“獨(dú)立”混同. (3) “互斥”與“對(duì)立”混同： 兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立； 互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立事件只適用于兩個(gè)事件； 兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生，而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生. (4) “條件概率P(B|A) ”(即事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率)與“積事件的概率P(AB)”混同. (5) “有序”與“無(wú)序”混同. (6) “可辨認(rèn)”與“不可辨認(rèn) ”混同. 3. 解題過(guò)程中, 要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”、“恰有一個(gè)發(fā)生”、“都發(fā)生”、“都不發(fā)生”、“不

18、都發(fā)生”等詞語(yǔ)的含義. 已知兩個(gè)事件A、B, 它們的概率分別為P(A)、P(B), 那么: A、B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A+B; A、B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件A、B中恰有一個(gè)發(fā)生為事件A、B都發(fā)生為事件AB;A、B都不發(fā)生為事件它們之間的概率關(guān)系如下表所示：注 4. 選修內(nèi)容中，理科學(xué)生明確： (1) =k 表示隨機(jī)變量取k值，是一個(gè)基本事件，而 k、 k 、 k、 k等均表示由一些基本事件組成的一般事件，P( = k) 、P( k)等表示事件的概率，是取值于0,1上的一個(gè)實(shí)數(shù). (2) 求隨機(jī)變量的分布列, 重要的基礎(chǔ)是概率的計(jì)算；任一離散型隨機(jī)變量的概率分布列都有兩條性質(zhì): Pi 0, i=1, 2, ; P1+P2+=1. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列（含未知參數(shù)）, 可利用兩條性質(zhì)求出其中未知參數(shù). (3) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概