方差公式的妙用_第1頁
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1、PAGE PAGE 3方差公式的妙用湖南省冷水江市七中（417500）李繼龍若數(shù)組x1、x2、xn的平均數(shù)為，則其方差為S2 =(x1 )2 +(x2 )2 +(xn)2=(+)n2. 顯然，S20. 特別地，由S2 =0得x1=x2 =xn=.本文抓住方差的這一特性解題.請看：1、解方程組例1解方程組求出所有的實數(shù)解.解視x、y、z為一組數(shù)據(jù)，則=1.S2 =(x2 +y2 +z2) 312 =(33)=0.x=y=z =1，且適合（3），原方程組有唯一實數(shù)解.2、求最值例2設(shè)實數(shù)a、b、c、d、e適合a+b+c+d+e =8，a2 + b2 +c2 +d2 +e2 =16，試求e的最大值.

2、解由題設(shè)知：a+b+c+d =8 e，a2 +b2 +c2 +d2 =16e2.則數(shù)組a、b、c、d的方差S2 =(a2 +b2 +c2 +d2 4()2 )=16e2 (8e)2 = e(e)0.0e，所求e的最大值為.例3設(shè)m、n、P均為正實數(shù)，且，求的最小值.解視m、n為一組數(shù)據(jù)，由方差公式得m、n的方差為：0， 0. m、n、p均為正實數(shù)， .當(dāng)且僅當(dāng)mn時，取最小值.3、證不等式例4若實數(shù)a、b、c，滿足a +b +c =1，求證：a2 +b2 +c2 .解視a、b、c為一組數(shù)據(jù)，則=，S20，又S2 =a2 + b2 +c2 3()2 =(a2 +b2 +c2 ).(a2 +b2 +c2 )0，即a2 +b2 +c2 .例5設(shè)5，證明不等式：.證明視為一組數(shù)據(jù)，由方差公式得：=0.=.顯然，第一個不等式中的等號不能取得，因為它成立的條件是四個數(shù)據(jù)的值相等，所以成立.4、判斷三角形的形狀例6ABC的三邊滿足，試問ABC是什么三角形(按邊分類)？并證明你的結(jié)論.證明因為，所以.因此將b、c視一組數(shù)據(jù)，則它的方差為 ，因為

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