九年級(jí)弧長和扇形面積計(jì)算講義

1、弧長和扇形面積計(jì)算 內(nèi)容基本要求略高要求較高要求弧長會(huì)計(jì)算弧長能利用弧長解決有關(guān)問題扇形會(huì)計(jì)算扇形面積能利用扇形面積解決有關(guān)的簡單問題圓錐的側(cè)面積和全面積會(huì)求圓錐的側(cè)面積和全面積能解決與圓錐有關(guān)的簡單實(shí)際問題自檢自查必考點(diǎn)一、弧長公式由于圓周角課看做的圓弧，而的圓心角所對的弧長就是圓周長 ，所以在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式：【注意】圓心角的單位若不全是“度”，一定要化為“度”再代入公式；公式中的三個(gè)未知量只要知道兩個(gè)就可以求出第三個(gè)，從而可以推得圓心角的計(jì)算公式為：二、多邊形滾動(dòng)問題解決多邊形滾動(dòng)問題，要明確旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)方向以及旋轉(zhuǎn)角度常見的多邊形滾動(dòng)問題有：正三角

2、形沿水平線翻滾；正方形沿水平線翻滾；各內(nèi)角相等的非正多邊形沿水平線翻滾；各內(nèi)角不相等的多邊形沿水平線翻滾三、扇形扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形扇形的周長：在半徑為，圓心角的度數(shù)為的扇形中，周長的公式為：扇形面積的計(jì)算公式： （為扇形的弧長） 【注意】扇形的面積有兩個(gè)計(jì)算公式，根據(jù)題目的不同可以選擇不同的公式進(jìn)行計(jì)算四、弓形面積的計(jì)算方法弓形的定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形弓形的面積計(jì)算：弓形的面積問題可以轉(zhuǎn)化成扇形面積和三角形面積來計(jì)算根據(jù)弧的情況不同，有以下三種情況： 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)， 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)， 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)

3、， 五、圓錐圓錐的概念：圓錐可以看做是由一個(gè)直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形這條直線叫做圓錐的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，底面是一個(gè)圓面斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面從圓錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做圓錐的高連接圓錐的頂點(diǎn)和底面周長的任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，那么這個(gè)扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐的底面周長，因此圓錐的側(cè)面積公式為：圓錐的全面積：圓錐的測面積與底面積之和稱為圓錐的全面積公式為：【注意】圓錐面積計(jì)算公式中的與扇形面積計(jì)算公式中的表示的含義是不一樣的，應(yīng)用時(shí)不要用混淆推

4、論：已知扇形的半徑為，圓心角為， 扇形圍成的圓錐的底面半徑為，則可以三者之間的關(guān)系為： 例題精講一、弧長的計(jì)算在半徑為3的圓中，150的圓心角所對的弧長為（ ）A B C D如果中標(biāo)的軸心到分針針端的長為5，那么經(jīng)過40分鐘，鐘表的分針針端轉(zhuǎn)過的弧長是_一條弧的長度為，所對的圓心角為108，那么這段弧的半徑為_（2012年漳州）如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周，圓心移動(dòng)的距離是（）A B C D（2013年玉林）如圖，實(shí)線部分是半徑為 的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長是_m（2013年宜賓）如圖，是正三角形，曲線叫做正三角形的漸開線

5、，其中弧、弧、弧的圓心依次是，如果，那么曲線的長是_（2013年揚(yáng)州）如圖，在扇形中，半徑，將扇形沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)恰好落在弧上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則弧的長為 _二、多邊形滾動(dòng)問題（2013年遵義）如圖，將邊長為的等邊三角形沿直線向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），點(diǎn)從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為（ ） A B C D3（2011年蘭州）已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_米（2013年貴陽）在矩形中，有一個(gè)半徑為1的硬幣與邊相切，硬

6、幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊滾動(dòng)到開始的位置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是（）A1圈 B2圈 C3圈 D4圈（2012年呼倫貝爾）如圖，在中，將繞頂點(diǎn)按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，且三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)經(jīng)過的路線的長度是（）A4 B C D （2009年黃岡）已知：矩形的邊，現(xiàn)將矩形放在直線上且沿著向右作無滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)所經(jīng)過的路線長是_（2010年臺(tái)州）如圖，菱形中，菱形在直線上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留）_（2013年內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片在桌面上由

7、圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心運(yùn)動(dòng)的路程為_cm（2013年六盤水）把邊長為1的正方形紙片放在直線上，邊在直線上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，此時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)處（即點(diǎn)處），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)處，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)處，又將正方形紙片繞點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)經(jīng)過的總路程為_，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為_如圖，邊長為2的等邊置于邊長為4的正方形內(nèi)，使點(diǎn)在邊上將三角形先繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后再繞作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此進(jìn)行，使三角形沿著正方形的邊向前轉(zhuǎn)動(dòng)，直到回到原來位置這時(shí)頂點(diǎn)所行路程長度

8、為_三、扇形、弓形面積的計(jì)算（2013年資陽）鐘面上的分針的長為1，從9點(diǎn)到9點(diǎn)30分，分針在鐘面上掃過的面積是（）A B C D 【答案】A（2013襄陽）如圖，以為直徑的半圓經(jīng)過斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊于點(diǎn)是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧的長為，則圖中陰影部分的面積為（）A B C D （2013年東營）如圖，正方形中，分別以為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為（）A B C D （2013年昭通）如圖所示是某公園為迎接“中國南亞博覽會(huì)”設(shè)置的一休閑區(qū)，弧的半徑長是6米，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是？（2012寧夏）如圖，一根5m

9、長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊（羊只能在草地上活動(dòng)），那么小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是？=（2013年遵義）如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓弧交于點(diǎn)，交的延長于點(diǎn)，若圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等，則的長為？（結(jié)果保留根號(hào)）（2013年鹽城）如圖，在中， ，將繞頂點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45至的位置，則線段掃過區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積為？四、圓錐（2013年貴港）如圖，已知圓錐的母線長為6，圓錐的高與母線所夾的角為，且 ，則該圓錐的側(cè)面積是（）A B C D （2013黔西南州）如圖，一扇形紙片，圓心角為120，弦的長為，用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接

10、縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為_（2013年盤錦）如圖，張老師在上課前用硬紙做了一個(gè)無底的圓錐形教具，那么這個(gè)教具的用紙面積是_cm2（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用表示）（2013年佛山）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線與高的夾角（參考公式：圓錐的側(cè)面積，其中為底面半徑，為母線長）（2009年永州）問題探究：如圖所示是一個(gè)半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，是圓柱的一條母線，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線剪開，它的側(cè)面展開圖如圖中的矩形，則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）；如圖所示是一個(gè)底面半徑為，母線長為4的圓

11、錐和它的側(cè)面展開圖，是它的一條母線，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；如圖所示，在的條件下，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程（2008年南通）鐵匠王老五要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的方案二（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請你幫助他算一算可以嗎？請說明方案一不可行的

12、理由；判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由如圖：有一個(gè)半徑為的半圓，要用這個(gè)半圓做一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，小芳想這樣做：在圓弧上取點(diǎn)，使，用扇形作圓錐的側(cè)面，在扇形內(nèi)剪一個(gè)最大的作圓錐的底面，你認(rèn)為小芳這樣做辦得到嗎？請你通過計(jì)算說明理由己知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，為母線的中點(diǎn)，求從到在圓錐的側(cè)面上的最短距離課后作業(yè)（2012年北海）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則頂點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為（）A B C D （2013年山西）如圖，四邊形是菱形，扇形的半徑為2，圓心角為60，則圖中陰影部分

13、的面積是（）A B C D （2013年泰安）如圖，是的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，若的半徑為2，則陰影部分的面積為（）A8 B4 C D （2013年遂寧）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在55的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度）的格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積約是？（ ，結(jié)果精確到0.1）（2013年黃岡）如圖，矩形中，邊在直線上，將矩形沿直線作無滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)第一次翻滾到點(diǎn)位置時(shí)，則點(diǎn)經(jīng)過的路線長為_（2012年遵義）如圖，將邊長為的正方形沿直線向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形連續(xù)翻動(dòng)6次后，正方形的中心經(jīng)過的路線長是_cm（結(jié)果保留）（2013年廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高是 cm（2009年青海）如圖，一個(gè)圓錐的