典型例題解析靜定結構位移計算

1、學習好資料 歡迎下載 第 5 章 靜定結構位移運算 5 1 基本概念 a EI Cl5-1-1 虛擬單位力狀態(tài)構造方法 虛擬單位力狀態(tài)構造方法： q（ 1）去掉全部荷載重畫一個結構； EI （ 2）標出所求位移矢量； l（ 3）該矢量變成單位力,即得虛擬單位力狀態(tài)； 如圖 3-1a 剛架求 C 點豎向位移 CV 和 C 截面轉角 b 1CC,圖 3-1b 和圖 3-1c 為求相應位移所構造的虛擬單位 c 求 CV 力狀態(tài)； 15-1-2 位移運算公式 C求 C虛擬單位力作用下,引起的內力和支座反力： F N, M , F Q , F Ri 圖 3-1 虛擬單位力狀態(tài) 實際荷載作用下,引起的內力

2、： FNP , M P , FQP 位移運算一般公式 F N du Md F Q ds F Ri ci 荷載作用產生位移的運算公式 F N FNP ds M M P EI ds k F Q FQP ds EA GA 1, 梁或剛架結構 M M P ds EI 2, 桁架結構 F N FNP EA ds 第 1 頁,共 14 頁3, 混合結構 學習好資料 MM 歡迎下載 F N FNP ds EA P ds EI 支座移動引起位移運算公式 F Rici 溫度引起位移運算公式 F Nt0dx Mht dx , h 截面高度 t0lF NAM ht t 溫式中： 為線膨脹系數(shù) , t0 形心溫度 ,

3、 差 AM 虛擬狀態(tài)彎矩圖面積 有彈性支座情形的位移運算公式 M M P ds F R FRP y A 面EI k Ay0 F R FRP EI k 5-1-3 圖乘法 圖乘法公式： C積 M P MM P dx Ay0 o形心 EI EI EI y0 Mx 圖乘法公式條件： 等截面直桿且 EI= 常數(shù) 求 y0圖形必需為一條直線 圖 3-2 圖乘法示意圖 正負號確定： 面積 A 與 y0同側取“ +”號 留意：求 面積的圖形要會求面積和形心位置； 為使運算過程簡潔, 明白, 先將面積和形心處對應彎矩求出標在彎矩圖一側, 然后直接 代入圖乘法公式求得位移； 第 2 頁,共 14 頁學習好資料

4、D歡迎下載 【 例題 3-1 】 運算圖示結構 B 轉角和 點豎向位移 ； a 1CEI D1l1b 22 ql CA2 3 ql D2 ql qEI EI ql 2ql 3 A 1 = 22ql 3 A 3 = 38B A B A M P 圖 c ql l【分析】 1lCy 2 =1 D利用虛力原理運算位移, 第一需要構造一個 與所求位移對應的虛擬單位力狀態(tài), 然后運算 y 3 =1 y1 =1 虛內力在實際變形上所做的內力虛功, 對于荷 A M1B 載作用下剛架的位移運算, 僅需運算在彎曲變 形上的內力虛功, 為此, 需要作荷載產生的彎 求 B 轉B 矩圖（如圖 b 所示）； d 角 構造

5、單位力狀態(tài) ：每求一個位移重新畫一個 1結構,將所求位移矢量（矢量方向任意假定） lCy 2 = lD畫在結構相應位置處, 標單位力值, 即得到與 2所求位移對應的虛擬單位力狀態(tài) （分別如圖 c, y3 = l y1 =0 d 所示）； A MB 虛擬單位力狀態(tài)的內力在實際變形上做 虛功,由于剛架僅需要運算彎曲內力虛功, 先 求 D 豎向位DV 作虛擬單位力產生的彎矩圖 （如圖 c,d 所示）； 移 【解】 例題 31 圖 圖乘法應用 ：為使運算過程簡潔, 明白, 先 將面積和形心處對應彎矩求出標在彎矩圖一 側,求 B 截面轉角： 然后直接代入圖乘法公式求得位移； B MMP ds Ay 0

6、特別留意：運算面積的圖形需要找形心位 置, Mp 圖 AC 桿面積用梯形減對稱拋物線面 EI EI A y 1 A y 2 A y 3313ql 3積,但形心位置不易運算, 由于虛擬力狀態(tài)的 EI EI EI 6EI AC 桿彎矩為常數(shù),因此此題 AC 桿不用運算 求 D 點的豎向位移： （順時針） 精確形心位置 ； 正負號選擇 ：面積彎矩圖與彎矩 y 在相同一 DV M M P ds Ay0 側做正功取正號 （如不在同側時, 內力虛功為 負,就應取負號） ； EI EI A1 y1 A2 y2 A3 y3 4 7ql 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向 EI EI EI 6EI 就是所

7、求位移的方向； 第 3 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-2 】 分別運算圖示結構 A 點, B 點的豎向位移 ； a qb 4ql A2 = 33ql A 1 = 23CA EI B 2 EI Cc ql A B ll2ql 22 ql M P 圖 18lA B y 1 = 2l Cd y2 = l l3【分析】 M1 y 3 = 5l 3y 4 = 4 l C3利用虛力原理運算位移,第一需要構造一個 e A B y1 = 2l 3 與所求位移對應的虛擬單位力狀態(tài),然后運算 虛內力在實際變形上所做的內力虛功,對于荷 3l l2 l y 5 = 載作用下梁或剛架的位移運算,僅

8、需運算在彎 M2曲變形上的內力虛功,為此,需要作荷載產生 A A 3= 3ql 43B 的彎矩圖（如圖 b 所示）； ql 2構造單位力狀態(tài) ：A 點, B 點豎向位移所對 ql 3A 5 = 12 2 ql 2 ql ql 3 A 4 = 2應的虛擬單位力狀態(tài)分別如圖 d, c 所示； 求 B 點豎向位移 ：圖 b 和圖 c 作圖乘, M圖 例題 32 圖 AB 段為常數(shù), MP 圖AB 段求面積 A2 不必確定 8形心位置； M圖 BC 段為斜直線, MP 圖 BC 段 求面積 A 1,并確定形心位置,求對應的 M圖 彎矩 y1； 【解】 求 B 點的豎向位移： 求 A 點豎向位移 ： M

9、 圖 BC 段為直線, MP 圖 BC 段求面積 A1 ,并確定形心位置,求對應 BV M M P ds Ay0 M 圖彎矩 y1； M圖 AB 段為直線, MP 圖 AB EI EI 段的面積分成三塊面積如圖 e 所示（兩個三角 A y 1 1 A y 2 2 4 3ql 形和一個對稱拋物線） ,面積分別為 A3 , A4 , 2EI EI 2EI A5,形心對應的 M圖彎矩 y3, y4, y5； 求 A 點的豎向位移： DV M M P ds Ay0 留意： EI EI BC桿段抗彎剛度 2EI,相應分母用 2EI ； 為 運算面積的圖形,要確定形心位置,對應求 A1 y1 A3 y3

10、A4 y4 A5 y5 4 53ql 2EI EI EI EI 24 EI 彎矩值的彎矩圖要是一條直線（當這條直線為常 數(shù)時,求面積圖形不必確定形心位置） 第 4 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-3 】 運算圖示結構 A 的轉角位移 ；各桿 EI=常數(shù)； a MF CEI E lb F c EI DM l A 2 = 8EI EI M E M c A B M CDl2l2A1=Ml MA MB 1Cy = 21 3M P 圖 E 【分析】 D構造單位力狀態(tài) ：能夠在轉角上做功的力是力 y = 12 3偶,與 A 截面轉角位移對應的單位力狀態(tài)如圖 所示；虛擬單位力做外力虛功等

11、于所求位移； A 1B 虛擬單位力狀態(tài)的內力在實際變形上做內 力虛功,剛架僅需要運算彎曲內力虛功,作虛擬 M單位力產生的彎矩圖（如圖 c 所示）； 荷載彎矩圖 ：需要作荷載產生的彎矩圖（如圖 例題 33 圖 b 所示）； 圖乘法應用 ：此題兩個彎矩圖都為直線圖形, 可以選其中任一個運算面積,另一個求彎矩值, 【解】 求 A 截面轉角： 由于 AC 桿直接圖乘形心不易運算, 此題對 AC, DB 桿件進行一些特別處理,方法如下： A M M P ds EI Ay0 EI 將 DB 桿件彎矩圖搬到 AC 上面（如圖虛線 部分）變成 AF,兩個圖都是三角形,可以直接 A1 y1 圖乘,三角形的形心簡

12、潔確定,這樣 AC ,DB 一 2 A2 y2 次圖乘就可以了； EI EI CE,ED 兩個桿件圖乘結果相同,只需運算 2Ml Ml 3Ml 順時針 一個即可；為使運算過程簡潔,明白,先將面積 312 4和形心處對應彎矩求出后標在彎矩圖一側, 然后 直接代入圖乘法公式求得位移； 符號選?。簣D形在同側內力虛功為正值,位移 與虛擬力方向相同； 第 5 頁,共 14 頁【 例題 3-4 】 學習好資料 歡迎下載 運算圖示結構 I 點豎向位移 ；各桿 EI=常數(shù)； a B lE F P G F P lb 4 FP 2 10FP 302FP 2 FP 2FP 3C4 2FP 4FP J 332 F P

13、 33l02F P 4 FP 3A F D3I 4FP 32 F P FP F P F P F P 33llc 20. 5 10 0. 5 FNP 圖 【分析】 022 構造單位力狀態(tài) ：重新畫一個結構（如圖 c 所 示）,將所求位移矢量畫在結構相應位置處 I 點, 220標單位力值,即得到所求位移對應的虛擬單位力 2狀態(tài)（如圖 c 所示）； 21. 5 0. 5 0. 5 1 作荷載,單位力軸力圖： 利用虛力原理運算位 FN 移,需要運算虛內力在實際變形上所做的內力虛 功,對于求桁架結構由荷載產生的位移,只運算 【解】 例題 3 4 圖 在軸向變形上的內力虛功,為此,需要作荷載, 單位力產生

14、的軸力圖（如圖 b, c 所示）； 位移運算公式應用 ：桁架結構位移運算僅有軸 力項,軸力要帶符號運算（以拉力為正,壓力為 IV F F NP ds F NF NP l4負）,對于桿件是等截面同材料, 不需要作積分運 EA EA 算,對全部桿件求和即可,要留意使用每個桿件 F l P EA 10 210 10 3 0.5 的 長度 ,彈性模量,面積； 233 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向就 是所求位移的方向； 1.5 2 242 2232 注：桁架內力的運算方法 22 32 223 2 此題桁架上部體系與地基之間只有三個聯(lián) 系,可先求出支座反力, BJ 桿件軸力在 B 處分解 22

15、 1.5 2 2 0.5 1 3成 X,Y 方向再對 A 點取矩可以便利求得；其它 3桿件軸力利用結點法依據(jù) A,C,E,D,F,G, 10 10 F l P 22 14 3EA I 次序列投影平穩(wěn)條件得到； ED ,GF 兩個桿件為零桿,可先求得 ； P l EA 第 6 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-5 】 圖示結構 B 支座發(fā)生沉降 , 運算 A 的轉角位移和 C 點水平位移 ； a CE DbCE Dl 1c 1A B abA B 12 l l2l 2 1lCE D【分析】 構造單位力狀態(tài) ：每個位移重新畫一個結構 （如圖 b, c 所示）,將所求位移矢量畫在結構

16、相應位置處, 標單位力值,即得到所求位移對應的虛擬單位力狀 A MB 1態(tài)；求 A 處角位移的單位力狀態(tài)如圖 b 所示,求 C 點水平位移的單位力狀態(tài)如圖 c 所示； 靜定結構因支座移動影響只發(fā)生剛體位移, 不產生 例題 35 圖 變形； 虛擬力狀態(tài)的內力也就不做內力虛功, 在此情 況下不需要作內力圖, 虛擬力狀態(tài)的支座反力在位移 狀態(tài)的支座位移上將做外力虛功； 只需要求出對應有 支座移動的約束反力即可； 支座不發(fā)生移動的, 對應 【解】 1b虛擬力狀態(tài)的支座反力也不做外力虛功； A 的轉角位移 ： 運算支座反力 ：圖 a 體系的幾何組成為三剛片類型 A F Ri ci結構, 也稱作三鉸剛架；

17、 運算反力要用雙截面法取兩 次隔離體,此題只需要 B 支座反力 , 運算過程為： 1 2 l a1 先取整體 ACDB 隔離體, 對 A 點列力矩平穩(wěn)條 2l a 2b 件,求出 B 豎向反力； （位移方向與虛擬單位力相同,順時針） C 點水平位移 ： 2 再取一個剛片 EDB 隔離體,對 E 點列力矩平 衡條件,求出 B 水平反力； CH F Ri ci 正負號選擇 ：力和位移都是矢量, 方向相同作正虛 功,相反做負功； 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向就是所 求位移的方向； a1bb （位移方向與虛擬單位力相反,向左） 留意：位移運算公式支反力虛功前面的負號, 是公 式自帶的； 原

18、先是內力虛功為零, 外力虛功項在公式 左端,移到右端加負號； 第 7 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-6 】 運算圖示結構 B 轉角和 A 點水平位移（其中彈簧剛度為 k）； a CEI B lb FP l A2 = FP l2（如 2 CB FRP B FP k EI 3 lEI A1= F P l 2 A M PF P F P A y 322 F P 3l圖 2l c Cy = 2111F RB 1d 2l lCy2 = 3B 1F RB 13B y = 13A M圖 l11A M圖 l例題 36 圖 【分析】 構造單位力狀態(tài) ：每個位移需要重新畫一個結構 【解】 求

19、A 點的水平位移： 圖 c, d 所示）,將所求位移矢量畫在結構相應位置處, 標單位力值,即得到所求位移對應的虛擬單位力狀態(tài)； 求 B 處角位移的單位力狀態(tài)如圖 c 所示,求 A 點水平 AH M M P ds F R FRP 位移的單位力狀態(tài)如圖 d 所示； EI k 內力虛功： 剛架在荷載作用下的位移運算, 運算虛內 力在實際彎曲變形上所做的內力虛功, 為此, 需要作荷 Ay0F R FRP EI k 載,單位力產生的彎矩圖； 彈性支座運算： 可以 將彈性支座的彈簧當作結構的一 A1 y1 A2 y2 F RB FRPB 3 5FPl EI k EI 3EI 部分； 單位力產生的彈性支座反

20、力 F R ,在彈簧變形 （位移方向：向右） 上做內力虛功, 其內力虛功等于力 F R 乘以位移 ,彈 求 B 截面的轉角位移： 簧位移 等于位移狀態(tài)的彈性支座反力除以彈簧剛度 B M M P ds F R FRP （ FRP k ）；也可以將彈性支座按支座移動處理； EI k Ay0 F R FRP 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向就是所求 位移的方向； EI k A2 y2 F RB FRPB 5FPl 2 留意：彎矩圖在圖乘時求面積 A 圖與 y 在同一側取 EI k 6EI 正號,在不同側取負號； （位移方向：逆時針） 彈簧內力虛功符號：兩個支座反力 F R , FRP 方向

21、相同做正功,方向相反做負功； 第 8 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 l0B 【 例題 3-7 】 運算圖示結構 B 轉角和 C 點水平位移 ； 已知線膨脹系數(shù)為； a 20 C b 0 1 c 1C 10 C B C B C 0-1 20 C l 1 A 1 = 2 l 11 lhA A M 圖 F N A A2 = l 2 2M 圖 F N圖 l圖例題 37 圖 【解】 【分析】 t0 AC 1 2 t1 t2 5 C , t0 BC 15 C 構造單位力狀態(tài) ：每個位移需要重新畫一個 t AC t 2 t1 30 C , t BC 10 C 結構（如圖 b, c 所示）,將所求位移

22、矢量畫在 B 截面的轉角位移 ： 結構相應位置處,標單位力值,即得到所求位 B FN t0dx Mht dx 移對應的虛擬單位力狀態(tài)；求 B 處轉角位移的 單位力狀態(tài)如圖 b 所示,求 C 點水平位移的單 位力狀態(tài)如圖 c 所示； 作內力圖 ： 對剛架由于溫度轉變引起的位移 運算,要考慮溫度轉變引起的彎曲變形和軸向 變形兩種因素對位移的影響,也就是要運算虛 擬單位力狀態(tài)的內力在彎曲,軸向變形上做的 內力虛功；作虛擬單位力產生的彎矩圖和軸力 圖（如圖 c, d 所示）；軸力標在桿件一側； lt0 FN AM ht l 5 1 h10 l25 l 5lh（轉角位移方向：順時針） C 點水平位移 ：

23、 內力虛功正負號選擇 ：彎矩圖面積和桿件兩 CH FN t0 dx A Mht Mht dx 側溫度差都取正值,桿件溫度上升大的一側與 , 彎矩圖在同側時內力虛功為正,取正號,在不 t lF N 同側時取負號；軸力以拉力為正（壓力為負） 符號不用選擇； l 5 1 h10 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向 l2就是所求位移的方向； 2 留意：如桿件截面不對稱時截面形心不在中 h10 l2間位置,需確定截面形心位置,以便運算截面 2形心處的溫度；桿件兩側溫度差的運算與截面 5 l 是否對稱無關； （水平位移方向：向右） 第 9 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-8 】

24、運算圖示結構 C 點和 E 點的豎向位移 ； EI= 常數(shù), EA= 常數(shù)； a FP E F FP l b FP E FP F FP l G G 2FP l FP FP FP l A l Cl Dl B A 0 A1=FP l C2 DFP l B FP M P FNP 圖 圖 c E 0 00 F 0 0 G d E 11 0 0 F 0 0 G A C2l3 1 Dl3 y 1 3 l B A C2l D3 l y 1 l3 B M 圖 F N 3 圖 M圖 F N例題 38 圖 圖 【解】 【分析】 求 C 點的豎向位移： 構造單位力狀態(tài) ：求 C 點豎向位移的單位力 狀態(tài)如圖 c 所

25、示,求 E 點豎向位移的單位力狀 CV M M P ds FN FNP ds 態(tài)如圖 d 所示； EI EA 作內力圖 ： 對組合結構梁式桿件作彎矩圖, Ay0 FN FNPl 桁架桿件作軸力圖, FG 桿件當作梁式桿件處理 EI EA （如圖 b, c 所示）； 3A1 y1 FPl 位移運算 ：梁式桿利用圖乘法求,正負符號 EI 3EI 選擇依據(jù)圖乘法,桁架桿軸力拉力為正（壓力 為負）正負符號,代入； 求 E 點的豎向位移： 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向 EV M M P ds FN FNP ds 就是所求位移的方向； EI EA 結構內力運算 ：此題為組合結構,其幾何組 Ay

26、0 FN FNPl 成為基附型結構,基本部分是簡支梁,附屬部 EI EA 分為桁架；內力運算時依據(jù)先附屬后基本的順 3A1 y1 FP 1l FPl FPl 序進行；當附屬部分不受外力時,也沒有內力； EI EA 3EI EA 留意： FG 桿件有彎矩,依據(jù)梁式桿運算； 第 10 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-9 】 運算圖示結構 D 點豎向位移和 AE 桿件的轉角 ； a E 10 CF lb E 1F 2A lC20 CDlB 0121 22222A 0C0DB l1F Nc 11E 1F 1l圖 2 l 2 l 1111【分析】 2 l 12 l 2構造單位力狀態(tài)

27、：重新畫一個結構（如圖 b,c 2 l 2 l 2 l 所示）,將所求位移矢量畫在結構相應位置處, 標 A 1C1D1B 單位力值；求 D 點豎向位移對應的虛擬單位力狀 態(tài)ll2 l 如圖 b 所示；桁架只作用結點荷載,不能施加 12 l F N2 l 單位集中力偶, 用一對力形成單位力偶, 即求 AE 圖 39 圖 桿件轉角所對應的虛擬單位力狀態(tài)如圖 c 所示； 例題 運算單位力產生的軸力圖： 利用虛力原理運算 【解】 位移,需要運算虛內力在實際變形上所做的內力 t0 CD 20 C , t0 EF 10 C 虛功,對于求桁架結構由溫度轉變產生的位移, 只存在在軸向變形上的內力虛功,為此,需

28、要作 D 點的豎向位移 ： 單位力產生的軸力圖（如圖 b, c 所示）； DV FN t0 dx FN t0 l 位移運算公式應用 ：桁架結構位移運算公式僅 有軸力項,軸力要帶符號運算（以拉力為正,壓 l 110 0 20 力為負）,溫度以上升為正, 溫度不轉變桿件不用 2運算,此題只需運算 EF,CD 兩桿件； 5 l 位移實際方向 ：結果為正時虛擬單位力方向就 （豎向位移方向：向上） 是所求位移的方向； AE 桿件的轉角位移 ： 注：桁架內力的運算方法 此題桁架上部體系 與地基之間只有三個聯(lián) AE FN t0 dx t0 FN l 系,可先求出支座反力,其它桿件軸力利用結點 1 l 2l

29、10 120 法取結點作隔離體,依據(jù) A,C,B,D,F 次序 l列投影平穩(wěn)條件求出各個桿件的軸力； 25 同一個結構的運算方法與幾何組成有關,而 （轉角位移方向：逆時針） 與其上面的作用力無關, 即如圖 b,c 所示兩個結 構的軸力運算方法相同； 第 11 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載 【 例題 3-10 】 圖示結構 EB 桿件制造短了 15 mm,支座 C 下沉, a 運算 F 點豎向位移和 AD 桿件的轉DE F G F G 角 ； c E D11 4A B m 4 A B C0C10mm 4m 4m 1 404m b DE 20mm 【分析】 1 構造單位力狀態(tài) ：求 F 點

30、豎向位移的單 位力狀態(tài)如圖 b 所示；由于制造誤差和支 F G 座移動使結構產生剛體位移, AD 桿件任一 A B C點轉角相等,因此,求 AD 桿件轉角位移 的單位力狀態(tài)如圖 c 所示； 靜定結構因制造誤差和支座移動影響只 發(fā)生剛體位移,不產生變形,虛擬力狀態(tài) 的內力不做內力虛變形功,也就不需要作 【解】 ： 例題 310 圖 內力圖；有制造誤差的桿件將產生內力虛 功,需運算相應的虛內力；虛擬力狀態(tài)的 F 點的豎向位移 支座反力在位移狀態(tài)的支座位移上將做外 力虛功,需要求出對應有支座移動的約束 F V Mdx FN dx Qdx F Ri ci 反力；支座不發(fā)生移動的,對應虛擬力狀 FN d

31、xF Ri ciFN 態(tài)的支座反力也不做外力虛功； F Ri ci 運算支座反力 ：圖 a 體系為基附型剛架, 0.5 15mm 10 mm ADE 為附屬部分, BFC 為基本部分按三剛20 mm 片組成；要依據(jù)先附后基的原就運算；附 mm 屬部分中意二剛片規(guī)章用截面法求,基本 AD 桿件的轉角 ： 部分用雙截面法（取兩次隔離體）運算； 正負號選擇 ：力和位移都是矢量,方向 AD Mdx FN dx Qdx F Ri ci相同作正虛功,相反做負功；制造誤差以 FN dx F Ri ciFN F Ri ci伸長為正,軸力以拉為正； 3 0.25 10 / mm 15mm 020 mm 010 mm 留意：位移運算公式支反力虛功前面的 負 號,是公式自帶的；有制造誤差,內力 虛功 不為零,內力虛功,外力虛功的符號 3.75 10 -3 弧度 由力, 位移的正負符號準備, 相同做正功； 第 12 頁,共 14 頁學習好資料 歡迎下載