數(shù)學(xué)建模教案

1、數(shù)學(xué)建模教案1前言應(yīng)用和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)建模的特點，也是素質(zhì)教育的靈魂；不論用數(shù)學(xué)方法解決哪類實際問題，還是與其他學(xué)科想結(jié)合形成交叉學(xué)科，首先的和關(guān)鍵的一步是用數(shù)學(xué)的語言表述所研究的對象，即建立數(shù)學(xué)模型。在高科技時代，特別是計算機技術(shù)迅速發(fā)展的今天，計算和建模正成為數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。本課程旨在提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)知識的獲取能力。 2一 數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)的關(guān)系數(shù)學(xué)的定義:數(shù)學(xué)作為一門研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它的內(nèi)容是從實際中抽象出來，與實際想脫離的，但在它生產(chǎn)和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關(guān)。數(shù)學(xué)具有三大特點：1 抽象性2 嚴密性3 應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)的

2、任務(wù)和發(fā)展動力應(yīng)用是數(shù)學(xué)的主要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力。3數(shù)學(xué)建模的定義:數(shù)學(xué)建模是指用數(shù)學(xué)的語言和方法對實際問題進行近似地刻劃和描述，數(shù)學(xué)建模并不是新事物，自從有了數(shù)學(xué)并用數(shù)學(xué)去解決問題時，就有了數(shù)學(xué)建模?？v觀人類歷史上進行過的三次重大的科學(xué)技術(shù)革命，每一次都是滲透著數(shù)學(xué)的應(yīng)用，都是數(shù)學(xué)建模過程。但將數(shù)學(xué)建模作為一門專門的學(xué)科和課程歷史還很短。 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的培養(yǎng)目標:1 培養(yǎng)翻譯能力2 應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)方法和思想進行綜合應(yīng)用和分析，并能學(xué)習一點新的數(shù)學(xué)知識，并能理解合理的抽象和簡化，特別是進行數(shù)學(xué)分析的重要性3 發(fā)展聯(lián)想能力4 逐漸發(fā)展形成一種洞察力5 熟練使用技術(shù)手段4數(shù)學(xué)理論實際實

3、際來源于服務(wù)于學(xué)到的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習數(shù)學(xué)建模推動發(fā)展數(shù)學(xué)家?guī)浊甑呐o限多的問題有限多的知識必須發(fā)揮主觀能動性學(xué)會數(shù)學(xué)建模的方法5二數(shù)學(xué)建模競賽（MCM）由來和規(guī)則1985年以前美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 (普特南數(shù)學(xué)競賽）。1985年在美國創(chuàng)辦了一個名為數(shù)學(xué)建模競賽(Mathematical in Modeling,縮寫為)；一年一度的數(shù)學(xué)建模競賽是一種徹底公開的競賽。每年只有若干個來自不受限制的任何領(lǐng)域的實際問題，學(xué)生以三人組成一個隊的形式參賽，在小時內(nèi)任選一題，完成該實際問題的數(shù)學(xué)建模全過程，并就問題的重述、簡化和假設(shè)及合理性的論述、數(shù)學(xué)建模的論述與求解、檢驗和改進、模型的優(yōu)缺點及其可能的

4、應(yīng)用范圍的自我評述等內(nèi)容寫出論文。由專家組成的評閱組進行評閱，評出優(yōu)秀論文。在競賽期間不得與隊外的任何人討論，但可以利用任何資料軟件。6三數(shù)學(xué)假模的一般步驟建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與問題的性質(zhì)、建模目的等有關(guān)。下面介紹的是機理分析方法建模的一般過程，如下圖所示.模型準備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型檢驗?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ蛻?yīng)用7模型準備 了解問題的實際背景，明確建模的目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的主要特征形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型。情況明才能方法對。在模型準備階段要深入調(diào)查研究，虛心向?qū)嶋H工作者請教，盡量掌握第一手資料。模型假設(shè) 根據(jù)對象的特

5、征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡化假設(shè)。對于建模的成敗這是非常重要和困難的一步。假設(shè)作的不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯誤或無用的模型；假設(shè)作得過分詳細，試圖把復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進去，會使你很難或無法繼續(xù)下一部的工作。常常需要再合理與簡化之間作出恰當?shù)恼壑?。模型?gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等。建模時應(yīng)遵循的一個原則是：盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因為你的模型總希望更多的人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞。模型求解 可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算

6、、統(tǒng)計分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計算機技術(shù)。模型分析 對求解結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的敏感性分析、對假設(shè)的強健性分析等。模型檢驗 把求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實際不符，問題常常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模，如圖中的虛線所示。這一步對于模型是否真的有用非常關(guān)鍵，要以嚴肅認真的態(tài)度對待。有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意。模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式與問題性質(zhì)、建模目的及最終的結(jié)果有關(guān)，本課程一般不討論這個問題。8數(shù)學(xué)建模的過程分為表述、求解、解釋

7、、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán)，如下圖所示。 現(xiàn)實對象的信息現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型表述 （歸納）求解（演繹）解答 驗證 四 數(shù)學(xué)建模全過程9表述是將現(xiàn)實問題“翻譯”成抽象的數(shù)學(xué)問題，屬于歸納法。數(shù)學(xué)模型的求解則屬于演繹法。歸納是依據(jù)個別現(xiàn)象推出一般規(guī)律；演繹是按照普遍原理考察特定對象，導(dǎo)出結(jié)論。因為任何事物的本質(zhì)都要通過現(xiàn)象來反映，必然要透過偶然來表露，所以正確的歸納不是主觀、盲目的，而是有客觀基礎(chǔ)的，但也往往是不精細的、帶感性的，不易直接檢驗其正確性。演繹利用嚴格的邏輯推理，對解釋現(xiàn)象、作出科學(xué)預(yù)見具有重大意義，但是它要

8、以歸納的結(jié)論作為公理化形式的前提，只能在這個前提下保證其正確性。因此，歸納和演繹是辨證統(tǒng)一的過程：歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的指導(dǎo)。解釋是把數(shù)學(xué)模型的解答“翻譯”回到現(xiàn)實對象，給出分析、預(yù)報、決策或者控制的結(jié)果。最后，作為這個過程的重要的一環(huán)，這些結(jié)果需要用實際的信息加以驗證。上圖揭示了現(xiàn)實對象和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象加以歸納、抽象的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實，又高于現(xiàn)實。另一方面，只有當數(shù)學(xué)建模的結(jié)果經(jīng)受住現(xiàn)實對象的檢驗時，才可以用來知道實際，完成實踐理論實踐這一循環(huán)。 10 五數(shù)學(xué)模型的特點和建模能力的培養(yǎng)通過前面的學(xué)習，我們看到用建模方法解決實際問題，首先是用數(shù)學(xué)語言表述問題，

9、即構(gòu)造模型，其次才是用數(shù)學(xué)工具求解構(gòu)成的模型。用數(shù)學(xué)語言表述問題，包括模型假設(shè)、模型構(gòu)造等，除了需要廣博的知識和足夠的經(jīng)驗之外，特別需要豐富的想象力和敏銳的洞察力。想象力指人們在原來知識的基礎(chǔ)上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新的形象，是一種形象思維活動。洞察力知人們在充分占有資源的基礎(chǔ)上，經(jīng)過初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍棄次要因素，簡化問題的層次，對可以用哪些方法解決面臨的問題，以及不同方法的優(yōu)劣作出判斷。比類方法和理想化方法是建模中常用的方法，它們的運用與想象力、洞察力有密切關(guān)系。類比法注意到研究對象與已熟悉的另一對象具有某些共性，比較二者相似之處以獲得

10、對研究對象的新認識。選擇什么對象進行類比，比較哪些相似的屬性，在一定程度上是靠想象進行的。將交通流與水流類比來建立交通流模型是這方面的例子。理想化方法是從觀察和經(jīng)驗中通過想象和邏輯思維，把對象簡化、純化，使其升華到理想狀態(tài)，以期更本質(zhì)地揭示對象的固有規(guī)律。在一定條件下把物體看作質(zhì)點，把實際位置看成數(shù)學(xué)上的點、線等理想化的結(jié)果。11直覺和靈感在數(shù)學(xué)建模中往往也起著不可忽略的作用。直覺是人們對新事物本質(zhì)的極敏銳的領(lǐng)悟、理解或推斷，靈感指在人們有意識或下意識思考過程中迸發(fā)出來的猜測、思路或判斷。二者都具有突發(fā)性，且思維者本人往往說不清它的來路和道理。當由于各種限制利用已有知識難以對研究對象作出有效的

11、推理和判斷時，憑借相似、類比、猜測，外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計算機、機器人的高明之處。直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背景知識，對問題進行反復(fù)思考和艱難探索對各種思維方法運用嫻熟。相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素。掌握建模這門藝術(shù)，培養(yǎng)想象力和洞察力，需要作好這樣兩條：第一，學(xué)習、分析、評價、改造別人作過的模型。首先弄懂它，分析為什么這么作，然后找出它的優(yōu)缺點，并嘗試改進的方法。第二，要親自動手，踏實地做幾個實際題目。

12、為了這個目的，本課程主要將采取實例研究方法。12第一章初等模型所謂初等模型就是可以通過初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中的一些基本的方法建立的模型。以下主要是希望通過一些初等模型的分析和講解，首先讓學(xué)生體會到如何將一個實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的原理進行分析求解；其次是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的一般步驟；再是讓學(xué)生懂得編程計算在數(shù)學(xué)建模中的重要性。13問題跑步問題某人在任何5min的時間區(qū)間內(nèi)均不能恰好跑500m，問10min 內(nèi)能否恰好跑1000m。提示：問題方桌問題 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能

13、用數(shù)學(xué)語言給以表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實嗎？ 14問題商人過河問題三名商人各帶一個隨從乘船過河，一只小船只能容納兩人，有他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？模型構(gòu)成 記分別表示地k次渡河前此岸的定義為狀態(tài)，商人數(shù)和隨從數(shù)，顯然允許狀態(tài)集為15分別表示地k次渡船上的商人數(shù)和隨從數(shù)，為決策變量；允許決策集為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程16問題相識問題在6人的集會上，假定認識是相互的，則總能找到或者3個人相互都認識，或者3個人誰都不認識誰。請問這個結(jié)論正確嗎？問題棋子顏色的變化問題任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8

14、個，排成如下圖所示的一個圓圈。然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顆顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。在重復(fù)以上的過程，這樣放一圈后就拿走前次的一圈棋子，問這樣重復(fù)進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢？17問題雙層玻璃的功效問題你是否注意到北方城鎮(zhèn)的一些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層的玻璃且中間留有一定空隙，如下圖所示，兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣。據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如下圖，玻璃厚度為2d）的熱量傳導(dǎo)進行對比

15、，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。18記雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度是 ，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度是 ，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)是 ，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)是 故單位時間單位面積的熱量傳導(dǎo)（熱量流失）為19由上式可以得兩者之比為顯然 由物理學(xué)的相關(guān)知識，有 20問題水的流出時間問題一橫截面積為常數(shù)，高為的水池內(nèi)盛滿了水，由池底一橫截面積為的小孔放水。設(shè)水從小孔流出的速度為，在任意時刻的水面高度和將水放空所需的時間。21問題公平的席位分配問題某學(xué)校有3個系共200名學(xué)生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若學(xué)生代表會議設(shè)20個席位，公平而又簡單的席位分配方法是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三

16、系分別應(yīng)占有10，6，4個席位?，F(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，各系人數(shù)如表1第2列所示。仍按比例（表中第三列）分配席位時出現(xiàn)了小數(shù)（表中第4列），在將取得整數(shù)的10席分配完畢后，三系同意剩下的1席參照所謂慣例分給比例中小數(shù)最大的丙系，于是三系仍分別占有10，6，4席（表中第5列）。 22因為有20個席位的代表會議在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的局面，會議決定下一屆增加1席。他們按照上述方法重新分配席位，計算結(jié)果見表6，7列。顯然這個結(jié)果對丙系太不公平，因為總席位增加1席，而丙系卻由4席減為3席。請?zhí)岢鲂碌姆峙浞椒ā?23這種席位分配的方法稱為Q值法 通過分析構(gòu)造指標如下： 24初等模型及其計

17、算劃艇比賽的成績問題 賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇，八人艇四種。各種艇雖然大小不同，但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇1964-1970年四次2000m比賽的最好成績（包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標賽），見表5第1到6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當一致的差別，他認為比賽成績與槳手數(shù)量之間存在著某中聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關(guān)系。 25上機實驗題：一利用二分法計算下列方程的根sinx=x2 ex+1=5+x+3x2二問題的仿真計算三問題的計算（包括值法和你設(shè)計的方法）26問題分析： 賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦

18、力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。槳手越多，劃艇前進的動力越大。但是艇與槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大。建模目的是尋找槳手數(shù)量與比賽成績之間的數(shù)量規(guī)律。27從上表中可以看出，槳手數(shù)增加時，艇的尺寸，及艇重都隨之增加，但比值和變化不大。若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手數(shù)之間的關(guān)系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡化且合理的假定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。28模型假設(shè)各種艇的集合形狀相同，為常數(shù)；艇重與槳手數(shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特征。艇速是常數(shù)，

19、前進時受的阻力與成正比（是艇浸沒部分面積）。這是艇的動態(tài)特征。所有槳手的體重都相同，記作；在比賽中每個槳手的劃漿功率保持不變，且與成正比。 29模型構(gòu)成有名槳手的艇的總功率np 與阻力f 和速度v的乘積成正比，即 （1）由假設(shè)2，3代入（1）式可得（2） 30由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積S與艇的某特征尺寸c的平方成正比,則艇的排水體積A必與c的立方成正比于是有 又根據(jù)艇重w0與槳手數(shù)n成正比，所以艇和槳手的總重量也與成正比，即（4） 而由阿基米德定律，艇排水體積與總重量w 成正比，即（5） 由（3），（4），（5）有 （6） 31將（6）代入（2）式，當w是常數(shù)時得到（7） 因為比賽成績t（時間）與v成反比，所以就得到了 （8） 模型檢驗設(shè)t與