向量及向量的基本運算課件

1、向量及向量的基本運算 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如： 。向量的大小即向量的模（長度），記作| |。零向量：長度為0的向量，記為 ，其方向是任意的， 與任意向量平行。1）向量的有關(guān)概念單位向量：模為1個單位長度的向量。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相等向量：長度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為 。求兩個向量和的運算叫做向量的加法。 設(shè) ， 則 + = = 。 向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。說明：（1） ； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

2、2）向量加法 相反向量：與 長度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量。記作 ,零向量的相反向量仍是零向量。向量減法：向量 加上的 相反向量叫做 與 的差，記作： 。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。 的作圖法： 可以表示為從 的終點指向 的終點的向量（ 、 有共同起點）。 3)向量的減法 實數(shù)與向量 的積是一個向量，記作 ，它的長度與方向規(guī)定如下：（） ；（）當(dāng) 時， 的方向與 的方向相同； 當(dāng) 時， 的方向與 的方向相反； 當(dāng) 時， ，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。 4)實數(shù)與向量的積 向量 與非零向量 共線 有且只有一個實數(shù) ，使得 = 。 如果 是一個平面內(nèi)的兩個

3、不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 使： 其中不共線的向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 6)平面向量的基本定理5)兩個向量共線定理例1、判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若 則(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若 ， ，則 ；(7)若 ， ，則 (8) 四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)已知A（3，7），B（5，2），將 按向量 =（1，2）平移后得到的向量 的坐標(biāo)為（3，3）(10） 的充要條件是 且 ； 例2: 已知G是ABC的重心，求證： 練習(xí)、如圖平行四邊形ABCD的對角線OD，AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM，線段CD上有一點N滿足CD3CN，設(shè) 例3：設(shè)不共線，點P在AB上，求證：。 說明：當(dāng)時，此時P為AB的中點，這是向量的中點公式。變一：設(shè)不共線，求證：A、B、P三點共線。練習(xí)、設(shè) 是不共線的向量，已知向量，若A,B,D三點共線，求k的值例4：若是兩個不共線的非零向量（。（1）若起點相同， 為何值時， 三向量的終點在一直線上？（2）若 且 夾角為，那么 為何值時，的值最小？1）向量的有關(guān)概念:向量零向量單位向量平行向量（共線向量