曲線積分及曲面積分習(xí)題課課件

1、第十章 曲線積分與曲面積分目錄 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課例題選講基本內(nèi)容1一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類 (對弧長)第二類 (對坐標(biāo))(1) 統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2(1) 寫出曲線L方程及相應(yīng)弧微分公式ds L為參數(shù)方程: L為直角坐標(biāo)方程： L為極坐標(biāo)方程：對弧長的曲線積分解題步驟：首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3(2) 將L的表達式及弧微分公式直接代入曲線積分式, 化為定積分, 定出積分限.(注:下限小于上限)L為參數(shù)方程L為直角坐標(biāo)方程L為極坐標(biāo)方程首

2、頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4(1) 直接化為對參變量的定積分對坐標(biāo)的曲線積分計算方法：注: 下限對起點, 上限對終點首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5(2) 利用積分與路徑無關(guān)的條件 若 , 則積分只與L的起點與終點有關(guān),故可選取便于計算的路徑,如折線段、圓弧段、直線段(結(jié)合P、Q考慮).(3) 利用格林公式(適用于封閉曲線)化為定積分.注: 若曲線L不是封閉的,直接計算又困難, 可考慮添加 輔助曲線C, 使L+C為封閉曲線, 再利用格林公式.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6(4) 利用斯托克斯公式(適用空間封閉曲線積分).利用行列式記號可記為：首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7或：注: 格林公

3、式(斯托克斯公式)反映的是平面閉區(qū)域 D(空間曲面)上重積分(曲面積分)與邊界曲線 上曲線積分之關(guān)系.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8(1) 利用對稱性簡化計算;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;2. 基本技巧對于曲線積分 ,下面四個條件等價: 曲線積分與路徑無關(guān). 被積表達式是某個函數(shù)的全微分. 沿任何閉路線的曲線積分為零.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.其中,為有向曲線L上點(x, y)處的切向量的方向角.(4) 利用斯托克斯公式;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧); 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10二、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面

4、積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定積分區(qū)域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11計算方法第一類( 對面積的曲面積分 )首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12上側(cè)取正號, 下側(cè)取負號.第二類( 對坐標(biāo)的曲面積分 )前側(cè)取正號，后側(cè)取負號.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13右側(cè)取正號，左側(cè)取負號.注：對于封閉曲面, 可考慮用高斯公式.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 142. 基本技巧(1) 利用對稱性簡化計算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的

5、技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)高斯公式反映的是空間閉區(qū)域上三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化其中,為有向曲面上點(x, y, z)處的法向量的方向角.首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16三、例題選講解 利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計算,則首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18解首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19解 因在 上有故原式 = 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20解法1 令則這說明積分與路徑無關(guān), 故首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21解法2 它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)則添加輔助線段首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22提示:首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23提示: 方法1利用對稱性首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24設(shè)三角形區(qū)域為 , 方向向上,則方法2利用斯托克斯公式首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =記半球域為 ,高斯公式有為輔助面, 利用首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 26證 設(shè)(常向量)則首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27解 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,則首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 28第二項添加輔助面, 再用高斯公式計算, 得首頁 上頁 下頁