工程力學-材料力學

1、 前面幾章中，討論了拉伸、壓縮、彎曲與扭轉時桿件的強度問題，這些強度問題的共同特點是，一是危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力；二是都是通過實驗直接確定失效時的極限應力，并以此為依據(jù)(yj)建立強度設計準則。 工程上還有一些構件或結構，其危險截面上危險點同時承受正應力和剪應力，或者危險點的其他面上同時承受正應力或剪應力。這種受力稱為復雜受力。復雜受力情形下，由于復雜受力形式繁多，不可能一一通過實驗確定失效時的極限應力。因而，必須研究在各種不同的復雜受力形式下，強度失效的共同規(guī)律，假定失效的共同原因，從而有可能利用單向拉伸的實驗結果(ji gu)，建立復雜受力時的失效判據(jù)與設計準則。 第7章

2、應力和應變分析 、強度理論 共二百二十頁 為了分析失效(sh xio)的原因，需要研究通過一點不同方向面上應力相互之間的關系。這是建立復雜受力時設計準則的基礎。 本章首先介紹應力狀態(tài)的基本概念，以此為基礎建立復雜受力時的失效判據(jù)與設計準則，然后將這些準則應用于解決承受彎曲與扭轉(nizhun)同時作用的圓軸，以及承受內壓的薄壁容器的強度問題。 共二百二十頁 基本概念 什么(shn me)是應力狀態(tài)，為什么(shn me)要研究應力狀態(tài) 應力狀態(tài)(zhungti)分析的基本方法 建立復雜受力時失效判據(jù)的思路與方法 共二百二十頁 基本概念 什么是應力狀態(tài)(zhungti)，為什么要研究應力狀態(tài)(z

3、hungti) 共二百二十頁 基本概念 什么(shn me)是應力狀態(tài)，為什么(shn me)要研究應力狀態(tài) 前幾章中，討論了桿件在拉伸（壓縮）、彎曲和扭轉等幾種基本受力與變形(bin xng)形式下，橫截面上的應力；并且根據(jù)橫截面上的應力以及相應的實驗結果，建立了只有正應力和只有剪應力作用時的強度條件。但這些對于分析進一步的強度問題是遠遠不夠的。 共二百二十頁不同的失效(sh xio)現(xiàn)象提出的問題請看下列實驗(shyn)現(xiàn)象： 低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗 低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗 基本概念 什么是應力狀態(tài)，為什么要研究應力狀態(tài) 共二百二十頁低碳鋼拉伸(l shn)實驗 韌性(rn xn)材料拉伸

4、時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵拉伸實驗 基本概念 什么是應力狀態(tài)，為什么要研究應力狀態(tài) 共二百二十頁為什么脆性(cuxng)材料扭轉時沿45螺旋面斷開？低碳鋼扭轉(nizhun)實驗鑄鐵扭轉實驗 基本概念 什么是應力狀態(tài)，為什么要研究應力狀態(tài) 共二百二十頁 基本概念 什么是應力(yngl)狀態(tài)，為什么要研究應力(yngl)狀態(tài) FPFPFPFP受力之前,表面(biomin)的正方形，受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。受力之前,表面斜置的正方形，受拉后，正方形變成了菱形，直角有了改變。這表明：拉桿的斜截面上存在剪應力共二百二十頁 基本概念 什么是應力狀態(tài)(zhungti)，為什么要研究應力狀態(tài)

5、(zhungti) MxMx 受扭之前圓軸表面的圓，受扭后，變?yōu)橐恍敝脵E圓，長軸方向(fngxing)表示承受拉應力而伸長，短軸方向(fngxing)表示承受壓應力而縮短。這表明，軸扭轉時，其斜截面上存在著正應力 共二百二十頁拉中有剪根據(jù)微元的局部(jb)平衡 基本概念 什么是應力(yngl)狀態(tài)，為什么要研究應力(yngl)狀態(tài) 共二百二十頁剪中有拉根據(jù)微元的局部(jb)平衡 基本概念 什么是應力(yngl)狀態(tài)，為什么要研究應力(yngl)狀態(tài) 共二百二十頁重要(zhngyo)結論 不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究(ynji)橫截面上的應力，而且也要研究(ynji)斜截

6、面上的應力。 基本概念 什么是應力狀態(tài)，為什么要研究應力狀態(tài) 共二百二十頁于是，關于(guny)應力有三個重要概念 應力(yngl)的點的概念; 應力的面的概念; 應力狀態(tài)的概念. 基本概念 什么是應力狀態(tài)，為什么要研究應力狀態(tài) 共二百二十頁 橫截面上正應力分析(fnx)的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。 基本概念 什么(shn me)是應力狀態(tài)，為什么(shn me)要研究應力狀態(tài) FNx共二百二十頁 微元平衡分析結果表明：即使同一點不同(b tn)方向面上的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。 基本概念 什么是應力(yngl)狀態(tài)，為什么要研究應力(yngl

7、)狀態(tài) 共二百二十頁應 力哪一個面上？ 哪一點？ 哪一點？哪個方向面？指明(zhmng) 基本概念 什么是應力狀態(tài)(zhungti)，為什么要研究應力狀態(tài)(zhungti) 共二百二十頁 基本概念 什么是應力狀態(tài)(zhungti)，為什么要研究應力狀態(tài)(zhungti) 圍繞一點作一微小單元體，即微元，一般情形下，微元的不同方位面上(min shn)的應力，是不相同的。過一點的所有方位面上(min shn)的應力集合，稱為該點的應力狀態(tài)(stress state at a point)。共二百二十頁 基本概念 什么是應力(yngl)狀態(tài)，為什么要研究應力(yngl)狀態(tài) 分析一點的應力狀態(tài)，不

8、僅可以解釋上面所提到的那些實驗中的破壞現(xiàn)象，而且可以預測各種復雜受力情形下，構件何時發(fā)生失效(sh xio)，以及怎樣保證構件不發(fā)生失效(sh xio)，并且具有足夠的安全裕度。因此，應力狀態(tài)分析是建立構件在復雜受力（既有正應力，又有剪應力）時失效(sh xio)判據(jù)與設計準則的重要基礎。 共二百二十頁 應力(yngl)狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁 應力(yngl)狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 為了描述一點的應力狀態(tài)，在一般情形下，總是圍繞(wiro)所考察的點作一個三對面互相垂直的六面體，當各邊邊長充分小時，六面體便趨于宏觀上的“點”。這種六面體就是前面所提到的微元。 共二百二

9、十頁 微元及其各面上(min shn)的應力描述一點應力狀態(tài).微元（Element）dxdydz 應力狀態(tài)(zhungti)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁( Three-Dimensional State of Stresses )三向（空間）應力狀態(tài)yxz 應力(yngl)狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁 ( Plane State of Stresses )平面（二向） 應力狀態(tài)xy 應力狀態(tài)分析(fnx)的基本方法 基本概念 共二百二十頁xyxy單向(dn xin)應力狀態(tài)( One Dimensional State of Stresses )純剪應力狀態(tài)(zhung

10、ti)( Shearing State of Stresses ) 應力狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁三向應力(yngl)狀態(tài)平面(pngmin)應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)純剪應力狀態(tài)特例特例 應力狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁 為了確定(qudng)一點的應力狀態(tài)，需要確定(qudng)代表這一點的微元的三對互相垂直的面上的應力。為此，圍繞一點截取微元時，應盡量使其三對面上的應力容易確定(qudng)。 應力(yngl)狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁FPl/2l/2S平面 例 題 1 應力狀態(tài)分析(fnx)的基本方法 基本概念 共二百二十頁123S平面 例題15

11、544332211 應力狀態(tài)分析(fnx)的基本方法 基本概念 共二百二十頁例題(lt)2FPlaS 應力狀態(tài)分析的基本(jbn)方法 基本概念 共二百二十頁xzy4321S平面(pngmin)例題(lt)2 應力狀態(tài)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁yxzMz FQyMx4321143 應力狀態(tài)(zhungti)分析的基本方法 基本概念 共二百二十頁 基本概念 建立復雜(fz)受力時失效判據(jù) 的思路與方法 共二百二十頁 基本概念 建立復雜受力時失效判據(jù)的思路(sl)與方法 嚴格地講，在拉伸和彎曲強度問題中所建立的失效判據(jù)實際上是材料在單向應力(yngl)狀態(tài)下的失效判據(jù)；而關于扭轉強度的

12、失效判據(jù)則是材料在純剪應力(yngl)狀態(tài)下的失效判據(jù)。所謂復雜受力時的失效判據(jù)，實際上就是材料在各種復雜應力(yngl)狀態(tài)下的失效判據(jù)。 大家知道，單向應力狀態(tài)和純剪應力狀態(tài)下的失效判據(jù)，都是通過實驗確定極限應力值，然后直接利用實驗結果建立起來的。但是，復雜應力狀態(tài)下則不能。這是因為：一方面復雜應力狀態(tài)各式各樣，可以說有無窮多種，不可能一一通過實驗確定極限應力；另一方面，有些復雜應力狀態(tài)的實驗，技術上難以實現(xiàn)。 大量的關于材料失效的實驗結果以及工程構件失效的實例表明，復雜應力狀態(tài)雖然各式各樣的，但是材料在各種復雜應力狀態(tài)下的強度失效的形式卻是共同的而且是有限的。 共二百二十頁 基本概念 建

13、立復雜受力時失效判據(jù)的思路(sl)與方法 無論應力狀態(tài)多么復雜，材料的強度失效，大致有兩種形式：一種是指產生裂縫并導致斷裂(dun li)，例如鑄鐵拉伸和扭轉時的破壞；另一種是指屈服，即出現(xiàn)一定量的塑性變形，例如低碳鋼拉伸時的屈服。簡而言之，屈服與脆性斷裂(dun li)是強度失效的兩種基本形式。 對于同一種失效形式，有可能在引起失效的原因中包含著共同的因素。建立復雜應力狀態(tài)下的強度失效判據(jù)，就是提出關于材料在不同應力狀態(tài)下失效共同原因的各種假說。根據(jù)這些假說。就有可能利用單向拉伸的實驗結果，建立材料在復雜應力狀態(tài)下的失效判據(jù)。就可以預測材料在復雜應力狀態(tài)下，何時發(fā)生失效，以及怎樣保證不發(fā)生失

14、效，進而建立復雜應力狀態(tài)下強度設計準則或強度條件。 共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析 任意方向面上(min shn)應力的確定 第10章 復雜受力時構件(gujin) 的強度設計 返回共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析 任意方向面上(min shn)應力的確定 當微元三對面上的應力已經確定時，為求某個斜面（即方向面）上的應力，可用一假想截面將微元從所考察(koch)的斜面處截為兩部分，考察(koch)其中任意一部分的平衡，即可由平衡條件求得該斜截面上的正應力和剪應力。這是分析微元斜截面上的應力的基本方法。共二百二十頁 平面應力(yngl)狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 方向(fngxing)角與應

15、力分量的正負號約定 微元的局部平衡 平面應力狀態(tài)中任意方向面上的 正應力與剪應力 共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析(fnx) 任意方向面上應力的確定 方向角與應力分量(fn ling)的正負號約定 共二百二十頁拉為正壓為負正應力(yngl) 平面應力(yngl)狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 方向角與應力分量的正負號約定 共二百二十頁 使微元或其局部順時針方向轉動(zhun dng)為正；反之為負。剪應力 平面應力狀態(tài)分析 任意方向面上(min shn)應力的確定 方向角與應力分量的正負號約定 共二百二十頁 由 x正向反時針(shzhn)轉到x正向者為正；反之為負。yxq方向(fngxing)

16、角q 平面應力狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 方向角與應力分量的正負號約定 共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析 任意方向(fngxing)面上應力的確定 微元的局部(jb)平衡 共二百二十頁 平衡(pnghng)對象 平衡(pnghng)方程t 參加平衡的量dAqxy用 斜截面截取的微 元局部應力乘以其作用的 面積 平面應力狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 微元的局部平衡 共二百二十頁txdAq 平面應力狀態(tài)(zhungti)分析 任意方向面上應力的確定 微元的局部(jb)平衡 共二百二十頁tdAq 平面應力(yngl)狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 微元的局部(jb)平衡 共二百二十頁 平面

17、(pngmin)應力狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)中 任意(rny)方向面上的正應力與剪應力 共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析 任意(rny)方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)中任意方向(fngxing)面上的正應力與剪應力 利用三角倍角公式，上述二式經過整理后，得到計算平面應力狀態(tài)中任意方向面上正應力與剪應力的表達式： dA（x dAcos）cos （dAcos）sin （ydA sin）sin（ dA sin）cos0 dA（x dAcos）sin（dAcos）cos （ydA sin）cos（ dA sin）sin0 共二百二十頁例題(lt)1 平面應力狀態(tài)分析 任意(rny

18、)方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)中任意方向面上的正應力與剪應力 分析軸向拉伸桿件的最大剪應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。 桿件承受軸向拉伸時，其上任意一點均為單向應力狀態(tài)。 根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式共二百二十頁 平面應力(yngl)狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)(zhungti)中任意方向面上的正應力與剪應力例題 1 根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式在本例的情形下，y0，yx0。 共二百二十頁 平面(pngmin)應力狀態(tài)分析 任意方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)(zhungti)中任意方向面上的正應力與剪應力例題 1

19、 根據(jù)這一結果，當45時，斜截面上既有正應力又有剪應力，其值分別為 不難看出，在所有的方向面中，45斜截面上的正應力不是最大值，而剪應力卻是最大值。 這表明，軸向拉伸時最大剪應力發(fā)生在與軸線夾45角的斜面上，這正是低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面出現(xiàn)滑移線的方向。因此，可以認為屈服是由最大剪應力引起的。 共二百二十頁例題(lt)2 平面應力狀態(tài)(zhungti)分析 任意方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)中任意方向面上的正應力與剪應力 分析圓軸扭轉時最大剪應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉破壞的主要原因。 圓軸扭轉時，其上任意一點的應力狀態(tài)為純剪應力狀態(tài)。 根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公

20、式共二百二十頁 平面應力狀態(tài)(zhungti)分析 任意方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)中任意(rny)方向面上的正應力與剪應力例題 2 根據(jù)平面應力狀態(tài)任意斜截面上的正應力和剪應力公式在本例的情形下，xy0 。 共二百二十頁 平面應力狀態(tài)分析 任意(rny)方向面上應力的確定 平面應力狀態(tài)(zhungti)中任意方向面上的正應力與剪應力例題 2 可以看出，當45或45時，斜截面上只有正應力沒有剪應力。45時(自x軸逆時針方向轉過45)，壓應力最大；45時(自x軸順時針方向轉過45)，拉應力最大 ： 鑄鐵圓試樣扭轉實驗時，正是沿著最大拉應力作用面（即45螺旋面）斷開的。因此，可以認為這種脆性破

21、壞是由最大拉應力引起的。 共二百二十頁 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 第10章 復雜受力時構件 的強度(qingd)設計 返回共二百二十頁 主平面、主應力與主方向(fngxing) 平面(pngmin)應力狀態(tài)的三個主應力 面內最大剪應力與一點的最大剪應力 應力狀態(tài)中的主應力 與最大剪應力 共二百二十頁 主平面、主應力與主方向(fngxing) 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 共二百二十頁 主平面、主應力與主方向(fngxing) 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 根據(jù)應力狀態(tài)任意方向面上的應力表達式，不同方向面上的

22、正應力與剪應力與方向面的取向(方向角)有關。因而有可能存在某種方向面，其上之剪應力xy0，這種方向面稱為主平面（principal plane），其方向角用p表示。令得到主平面方向角的表達式 共二百二十頁 主平面、主應力與主方向(fngxing) 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 主平面上的正應力稱為主應力（principal stress）。主平面法線方向即主應力作用線方向，稱為主方向（principal directions）.主方向用方向角p表示。不難證明：對于確定的主應力，例如p ,其方向角p由下式確定： 式中p為p 的作用線與x軸正方向的夾角。 若將 的表達式

23、對求一次導數(shù)，并令其等于零，有 由此解出的角度與與上面的角度表達式具有完全一致的形式。這表明，主應力具有極值的性質：主應力是所有垂直于xy坐標面的方向面上正應力的極大值或極小值。 共二百二十頁 主平面、主應力與主方向(fngxing) 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 根據(jù)剪應力成對定理，當一對方向面為主平面時，另一對與之垂直的方向面(P/2)，其上之剪應力也等于零，因而也是主平面，其上之正應力也是主應力。 需要指出的是，對于平面應力狀態(tài)，平行于xy坐標面的平面，其上既沒有正應力、也沒有剪應力作用，這種平面也是主平面。這一主平面上的主應力等于零。 共二百二十頁 平面(p

24、ngmin)應力狀態(tài)的三個主應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 共二百二十頁 平面(pngmin)應力狀態(tài)的三個主應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 得到平面應力狀態(tài)的兩個不等于零主應力。這兩個不等于零的主應力以及上述平面應力狀態(tài)固有的等于零的主應力，分別用表示 :共二百二十頁 平面(pngmin)應力狀態(tài)的三個主應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 以后將按三個主應力代數(shù)值由大到小順序排列，并分別用1、 2、 3、表示，且： 根據(jù)主應力的大小與方向可以確定材料何時發(fā)生失效或破壞，確定失效或破壞的形式。因此，可以

25、說主應力是反映應力狀態(tài)本質內涵的特征量。 共二百二十頁 平面應力(yngl)狀態(tài)的三個主應力(yngl) 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 根據(jù)上述分析結果，原來用x、y、 和 表示的應力狀態(tài)，現(xiàn)在可以用主應力表示。顯然，用主應力表示的應力狀態(tài)要比用一般應力分量表示的應力狀態(tài)簡單。用主應力表示一點處的應力狀態(tài)可以說明某些應力狀態(tài)表面上是不同的，但實質是相同的，即其主應力和主方向都相同。 共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的 最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應

26、力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 面內最大剪應力由此得出另一特征角，用s表示對求一次導數(shù)，并令其等于零，得到 與正應力相類似，不同方向面上的剪應力亦隨著坐標的旋轉而變化，因而剪應力亦可能存在極值為求此極值，將共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 得到 的極值 需要特別指出的是，上述剪應力極值僅對垂直于xy坐標面的方向面而言，因而稱為面內最大剪應力（maximum shearing stresses in plane）與面內最小剪應力。二者不一定是過一點的所有方向面中剪應力的最大和最小值。 面

27、內最大剪應力共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力 為確定過一點的所有方向面上的最大剪應力，可以將平面應力狀態(tài)視為有三個主應力（1、2、3）作用的應力狀態(tài)的特殊情形，即三個主應力中有一個等于零。 考察微元三對面上分別作用著三個主應力（123 0）的應力狀態(tài)所示。 共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力 考察微元三對面上分別作用著三個主應力（1230）的應力狀態(tài)所示。 共二百二十頁 面內最大剪應力與一點

28、(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力 在平行于主應力1方向的任意方向面上，正應力和剪應力都與1無關。因此，當研究平行于1的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)： x=3,y=2，0。 可以得到組方向面內的最大剪應力為 ：共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力 在平行于主應力2方向的任意方向面上，正應力和剪應力都與2無關。因此，當研究平行于2的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)： x=

29、1,y=3，0。 可以得到組方向面內的最大剪應力為 ：共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力x=1,y=2，0。 可以得到組方向面內的最大剪應力為 ： 在平行于主應力3方向的任意方向面上，正應力和剪應力都與3無關。因此，當研究平行于3的這一組方向面上的應力時，所研究的應力狀態(tài)可視為一平面應力狀態(tài)： 共二百二十頁 面內最大剪應力與一點(y din)的最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 一點的最大剪應力 一點應力狀態(tài)中的最大剪應力，必然是上述三者中的最大的，即 共二百

30、二十頁 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 例題(lt)3 薄壁圓管受扭轉和拉伸同時作用，如圖106a所示。已知圓管的平均直徑D50 mm，壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩矩Me600 Nm，軸向載荷FP20 kN。薄壁管截面的扭轉截面系數(shù)可近似取為 求：1圓管表面上過D點與圓管母線夾角為30的斜截 面上的應力 2. D點主應力和最大剪應力。 共二百二十頁 解：1取微元，確定微元各個面上(min shn)的應力 圍繞(wiro)D點用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。 利用拉伸和圓軸扭轉時橫截面上的正應力和剪應力公式計算微元各面上的應力： 應力狀態(tài)中的主應力 與最大剪應力 例

31、題 3 共二百二十頁 解：1取微元，確定微元各個(gg)面上的應力 利用拉伸和圓軸扭轉時橫截面上的正應力和剪應力公式(gngsh)計算微元各面上的應力： 應力狀態(tài)中的主應力 與最大剪應力 例題 3 共二百二十頁 解：2 求斜截面(jimin)上的應力 本例中有： x63.7 MPa，y0， 一76.4 MPa，120。 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 例題 3 共二百二十頁 解：2 求斜截面(jimin)上的應力 本例中有： x63.7 MPa，y0， 一76.4 MPa，120。 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 例題 3 共二百二十頁 解：

32、3確定(qudng)主應力與最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 例題 3 共二百二十頁 解：3確定(qudng)主應力與最大剪應力 應力(yngl)狀態(tài)中的主應力(yngl) 與最大剪應力 例題 3 根據(jù)主應力代數(shù)值大小順序排列，D點的三個主應力為D點的最大剪應力為 共二百二十頁 分析(fnx)應力狀態(tài)的應力圓方法 第10章 復雜受力時構件(gujin) 的強度設計 返回共二百二十頁 應力(yngl)圓方程 應力(yngl)圓的畫法 應力圓的應用 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 應力(yngl)圓方程 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 共二百

33、二十頁 應力(yngl)圓方程 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 共二百二十頁 應力(yngl)圓方程 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 在以為橫軸、為縱軸的坐標系中，上述方程為圓方程。這種圓稱為應力圓(stress circle)。應力圓的圓心坐標為 應力圓的半徑為 共二百二十頁ROc 應力(yngl)圓方程 分析(fnx)應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 應力(yngl)圓的畫法 分析(fnx)應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 二倍角對應半徑(bnjng)轉過的角度是方向面法線旋轉角度的兩倍。 轉向對應半徑旋轉方向與方向面法線(f xin)旋轉方向一致；

34、 點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和剪應力； 應力圓的畫法 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁點面對(min du)應caA 應力(yngl)圓的畫法 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁caDn dxA2轉向(zhunxing)對應二倍角對應(duyng) 應力圓的畫法 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 二倍角對應半徑轉過的角度是方向(fngxing)面法線旋轉角度的兩倍。 轉向對應半徑旋轉方向(fngxing)與方向(fngxing)面法線旋轉方向(fngxing)一致； 點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一方向面上的正應力和剪應力； 應力圓

35、的畫法 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁OCa(sx ,t)b(sy , t)建立坐標系由面找點確定圓心和半徑 應力(yngl)圓的畫法 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 BABAAB共二百二十頁OCa(sx ,t)b(sy , t)建立坐標系由面找點確定圓心和半徑 應力(yngl)圓的畫法 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 BABAAB再將上述過程重復一次共二百二十頁 應力(yngl)圓的應用 分析(fnx)應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 應用過程中，應當將應力圓作為(zuwi)思考、分析問題的工具，而不是計算工具。 應力(yngl)圓的應用 分析應力狀態(tài)的應力

36、圓方法 共二百二十頁sxsxtso245245BEADadCbeEEBB4545 應力(yngl)圓的應用 確定斜截面上的應力 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 共二百二十頁Ctso245245adbesxsxEBEBsxsx 應力(yngl)圓的應用 確定斜截面上的應力 分析(fnx)應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 軸向拉伸(l shn)時45方向面上既有正應力又有剪應力，但正應力不是最大值，剪應力卻最大。EBsxsx 應力圓的應用 確定(qudng)斜截面上的應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁ots245245BEDAttd(0,-t )Ca (0,t )eb

37、 應力圓的應用 確定(qudng)斜截面上的應力 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 共二百二十頁DAtt 應力(yngl)圓的應用 確定斜截面上的應力 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 BEBE共二百二十頁 純剪應力狀態(tài)下，45方向(fngxing)面上只有正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。 應力圓的應用(yngyng) 確定斜截面上的應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 DAttBE共二百二十頁tsxsyttsoadAD主平面（Principal Plane）：t = 0,與應力圓上和橫軸交點(jiodin)對應的面CbePBPE2qp 應力(yngl)圓的應用 確定斜截面

38、上的應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁sxsytAD-tPEPBsstsoadCbe2qpss主應力（Principal Stresses）：主平面上的正應力(yngl) 應力圓的應用(yngyng) 確定主應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 應力圓的應用(yngyng) 確定主應力 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 應力圓在坐標軸 的右側，因而和均為正值。這種情形不具有普遍性。當x0或在其他條件下，應力圓也可能在坐標軸 的左側，或者與坐標軸 相交，因此和也有可能為負值，或者一正一負。 共二百二十頁 應力(yngl)圓的應用 確定主應力tsoadcbe2qp

39、ssadcbe2qpssadcbe2qpss主應力（Principal Stresses）：主平面上的正應力(yngl) 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 有幾個(j )主應力？tsoadcbe2qpss 應力圓的應用(yngyng) 確定主應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 有幾個(j )主應力？tsoadcbe2qpss 應力圓的應用(yngyng) 確定主應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁tsoadcbe2qpss 有幾個(j )主應力？ 應力(yngl)圓的應用 確定主應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 主應力排序(pi x) s1 s2 s32qp

40、tsocbeadss 應力圓的應用(yngyng) 確定主應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 對應應力圓上的最高點的面上(min shn)剪應力最大，稱為“ 面內最大剪應力” （Maximum Shearing Stress in Plane）。tsocsst 應力圓的應用(yngyng) 確定面內最大剪應力 分析應力狀態(tài)的應力圓方法 共二百二十頁 應力(yngl)圓的應用 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 例題4 對于圖中所示之平面應力狀態(tài)，若要求面內最大剪應力85 Mpa，試求: 的取值范圍。圖中應力的單位為MPa。 共二百二十頁O 應力(yngl)圓的應用例題

41、4 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 建立坐標系由面找點確定圓心和半徑DCd(-50 ,t)a(100，t )ADA共二百二十頁 分析應力(yngl)狀態(tài)的應力(yngl)圓方法 根據(jù)圖中的幾何關系(gun x)，不難得到OCd(-50 ,t)a(100 ， t)x將x=100 MPa， y =50 MPa， 85 MPa，代人上式后，得到 應力圓的應用例題 4 共二百二十頁 分析應力狀態(tài)(zhungti)的應力圓方法 由此解得 將x=100 MPa， y =50 MPa， 85 MPa，代人(di rn)上式后，得到 應力圓的應用例題 4 共二百二十頁 復雜應力狀態(tài)下的應力應

42、變關系(gun x)應變能密度 第10章 復雜受力時構件(gujin) 的強度設計 返回共二百二十頁 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 廣義(gungy)胡克定律 各向同性材料各彈性常數(shù)之間的關系 總應變能密度 體積改變能密度與畸變能密度 共二百二十頁 復雜應力(yngl)狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 廣義(gungy)胡克定律 共二百二十頁11橫向(hn xin)變形與泊松比 泊松比1xyx1x 復雜應力(yngl)狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 廣義胡克定律 共二百二十頁三向應力(yngl)狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 廣

43、義胡克定律 共二百二十頁yzx 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 廣義(gungy)胡克定律 共二百二十頁例題(lt)5 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 廣義胡克定律 鋼質立方體塊，其各個面上都承受均勻靜水壓力p。已知邊長AB的改變量AB24103 mm，E200 GPa，0.29。試：1求BC和BD邊的長度改 變量；2確定靜水壓力值p。 共二百二十頁 復雜應力狀態(tài)下的應力應變(yngbin)關系 應變(yngbin)能密度 廣義(gungy)胡克定律例題 5 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 在靜水壓力作用下，彈性體各方向發(fā)生均勻變形，因

44、而任意一點均處于三向等壓應力狀態(tài)，且 解：1計算BC和BD邊的長度改變量應用廣義胡克定律，得 由已知條件，有 共二百二十頁 廣義(gungy)胡克定律例題 5 復雜應力狀態(tài)(zhungti)下的應力應變關系 應變能密度 于是，得 解：1計算BC和BD邊的長度改變量共二百二十頁 廣義胡克定律(h k dn l)例題 5 復雜應力狀態(tài)下的應力應變(yngbin)關系 應變(yngbin)能密度 解得： 解：1確定靜水壓力值p 共二百二十頁 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 各向同性材料各彈性(tnxng)常數(shù) 之間的關系 共二百二十頁 對于同一種各向同性材料，廣義胡克定律中的三個彈

45、性常數(shù)并不完全(wnqun)獨立，它們之間存在下列關系： 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 各向同性材料各彈性常數(shù)之間的關系 需要指出的是，對于絕大多數(shù)各向同性材料，泊松比一般在00.5之間取值，因此，切變模量G的取值范圍為：E3GE2。 共二百二十頁 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 總應變(yngbin)能密度 共二百二十頁微元應變(yngbin)能(Strain Energy)dydxdz力的作用點所產生(chnshng)的位移 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 總應變能密度 共二百二十頁dW =力在位移(wiy)上所作的功轉變?yōu)槲⒃膽兡?/p>

46、=dV 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 總應變能密度 共二百二十頁應變(yngbin)能密度(Strain-Energy Density) 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 總應變能密度 共二百二十頁 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 體積改變能密度(md)與畸變能密度(md) 共二百二十頁+將一般應力狀態(tài)(zhungti)分解為兩種特殊情形 復雜應力狀態(tài)下的應力應變(yngbin)關系 應變(yngbin)能密度 體積改變能密度與畸變能密度 共二百二十頁不改變形狀，但改變體積不改變體積，但改變形狀 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系

47、應變能密度 體積改變(gibin)能密度與畸變能密度 共二百二十頁 復雜應力(yngl)狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 體積改變能密度(md)與畸變能密度(md) 共二百二十頁不改變形狀，但改變體積V:體積(tj)改變能密度（Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume） 復雜應力狀態(tài)下的應力應變(yngbin)關系 應變(yngbin)能密度 體積改變能密度與畸變能密度 共二百二十頁d: 畸變(jbin)能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortio

48、n)不改變體積，但改變形狀 復雜(fz)應力狀態(tài)下的應力應變關系 應變能密度 體積改變能密度與畸變能密度 共二百二十頁不改變形狀(xngzhun)，但改變體積 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 體積改變能密度與畸變能密度 共二百二十頁不改變體積，但改變形狀 復雜應力狀態(tài)(zhungti)下的應力應變關系 應變能密度 體積改變(gibin)能密度與畸變能密度 共二百二十頁 復雜應力狀態(tài)下的應力應變關系(gun x) 應變能密度 體積改變能密度(md)與畸變能密度(md) 共二百二十頁 復雜(fz)應力狀態(tài)下的 強度設計準則 第10章 復雜受力時構件 的強度(qingd)設計

49、 返回共二百二十頁 前面已經(y jing)提到，大量實驗結果表明，材料在常溫、靜載作用下主要發(fā)生兩種形式的強度失效：一種是屈服；另一種是斷裂。 現(xiàn)在(xinzi)通過對屈服和斷裂原因的假說，直接應用單向拉伸的實驗結果，建立材料在各種應力狀態(tài)下的屈服與斷裂的失效判據(jù)，以及相應的設計準則。 關于斷裂的準則有最大拉應力準則和最大拉應變準則，由于最大拉應變準則只與少數(shù)材料的實驗結果相吻合，工程上已經很少應用。關于屈服的準則主要有最大剪應力準則和畸變能密度準則。 復雜應力狀態(tài)下的強度設計準則 共二百二十頁 最大拉應力(yngl)準則 最大拉應變(yngbin)準則 復雜應力狀態(tài)下的強度設計準則 最大剪應力準則 畸變能密度準則 共二百二十頁 最大拉應力(yngl)準則 復雜應力狀態(tài)下的強度設計(shj)準則 共二百二十頁123 = b 最大拉應力(yngl)準則 (Maximum Tensile-Stress Criterion) 無論材料處于什么應力狀態(tài)(zhungti),只要生脆性斷裂,都是由于微元內的最大