線性代數教案-第三章行列式及其應用

1、第三章行列式及其應用本在線性代數應用于幾何、分析等領域時，行列式理論起著重要的作用 ，線性代數范疇的矩陣理論的進一步深化，也要以行列式作工具.本章研究行列式理論以及它的一些作用.一、教學目標與基本要求(一)知識1 n階行列式的定義及性質現將這些性質作為公理體系來定義n階行列式.設A = aj 是任意一個n階方陣,用A記其第i行元素為分量的n元向量，即Ai = (ai1, ai2 ain ) , i = 1,2,n ,并稱其為行向量.有序向量組Ai,，An所定義的實值函數d(Ai,，An)被稱為n階行列 式函數，如果它滿足下列公理：公理1對每行具有齊性，即對任意實數t,有d( ,tAk, ) =

2、td( ,Ak, ), k =1,，n.公理2對每行都具加性.即對任意n元向量B,有d( , AkB, ) =d( , Ak,)d(,4如B, Ak i, ), k =1, ,n.公理3若任意相鄰兩行相等，則行列式為零.即若Ak = Ak書(k = 1,，n -1),則d( A1, An) =0.公理4對于Rn中常用基0,，en,有d(S, , en) =1.當 A1,，An取定，則稱d( A,，An)為一個n階行列式.有時也簡稱為n階行列式 函數為n階行列式.n行列式常被記為detA,| A|,或a11 a12aina21 a22a2n.3i3an1 an2ann公理4意味著，對于n階單位方

3、陣E,有detE =| E | = 1.前兩個公理意味著，行列式函數是它每一行的線性函數，即對任意一行(如第1行)而言，若t1,，tp是任意p個實數，B1，B p是任意p個n元向量(p是任意正整數，有 ppde tk B k, A2, An) C tkd( BkA, , An)k 1k 4定理3. 1. 1滿足公理1, 2, 3的行列式函數d(A，An)具有以下性質：(1)若行列式某一行為零，則此行列式為零.(2)對調行列式任意兩行，則行列式變號.(3)若行列式任意兩行相等，則此行列式為零.(4)若向量組 A,，An是相關的，則行列式d( A1,，An) =0.(5)把行列式某行乘以數加到另一

4、行去，行列式值不改變.2行列式的計算例3.2. 2設A是形如下式的n階對角方陣一加 00【0a22 0(aij = 0, i * j)00則 det A =a11a22ann.由該例可得到：例3.2. 3設A是形如下式的n階上三角方陣a11 a12a)n0 a22 a2n (主對角線下方各元素為零) + +.00ann.則 det A =a11a22ann.定理3.2. 1設d是滿足行列式公理14的n階行列式函數，f是滿足行列式公理 13的n階行列式函數，則對任意選定的n元向量 A,，An及R n中常用基e1，en,有f(A,An) =d(A,An)f(e1,en) .( 3.2.2)若f還滿

5、足行列式公理 4,則有f( A1, An) =d( A1, An).定理3.2.2若A是一個非奇異方陣(即A,存在)，則det A 0,且11det A 二二det A定理3. 2. 3設A1,，An是n個n元向量.該向量獨立的充要條件是 d(A1，An)豐0.本節(jié)最后，討論分塊對角方陣的行列式的簡便算法.定理3. 2. 3形如式(3. 2. 10)的分塊對角方陣成立著一 A Odet l = det Adet B9 B本定理可以推廣到一般情形：若C是一個具有對角子塊 A，An的分塊對角方陣，即Ai1OA2C =,*OJAn.則 detC -(detA1)(detA2)(detAn).3行列式

6、的展開公式定義3. 3. 1給定n階方陣A = akj(n 2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后，余 下元素按原來位置構成的n -1階方陣，被稱為元素akj的余子陣，記為Akj.而稱det Akj為akj的余子式.定理3. 3. 1對任意n階方陣A = akj(n2),有detAkj =(-1)k j detAkj , k = 1, n.(3. 3. 2)從而有 ndet A =、. akj (-1)k j detAkj , k = 1, n.(3. 3. 3)j 1此式被稱為行列式按第k行的展開式.定義3.3.2對行列式detA而言，稱(-1)k4j detAkj為元素akj的代數余

7、子式，記為cofakj.下面將利用數學D3納法來證明n階行列式函數的存在性，從而在理論上確立了n階行列式函數的存在唯一性.與此同時，可得到行列式按列展開的公式.定理3. 3. 2設n -1階行列式函數存在.對任意n階方陣A = akj,定義函數nf(A,An)八(-1)k1akidetAki ,(3 3.4)k 4則它是n階行列式函數定理3. 3. 3對任意n階方陣A = akj ,有n(-1) akj detAjdet A, i =k0, i # k(3. 3. 6)n- (一 1) a a jk det Aji j idet A, i =k0, i #k3.3.7)j i定理3. 3. 4

8、對任意n階方陣A = akj ,有det A = det AT .4伴隨陣及方陣的逆定義3. 4. 1給定n階方陣A = aj ,稱n階方陣cof aj T為A的伴隨陣，記為據此定義知：A的伴隨陣A位于第j行第i列的元素，就是A的元素aj的代數余子式cof aj =(-1)i j detAj.定理3.4.1對任意n階方陣A=aj(n2),有*AA = (detA)E.又：若det A #0,則A*存在，且有A41*A . det A定理3.4. 2對任意n階方陣A而言，A”存在得充分必要條件是 det A # 0 .當det A # 0 ,就有A41*4A , det A 4det Adet

9、A矩陣的秩定義3. 5.1在一個mx n矩陣A中,任取k行k列(k min(m , n),位于這些行列交叉處的 元素按原來位置構成的k階行列式，被稱為矩陣A的k階子式.A中不為零的子式.A中不為零的子式的最高階數，被稱為矩陣A的秩，記為R(A).若A沒有不為零的子式(等價的說法是：A是零矩陣),則認為其秩為零.推論若A有一個r階子式不為零,而所有r +1階子式全為零,則R(A) = r.定理3. 5. 1初等變換不改變矩陣的秩.等價的說法是：若AB(即A與B等價)，則R(A)= R(B).若A是n階方陣且R(A) = n ,則稱A為滿秩方陣.顯然，下列命題等價：A是滿秩方陣.det A = 0

10、.A是可逆的(非奇異的).克萊姆法則定理3. 6.1對于含有n個未知量x1，xn的n個線性代數方程構成的方程組311X1 +a2X2 + +anXn =b1，a21X1a22X2a2nXn =b2，,c c 八4:：(3. 6. 1)n1X1 + an2X2 + 3nn Xn =6，n(或寫為 z ajXj =bi, i =1,，n.) j 1如果其系數方陣 A = aj是非奇異的(即det A 0),則它是唯一解.這里cof akj是方陣A的元素akj的代數余子式.式(3. 6. 2)表示的線性代數方程組(3. 6. 1)的解亦可表示為detgXj = , j =1, ,n.(3. 6. 3)j det A這里方陣Cj是A中第j列換為列陣b所成的n階方陣.讀者容易驗證(3. 6. 3)式右端與(3. 6. 2) 式右端相等.本本章重點及難點1、理解用公理定義行列式概念中的數學原理2、利用公理4進行行列式計算3、