曲線積分與曲面積分例題解析

1、曲線積分與曲面積分 1第一型線面積分2222 .例1 求f(xy+yz + zx)ds,其中L是球面x十y+z = a與平面x+y十z = 0的交線。L1 .解法 1 (xy yz zx)ds 2(xy yz zx)dsL2 l解法2求曲線L的參數(shù)方程。由 x2+y2+z2=a2, x + y+ z = 0消去y ,得2即(x -)2 =a-(1-3z2)222a2令 z = J|asin t ,則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和L都具有輪換對(duì)稱性，則解法3作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。就坐標(biāo)是 (x, y),新坐標(biāo)是(X,Y),旋轉(zhuǎn)角為e ,則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為x = X c

2、os日-Y sin 8 , y = X sin 8 +Y cos81因?yàn)槠矫鎥+y+z=0的單位法矢為n =1,1,1,則它與z軸的夾角余弦為31cos4 =尸。下面分兩步進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，先將Oxy平面旋轉(zhuǎn)一，得新坐標(biāo)系Ou vz；再將Ozu平, 34面旋轉(zhuǎn)巾，得新坐標(biāo)系 Ouvw。即由旋轉(zhuǎn)公式得于是得 x1 ,.:(u c o s -v ws i n )在這組變換曲線 L： x2+y2+z2=a2, x + y+ z =0 變?yōu)?u2 +v2 + w2 = a2 , w = 0,3故 (xy + yz +zx)ds =3 xyds = 一 f(u cos4 v)(ucos4 +v)dsLL2l注1

3、三種解法各具特點(diǎn)：解法1技巧性強(qiáng)，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即寫出參數(shù)方程套公式計(jì)算定積分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2,給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的問題，再按常規(guī)的方法計(jì)算。Oxyz坐標(biāo)系下的線積分 O u v彼標(biāo)系下的線積分寫出參數(shù)方程一套公式一計(jì)算定積分在新的坐標(biāo)下，曲線有簡(jiǎn)單的參數(shù)方程。這個(gè)解法表明，可以適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡(jiǎn)單的參數(shù)方程。 2第二型線面積分例1計(jì)算曲線積分I = J(y2 -z2)dx + (z2 -x2)dy+ (x2 _y2)dz,LL是球面三角形x2

4、+y2+z2=1, x0, y0, z a 0的邊界線，從球的外側(cè)看去，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222222L是球面x +y +z =a和枉面x +y = ax(a a 0)的交線位于 Oxy平面上萬的部分，從x軸上(b,0,0)(b a)點(diǎn)看去，L是順時(shí)針方向。解 (1)顯然，L具有輪換對(duì)稱性，且被積表達(dá)式也具有輪換對(duì)稱性，將L分為三段22L1 ： x+y =1,z=0 (x0,y 0).22L2 ： y+z =1,x=0 (y0,z 0).22L3： x+z =1,y=0 (x0

5、,z 0)貝UI= (y2-z2)dx(z2 - x2)dy (x2- y2)dzL或I= (y2z2)dx(z2 x2)dy (x2-y2)dzL注1這里利用輪換對(duì)稱性使計(jì)算化簡(jiǎn)，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達(dá)式不變，積分化為L(zhǎng)1上的積分的3倍。 TOC o 1-5 h z 第二種方法：積分曲線 L不變，積分化為表達(dá)式中第一項(xiàng)積分的3倍。問題1是否可化為既是 L1上的積分的3倍，又是表達(dá)式中第一項(xiàng)積分的3倍，即(2)曲線關(guān)于 Ozx平面對(duì)稱，且方向相反同理(x2 - y2)dz =(x2 一 y2)dz = (x2 一 y2)dz = 0lL,y 0L,yi0222

6、22222、.故 I = (y z )dx (z x )dy (x -y )dz = (z -x )dyLL下面求曲線 L的參數(shù)方程。方法1利用球面的參數(shù)方程x=acos8sine, y = asinHsine, z=acose,代入柱面方程 x2+y2 = ax得sine=cos日，于是得 L的參數(shù)方程 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x = a cos 0 , y = asin a cos6 , z = a | sine |, e 從:至U -a aa萬法2 利用柱面的參數(shù)萬程 x = 十 cos日，y = sine ,代入球面方程 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2 222222x +y +z =a，得L的參數(shù)方程a a. a .x = 十cosH,y= sine, z = a|sin|, 日從 2n 至 U 0 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 2 222不妨取方法1中的參數(shù)方程進(jìn)行計(jì)算，注2這里利用對(duì)稱性（不是輪換對(duì)稱性），立即可知前兩項(xiàng)的積分為0。值得注意的是第二