[PPT]理論力學(xué)課件之剛體的平面運(yùn)動(dòng)

1、第六章剛體的平面運(yùn)動(dòng)1 61 剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 62 平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 63 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度 64 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度第六章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)2本章重點(diǎn)：平面運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的區(qū)別，平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法，求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法。本章難點(diǎn)：求點(diǎn)的加速度的基點(diǎn)法，合成運(yùn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題。3 剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，這是一種剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。對(duì)它的研究可以在研究剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，先將平面運(yùn)動(dòng)分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)，然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式。

2、4 剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)。例如曲柄連桿機(jī)構(gòu)：6-1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程一平面運(yùn)動(dòng)的定義 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果體內(nèi)任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)都在與某固定平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)看動(dòng)畫56返回7曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B點(diǎn)作直線平動(dòng)，連桿AB 既不是作平動(dòng)也不是作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿上的各點(diǎn)都在與該機(jī)構(gòu)中心平面（圖示平面）相平行的平面運(yùn)動(dòng)，是平面運(yùn)動(dòng)。注意：（1）平面運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是不同的；（2）不能把平面運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)混為一談。8 因此，在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)

3、。二 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)A1A2作平動(dòng)A點(diǎn)代表A1A2的運(yùn)動(dòng) S代表剛體的運(yùn)動(dòng)A。A1A2請(qǐng)看動(dòng)畫S9返 回10 三運(yùn)動(dòng)方程為了確定平面圖形的運(yùn)動(dòng)，取靜系Oxy，在圖形上任取一點(diǎn)O（稱為基點(diǎn)），并取任一線段OA，只要確定了OA的位置，S的位置也就確定了。剛體平面運(yùn)動(dòng)方程任意線段OA的位置也就是平面圖形S 的位置決定于 三個(gè)獨(dú)立的參變量。當(dāng)平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們 是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)。所以11故平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。6-2 平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)由上節(jié)知：若 為常量，則平面圖形作 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若 為常量，則平面圖形作平動(dòng)。則：平面圖形的運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)

4、動(dòng)）=圖形隨動(dòng)系（基點(diǎn)O ）的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）+圖形相對(duì)于動(dòng)系繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）1.平面運(yùn)動(dòng)的分解選擇一作平動(dòng)的坐標(biāo)系Oxy鉸接于平面圖形的O點(diǎn)（基點(diǎn)）請(qǐng)看動(dòng)畫xy注意: 動(dòng)系是在基點(diǎn)與剛體鉸接，動(dòng)系作平動(dòng)，圖形相對(duì)于基點(diǎn)可以轉(zhuǎn)動(dòng)。12返 回13例如車輪的運(yùn)動(dòng)14車輪從位置的運(yùn)動(dòng)：以A點(diǎn)為基點(diǎn)車輪相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))車輪隨基點(diǎn)A的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng))車輪繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng))15162.平面運(yùn)動(dòng)的分解與基點(diǎn)選擇的關(guān)系平面圖形隨基點(diǎn)的平動(dòng)與基點(diǎn)的選擇有關(guān)。平面圖形繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。證明： 在平面圖形上取任意兩直線OP、O P ，二者夾角為a， 則a =常量。以O(shè)為基點(diǎn)，作平

5、動(dòng)坐標(biāo)系Oxy，設(shè)OP與x的夾角為j，則圖形繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為：17以O(shè)為基點(diǎn)，作平動(dòng)坐標(biāo)系Oxy ，這時(shí)圖形繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為：即在同一瞬時(shí)，平面圖形繞圖形上任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的 、 都是相同的。18196-3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理則B點(diǎn)速度為： 一基點(diǎn)法（合成法）指向與 轉(zhuǎn)向一致。取A為基點(diǎn), 將平動(dòng)坐標(biāo)系鉸接于A點(diǎn)。設(shè)圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度為，圖形角速度為，求任一點(diǎn)B的速度。其中： 大小vBA= AB，方位：AB，xy則動(dòng)點(diǎn)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成：20即 平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影等這就是 速度投

6、影定理利用這種定理求平面圖形上點(diǎn)的速度的方法稱為速度投影法。速度投影定理反映了剛體上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變的特性。即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法。二速度投影法將上式在AB上投影：待求點(diǎn)基點(diǎn)21 三速度瞬心法 1. 問(wèn)題的提出 若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問(wèn)題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化。于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？瞬時(shí)速度中心（簡(jiǎn)稱速度瞬心）平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)O速度 , 圖形角速度，沿 方向取半直線OL, 然后

7、順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至OL的位置,在OL上取長(zhǎng)度 則：方位IO，指向與 相反。所以vI=022即 大?。簐A=AI 即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心（I）速度瞬心又稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心 設(shè)某瞬時(shí)平面圖形的角速度為，速度瞬心在I點(diǎn)。以I點(diǎn)為基點(diǎn)，有：方向：AI與一致同理：即：平面圖形上任一點(diǎn)的速度，就是該點(diǎn)隨圖形繞該瞬時(shí)圖形的速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。也就是：某瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)的速度的大小等于該點(diǎn)到速度瞬心的距離與圖形此瞬時(shí)角速度的乘積，方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線與角速度一致。234確定速度瞬心位置的方法（以I表示速度瞬心）注意：速度瞬心的加速度

8、不為于零。平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是繞它的一系列速度瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。I在A點(diǎn)的那一側(cè)？ 應(yīng)與一致。已知圖形上一點(diǎn)的速度 和圖形角速度，則：已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)（或稱純滾動(dòng)）, 則圖形與固定面的接觸點(diǎn)I為速度瞬心。24 已知某瞬時(shí)平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度 的方向，且 過(guò)A , B兩點(diǎn)分別作速度 的垂線,交點(diǎn) I即為該瞬間的速度瞬心. 已知某瞬時(shí)圖形上A ,B兩點(diǎn)速度 大小,且(b)(a)均有：25已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線 垂直。 此時(shí), 圖形的瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度 =0, 圖形上各點(diǎn)速度相等, 這種情況稱為瞬時(shí)平動(dòng)。 (此時(shí)各點(diǎn)的加速度不相

9、等)對(duì)(a)的情況，若vAvB， 也是瞬時(shí)平動(dòng)26 例如: 曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)。此時(shí)連桿BC的圖形角速度 ，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等，但各點(diǎn)的加速度并不相等。設(shè)勻，則而 的方向沿AC， 瞬時(shí)平動(dòng)平動(dòng)27解：OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)，滑塊B作平動(dòng)。 基點(diǎn)法（合成法） 研究 AB：例1 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)，已知OA=10cm，AB=20cm，曲柄OA以勻=20rad/s 轉(zhuǎn)動(dòng)。 求當(dāng) =60時(shí), 滑塊B的速度 及連桿AB的角速度eAB。方向OA與w一致以 A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的速度：28作B點(diǎn)的速度。在OAB中：abg由速度：29得： 速度投影法 研究AB：（逆時(shí)針）方位

10、：BO根據(jù)速度投影定理30不能求出900-q-j 速度瞬心法研究AB：方位：BO由 可確定出AB的速度瞬心I31I在OAB中，用正弦定理或余弦定理可求得：OB=23.03cm。于是：wAB（ ）32例2：繞線輪作純滾動(dòng)，其上圓柱部分的繞線以u(píng)水平向右運(yùn)動(dòng)，求O、A、C、D點(diǎn)的速度。解：（ ）vO=R=vA=2R=vC=IC=vD=ID=33例3：圖示機(jī)構(gòu)，曲柄OA以0轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)OA=AB=r，圖示瞬時(shí)O、B、C在同一鉛直線上，求此瞬時(shí)點(diǎn)B和C的速度。解：（1）以AB為研究對(duì)象： vA=r0，方向OAIAB（2）以BC為研究對(duì)象：IBCABBC請(qǐng)看動(dòng)畫（ ）34返 回356-4 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加

11、速度取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系鉸接于A點(diǎn)，取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)由動(dòng)系作平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理 可得：一. 基點(diǎn)法 (合成法) 已知：圖形S 內(nèi)一點(diǎn)A 的加速度 和圖形 的 , （某一瞬時(shí)）。求： 該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。36其中：，方位AB，指向與 一致；，方向：BA。即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求出其余兩個(gè)。由于 方位總是已知，所以在使用該公式中，

12、只要再知道四個(gè)要素，即可解出問(wèn)題的待求量。為何沒(méi)有 ？一般式：37（）I為速度瞬心（）半徑為R的車輪沿直線軌道作純滾動(dòng), 則：（）38解：(a) AB作平動(dòng):例5 已知O1A=O2B=l, 圖示瞬時(shí) O1A/O2B 試問(wèn)(a),(b)兩種情況下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)39(b) AB作平面運(yùn)動(dòng), 圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動(dòng), 此時(shí)下面求加速度：以A點(diǎn)為基點(diǎn)，則（*）40將（*）式向x軸投影：x將各量代入，得：41例6 曲柄滾輪機(jī)構(gòu)：滾子半徑R=15cm=OA, 曲柄OA轉(zhuǎn)速n=60 r/min。求：當(dāng) =60時(shí) (OAAB), 滾輪的，。（習(xí)題6-11）翻頁(yè)請(qǐng)看動(dòng)畫4243解：OA定軸轉(zhuǎn)

13、動(dòng)，AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng)（1）求IBIABvB（順時(shí)針）A（逆時(shí)針）以AB為研究對(duì)象以輪為研究對(duì)象44以AB為對(duì)象，以A為基點(diǎn)：方向：AO將（*）式向軸投影：（2）求aB=？，方位：水平，指向假設(shè)（*）aBA=？，方位BA，指向假設(shè)方向：B A以輪為研究對(duì)象：B=aB/BIB=131.5/15=8.77rad/s2(逆時(shí)針)45例7圖示機(jī)構(gòu)，已知OA=20cm，BO1=100cm，AB=120cm；OA以O(shè)=5rad/s2轉(zhuǎn)動(dòng)，圖示瞬時(shí)OA的O=10rad/s，求此時(shí)B點(diǎn)的加速度。解：以AB桿為研究對(duì)象（1）求O1B桿的1 AB作瞬時(shí)平動(dòng)（ ）146（2）求aB1以A點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)加速度：

14、（*）其中：471將（*）式向AB投影：方向：討論：48剛體平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題課一概念與內(nèi)容1. 剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變。2. 剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化可以用剛體上一個(gè)與固定平面平行的平面圖形S在自身平 面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的整體運(yùn)動(dòng)。 3. 剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解 分解為 4. 基點(diǎn)可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn),通常是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已知的點(diǎn)。 隨基點(diǎn)的平動(dòng)（平動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)）繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)）495. 速度瞬心任一瞬時(shí),平面圖形或擴(kuò)大部分都唯一存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。瞬心位置隨時(shí)間改變。每一瞬時(shí)平面圖形的運(yùn)動(dòng)可視為繞該瞬時(shí)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。這 種瞬時(shí)繞

15、瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同。 =0, 瞬心位于無(wú)窮遠(yuǎn)處, 各點(diǎn)速度相同, 剛體作瞬時(shí)平動(dòng), 瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同。6. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平動(dòng)是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例。7. 求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法 （1）基點(diǎn)法： （2） 速度投影法： （3） 速度瞬心法：50 8. 求平面圖形上一點(diǎn)加速度的方法基點(diǎn)法： 9. 平面運(yùn)動(dòng)方法與合成運(yùn)動(dòng)方法的應(yīng)用條件平面運(yùn)動(dòng)方法用于研究一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的度、加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系。 合成運(yùn)動(dòng)方法常用來(lái)確定兩個(gè)相接觸的物體在接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞。51二解題步驟和要點(diǎn) 1. 根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動(dòng)

16、的定義，判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動(dòng) 形式。注意每一次的研究對(duì)象只是一個(gè)剛體。 2. 對(duì)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速 度(圖形角速度)問(wèn)題的方法, 用基點(diǎn)法求加速度(圖形角加速 度)。 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量。 (基點(diǎn)法: 恰當(dāng)選取基點(diǎn)，作速度平行四邊形，加速度矢量圖； 速度投影法: 不能求出圖形 ; 速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵。）52解:OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ; AB, BC均作平面運(yùn)動(dòng), 滑塊B和C均作平動(dòng)求對(duì)AB桿應(yīng)用速度投影定理：對(duì)BC桿應(yīng)用速度投影定理：例1 已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA= r , 以等 o轉(zhuǎn)動(dòng), 在某瞬時(shí) = 60 ABBC, AB=6 r

17、 , BC= 。求該瞬時(shí)滑塊C的 速度和加速度。53求以AB為研究對(duì)象，以A為基點(diǎn)求B點(diǎn)加速度：( a )作加速度矢量圖, 將（a）式向BA方向投影其中54再以BC為研究對(duì)象，以B為基點(diǎn), 求注 指向可假設(shè)，結(jié)果為正說(shuō)明假設(shè)與實(shí)際指向相同， 反之，結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明假設(shè)與實(shí)際指向相反。將 (b) 式在BC方向線上投影：其中55例2 深水泵機(jī)構(gòu)如圖所示：曲柄O2C以勻w0轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：O1O2=O2C=BE=l，在圖示瞬時(shí)O1C=CB，求圖示瞬時(shí)（1）活塞F的速度vF，（2）桿O1B的角加速度e O1B及活塞F的加速度aF 。解：1.求vF（1）以滑塊C為動(dòng)點(diǎn)，O1B為動(dòng)系，求wO1B300（ ）wO1B56（2）以O(shè)1B桿為研究對(duì)象：300wO1BI （3）以BE桿為研究對(duì)象： （BE桿作平面運(yùn)動(dòng)）（ ）wBE（4）以EF桿為研究對(duì)象：（EF桿作平動(dòng)）572.求e O1B及aF（1）以滑塊C為動(dòng)點(diǎn)， O1B為動(dòng)系，求eO1Bh1將式（*）向h1投影，得：60（2）以O(shè)1B桿為研究對(duì)象：58h160（3）以BE桿為研究對(duì)象：h2將式（*）向h2投影，得：（4）以EF桿為研究對(duì)象：59例3如圖所示平面