數列與角函數練習題難題

1、例1例2設An為數列an的前n項和，An=32(an1)，數列bn的通項公式為bn=4n+3;(1)求數列an的通項公式；(2)把數列an與bn的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明：數列dn的通項公式為dn=32n+1;(an1)，可知An+1=(an+11)，解：(1)由An=3322(an+1an)，即n1=3，而a1=A1=(a11)，得a1=3，所以數列是以3an+1an=aa3322n為首項，公比為3的等比數列，數列an的通項公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C142n1(1)+C2n14(1)+(1)2n2n2n=4n+3，24(4(3

2、2n+1bn.而數32n=(41)2n=42n+C1n2n11)+C2n11)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而數列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.例3數列an滿足a1=2，對于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數列bn的通項為bn=2n1+1.(1)求數列an的通項an及它的前n項和Sn；(2)求數列bn的前n項和Tn；(3)猜想Sn與Tn的大小關系，并說明理由.nn1.解：(1）可解得ann1a，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，驗證可知，n=1時，T1=S1，n=2時T2S2

3、；n=3時，T3S3;n=4時，T4S4；n=5時，T5S5；n=6時T6S6.猜想當n5時，TnSn，即2nn2+1可用數學歸納法證明(略）.例4例5已知數列bn是等差數列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數列bn的通項bn；試比較Sn與1logabn+1的大小，并證明你的結論.1(2)設數列an的通項an=loga(1+b)(其中a0且a1),記Sn是數列an的前n項和，n3解：(1)設數列bn的公差為d，由題意得：2bn=3n2.b1110(101)10bd1451解得b1=1,d=3,)+loga(1+)(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+11

4、43n2)(1+)，logabn+1=loga33n1.=loga(1+1)(1+14113n23因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)(1+)與33n1的大111343n2小，取n=1時，有(1+1)3311取n=2時，有(1+1)(1+14)332111由此推測(1+1)(1+)(1+)33n143n2當a1時，Sn若式成立，則由對數函數性質可判定：13當0a1時，Snlogabn+1，13例1例eqoac(,2)在ABC中，已知A、B、C成等差數列，則tanACACtan3tantan2222AC2故tantan3tantan3.的值為_.解析：A+B+C=，

5、A+C=2B，ACACAC,tan()3,tantan3(1tantan)322222ACAC2222，求cosBCeqoac(,3)、已知ABC的三個內角A、滿足A+C=2B.的值.112ACcosAcosCcosB2所以1313cossincossin2222解法一：由題設條件知B=60，A+C=120.設=AC，則AC=2，可得A=60+，C=60，21111cosAcosCcos(60)cos(60)11coscos,133cos2sin2cos2444依題設條件有coscos2342,cosBcos232cos60cosAcosC，把1coscosB,22.24整理得42cos2+2

6、cos32=0(M)(2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.從而得cosAC2.22解法二：由題設條件知B=60，A+C=1201122,22式化為cosA+cosC=22cosAcosC利用和差化積及積化和差公式，式可化為，2cosACACcos2cos(AC)cos(AC)22，cos2cos(AC)將cos(AC)=2cos2()1代入：42cos2(AC)+2cosAC32=0，將cosAC=cos60=1，cos(A+C)=1代入式得：222AC222AC22222cos30,2cos20,從而得:cos.(*)，ACAC(2cos22)(22cos3

7、)0,22ACACAC22222例、在eqoac(,4)ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，4435則cos2(B+C)=_.解析：A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=4，sin(2A+C)=3.55C為最大角，B為銳角，又sinB=4.故cosB=3.55即sin(A+C)=4，cos(A+C)=3.55cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=24，25cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=527.6255、6、如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的

8、光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點到光源的距離r的平方成反比，即I=ksin，其中k是一個和燈光強度有關的常數，r2那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？解：R=rcos，由此得：1cos,0，rR22k2(sincos2)rRRIksinsincos2k2k22I2(k)22sin2(1sin2)(1sin2)(R22)()3R233,等號在sin時成立,此時hRtanR由此得Ik232R2932、在eqoac(,7)ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2cos2A.BC722(1)求角A的度數；(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.cos2A及AB

9、C180,得:.解:(1)由4sin2BC722即4cos2A4cosA10,cosA,721cos(BC)2cos2A1,4(1cosA)4cos2A52120A180,A60(2)由余弦定理得:cosAb2c2a22bc2，試求A、B、C的值1b2c2a21cosA(bc)2a23bc.22bc2bc3b1b2將a3,bc3代入上式得:bc2由得:或.bc2c2c1eqoac(,8)、在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數列，又AC=解：由a、b、3c成等比數列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3(1)cos(A+C)cos(AC)2B=(A

10、+C).sin2(A+C)=3cos(A+C)cos22即1cos2(A+C)=3cos(A+C)，解得cos(A+C)=1.220A+C，A+C=2.又AC=A=7，B=，C=.32123129、在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值.解：按題意，設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設BAP=，DPA=，BDP=2，再設AB=a，AD=x，DP=xeqoac(,.)在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：BPABsinBAPsinAPB.BP=asinsin(120)在PBD中，,所以BP,