數(shù)字信號(hào)處理方勇第一章習(xí)題答案

1、習(xí) 題1-1 有一個(gè)連續(xù)信號(hào)，式中，求出的周期；用采樣間隔對(duì)進(jìn)行采樣，寫(xiě)出采樣信號(hào)的表達(dá)式；畫(huà)出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)（序列）的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2） （3）的數(shù)字頻率為，周期。 ，畫(huà)出其波形如題1-1圖所示。 題1-1圖1-2 設(shè)，其中為采樣周期。（1）信號(hào)的模擬頻率為多少？（2）和的關(guān)系是什么？（3）當(dāng)時(shí)，的數(shù)字頻率為多少？解：（1）的模擬頻率。（2）和的關(guān)系是：。（3）當(dāng)時(shí)，。1-3 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1），為常數(shù)；（2）。解： （1），這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是；（2），這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。1-4 研究一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不

2、變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為指數(shù)序列，。對(duì)于矩陣輸入序列，求出輸出序列，并用MATLAB計(jì)算，比較其結(jié)果。分析：輸入，線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)的卷積，用公式表示為為了計(jì)算輸出序列的第個(gè)值，必須計(jì)算出乘積，并將所得到的序列值相加。解：輸出序列可以分成三種情況來(lái)求解：當(dāng)時(shí)，由于和的非零取樣互不重疊，因此。當(dāng)時(shí)，從到，和的非零取樣值有重疊，因此 當(dāng)時(shí)，和重疊的非零取樣值從到，因此 所以 利用MATLAB求其響應(yīng),程序如下：a=1/2;N=20;n=0:N-1;c=1;d=1 -a;x=ones(1,N);y=filter(c,d,x);stem(n,y);ylabel(y(n);題

3、1-4圖 輸出相應(yīng)序列1-5 設(shè)，求。解： ，所以， ，其Z反變換為顯然，在處，的極點(diǎn)被的零點(diǎn)所抵消，如果，則的收斂域比與收斂域的重疊部分要大。1-6 求下列序列的變換及其收斂域，并用MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)示意圖。雙邊指數(shù)序列，；正弦調(diào)制序列，。解：（1）雙邊指數(shù)序列可寫(xiě)為其變換為 ，是一個(gè)雙邊序列，其收斂域?yàn)楸硎緲O點(diǎn)，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為。其極點(diǎn)、零點(diǎn)圖如圖所示，圖中表示極點(diǎn)，表示零點(diǎn)。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)，如題1-6圖(a)所示：a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y -a;zplane(b,a);題1-6圖(a) 零極點(diǎn)圖（2）， 我們將其分解為標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)序列形式，然后根

4、據(jù)變換的求和定義式求得其對(duì)應(yīng)的變換、收斂域并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。其變換為收斂區(qū)域?yàn)?，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為，。其對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖如題1-6圖所示。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn),如題1-6圖(b)所示：A=1;r=1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w);b=A*cos(w) -y ;a=1 -x r*r;zplane(b,a);題1-6圖(b) 零極點(diǎn)圖討論 通常將正弦序列信號(hào)展開(kāi)為兩個(gè)基本復(fù)指數(shù)序列和或差的形式，然后按照變換定義式求起對(duì)應(yīng)的變換和收斂域。對(duì)于變換表達(dá)式可表示為等比級(jí)數(shù)和的形式的序列，其變換的收斂域是保證等比小于1，如本例中要保證，可得收斂域

5、為。題1-6圖 零極點(diǎn)示意圖1-7 已知， 求其變換及其收斂域。并用MATLAB求解。解：這是一個(gè)雙邊序列，其變換為，MATLAB求解程序如下： F=ztrans(sym(ak+bk) 結(jié)果為：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求,的逆變換，并用MATLAB求解。解：由部分分式展開(kāi)可得 , 因?yàn)?。所以得MATLAB求解：程序如下：syms k z;Fz=5*z/(z2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)運(yùn)行結(jié)果：fk =2k - (-3)k1-9 判斷系統(tǒng)（1），（2）是否為時(shí)不變系統(tǒng)，并利用MATLAB驗(yàn)證。解：（1）令輸入為，輸出為而，所以系統(tǒng)是時(shí)變的。M

6、ATLAB驗(yàn)證：令 ，程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0為x橫坐標(biāo)非負(fù)的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(輸入);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(輸出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(輸入);axis

7、(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(輸出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(輸出);axis(-1,3,0,4);題1-9圖(a) 時(shí)變性驗(yàn)證（2）令輸入，輸出而，所以系統(tǒng)為時(shí)變的。MATLAB驗(yàn)證：令，程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=

8、x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x) Y(1,j)=j*X(1,j);endsubplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(輸入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(輸出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n

9、0);title(輸入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(輸出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(輸出);axis(0,4,0,6);題1-9圖(b) 時(shí)變性驗(yàn)證1-10 利用MATLAB驗(yàn)證例題1-27（1）中的系統(tǒng)是否為線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。解：令輸入為，則輸出為，而，所以，系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)?而，所以系統(tǒng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。MATLAB驗(yàn)證：: 時(shí)變性驗(yàn)證：令，程序如下：a

10、=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(輸入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);titl

11、e(輸入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(輸出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(輸出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(輸出);axis(0,4,0,6);題1-10圖(a) 時(shí)變性驗(yàn)證: 線(xiàn)性驗(yàn)證：令，,程序如下：x1=1 2 3 2;x

12、2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel(n);ylabel(Y1(n);axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(n,Y2);xlabel(n);ylabel(Y2(n);題1-10圖(b) 線(xiàn)性性驗(yàn)證111 已知系統(tǒng)函數(shù)，試用MATLAB畫(huà)出該系統(tǒng)的幅頻特性。解： 利用MATLAB中的freqz()函數(shù)可以畫(huà)出該系統(tǒng)的幅頻特性曲線(xiàn)，如題1-11圖所示。 取10。MATLAB

13、程序如下：N=10;b=1 zeros(1,N-1) 1;a=1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA);plot(OMEGA,abs(H);題1-11圖 幅頻響應(yīng)特性1-12 一般的滑動(dòng)平均由下列方程定義 該系統(tǒng)計(jì)算輸出序列的第個(gè)樣本時(shí)是將其作為輸入序列第個(gè)樣本前后的個(gè)樣本的平均。求：（1）該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)； （2）求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； （3）對(duì)，求和，并用MATLAB畫(huà)出其圖形。解： （1）（2）因?yàn)?因此頻率響應(yīng)就是利用等比級(jí)數(shù)求和公式 可以得到：（3）當(dāng)，時(shí)，利用MATLAB畫(huà)出其頻率響應(yīng)圖：由 得 所以MATLAB程序如下：

14、M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zeros(1,M2) -X;a=1 -1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);運(yùn)行結(jié)果如題1-12圖所示：題1-12圖 頻率響應(yīng)曲線(xiàn)圖1-13 設(shè)某線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程為，試求它的單位脈沖響應(yīng)。并討論其因果性和穩(wěn)定性，并用MATLAB計(jì)算，與理論值進(jìn)行比較。解：對(duì)上式兩邊取變換，得到：極點(diǎn)：，當(dāng)ROC：時(shí)，系統(tǒng)因果不穩(wěn)定，；當(dāng)ROC：

15、時(shí)，系統(tǒng)非因果穩(wěn)定，；當(dāng)ROC：時(shí)，系統(tǒng)非因果不穩(wěn)定，。1-14 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由，如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，通過(guò)MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)圖。（1）（2）（3）解： （1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌c時(shí)刻的和時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn),如題1-14圖(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1) -X;a=1 -1;zplane(b,a);題1-14圖(a) 零極點(diǎn)示意圖（2）該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)闀r(shí)刻的輸出還和時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫(huà)

16、出零極點(diǎn)圖如下：b=1 1;a=1 0;zplane(b,a);題1-14圖(b) 零極點(diǎn)示意圖（3）系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)闀r(shí)刻輸出和時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1-15 求下列單位脈沖響應(yīng)的變換及收斂域，用MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)分布圖。 （1）、 （2）、 （3）、解：（1）由變換的公式可得其變換為：=，。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)，程序及運(yùn)行結(jié)果如題1-15圖(a)所示：b=1 0;a=1 -0.2;zplane(b,a);題1-15圖(a) 零極點(diǎn)示意圖（2）利用變換公式可得：其變換為, MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)如下題1-15圖(b)所示：w0=2*pi;x=exp(j*

17、w0);b=1;a=1 -x;zplane(b,a);題1-15圖(b) 零極點(diǎn)示意圖（3） 因?yàn)?，由?）知的變換為 的變換為所以得出的變換經(jīng)化簡(jiǎn)得： , 利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)如下題1-15圖(c)所示: w0=pi/4;b=1 -cos(w0);a=1 -2*cos(w0) 1;zplane(b,a);題1-15圖(c) 零極點(diǎn)示意圖1-16 已知系統(tǒng)函數(shù)如下：，用MATLAB編程判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定.解： MATLAB程序如下：A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5P=roots(A);M=max(abs(P);if(M1) disp(系統(tǒng)穩(wěn)定)else disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定)e

18、nd運(yùn)行結(jié)果如下：A = 2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000系統(tǒng)穩(wěn)定1-17 設(shè)一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為 并且已知初始條件為，輸入，利用MATLAB求系統(tǒng)的輸出。解：%用迭代法求取10點(diǎn)數(shù)據(jù)y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.22;for n=5:10 y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2(n-2);endstem(i-1,y);xlabel(n);ylabel(y(n);結(jié)果如題1-17圖所示：題1-17圖 輸出響應(yīng)1-18 一系統(tǒng)的差分方程描述如下：試確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并求出輸入序列為的穩(wěn)態(tài)輸出。解：由差分方程可得出， 其特征根為，所以該系統(tǒng)為一穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)輸入序列為時(shí)，由穩(wěn)態(tài)輸出的定義，我們可以計(jì)算出：，。所以其穩(wěn)態(tài)輸出為 用MATLAB畫(huà)出其頻率響應(yīng):程序如下：b=1 0 -1;a=1 0 0.81;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot