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1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng),按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1將函數(shù)f(x)=sin 3x-cos 3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象,給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論:它的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng);它的最小正周期為;它的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對(duì)稱(chēng);它在上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
2、ABCD2設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為,則( )ABCD3大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過(guò)程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為( )ABCD4天干地支,簡(jiǎn)稱(chēng)為干支,源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱(chēng)為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱(chēng)為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按
3、固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為( )ABCD5集合中含有的元素個(gè)數(shù)為( )A4B6C8D126已知直三棱柱中,則異面直線(xiàn)與所成的角的正弦值為( )ABCD7若集合,則ABCD8在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線(xiàn)的距離為,則E的離心率為( )ABCD9將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是( )ABCD10已知命題:是“直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最
4、小值為4. 給出下列命題:;,其中真命題的個(gè)數(shù)為( )A1B2C3D411已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且,則,的大小關(guān)系為( )ABCD12音樂(lè),是用聲音來(lái)展現(xiàn)美,給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì),他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述,它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音,其余的為泛音由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱(chēng)為基本音的諧波下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則_.14已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn),
5、以線(xiàn)段為直徑的圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)15如果橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在x軸上,且=, 那么橢圓的方程是 16設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為_(kāi).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)與拋物線(xiàn):交于,兩點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求的值;(2)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn),證明:軸.18(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為1,證明
6、:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).19(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍20(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查調(diào)查后,就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿(mǎn)意度統(tǒng)計(jì)如下:滿(mǎn)意不滿(mǎn)意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)?若在購(gòu)物體驗(yàn)滿(mǎn)意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率附表及公式:21(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點(diǎn),平面,且,()求與
7、平面所成角的正弦()求二面角的余弦值22(10分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數(shù)g(x)=2sin3(x+)-+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故正確;令3x+=k+,得x=+(kZ),所以x=不是對(duì)稱(chēng)軸,故錯(cuò)誤;令3
8、x+=k,得x=-(kZ),取k=2,得x=,故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對(duì)稱(chēng),故正確;令2k-3x+2k+,kZ,得-x+,取k=2,得x,取k=3,得x,故錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型2C【解析】畫(huà)出圖形,將三角形面積比轉(zhuǎn)為線(xiàn)段長(zhǎng)度比,進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫(xiě)出直線(xiàn)方程,再聯(lián)立方程組,求得交點(diǎn)坐標(biāo),最后代入坐標(biāo),求得三角形面積比.【詳解】作圖,設(shè)與的夾角為,則中邊上的高與中邊上的高之比為,設(shè),則直線(xiàn),
9、即,與聯(lián)立,解得,從而得到面積比為.故選:【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)的比例關(guān)系,進(jìn)而聯(lián)立方程組求解,是一道不錯(cuò)的綜合題.3B【解析】直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可【詳解】由題意,排除D,排除A,C同時(shí)B也滿(mǎn)足,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解4B【解析】利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組(每組2個(gè)),地支相同的年份有8組(每組2個(gè)),從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的
10、計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.5B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B6C【解析】設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角,根據(jù)中位線(xiàn)定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知,.作BC中點(diǎn)Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線(xiàn)夾角,關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線(xiàn)夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.7C【解析】解一元次二次不等式
11、得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.8A【解析】由已知可得到直線(xiàn)的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線(xiàn)的距離為,得直線(xiàn)的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題,一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.9A【解析】根據(jù)y=Acos(x+)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,根據(jù)定義域求出的范圍,再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得的取值范圍【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象,再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,
12、周期,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn), , ,解得,又,解得,當(dāng)k=0時(shí),解,當(dāng)k=-1時(shí),可得,.故答案為:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos(x+)的圖象變換及零點(diǎn)問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建不等關(guān)系式,求解可得,屬于較難題.10A【解析】先由兩直線(xiàn)垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時(shí),當(dāng)即時(shí),取等號(hào),當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選:A.
13、【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時(shí),滿(mǎn)足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.12C【解析】由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱(chēng)為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分
14、。13.【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,故而可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題14【解析】由題意求出以線(xiàn)段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E外,即圓E上存在點(diǎn),使得,則當(dāng)與圓E相切時(shí),此時(shí),由此列出不等式,即可求解。【詳解】由題意可得,直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組,可得,設(shè),則,設(shè),則,又,所以圓是以為圓心,4為半徑的圓,所以點(diǎn)恒在圓外圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),即圓上存在點(diǎn),使得,設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩直線(xiàn)分別切圓于點(diǎn),要滿(mǎn)足題意,則,所以,整理得,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與拋
15、物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用,以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程,把圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為圓上存在點(diǎn),使得是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題。15【解析】由題意可設(shè)橢圓方程為:短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在軸上又,橢圓的方程為,故答案為考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí)16【解析】試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,且考點(diǎn):線(xiàn)性規(guī)劃.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17(1)1;(2)見(jiàn)解析【解析】(1)設(shè),聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程,得,寫(xiě)出韋達(dá)定理
16、,根據(jù)弦長(zhǎng)公式,即可求出;(2)由,得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出拋物線(xiàn)在點(diǎn)點(diǎn)處切線(xiàn)方程,進(jìn)而求出,即可證出軸.【詳解】解:(1)設(shè),將直線(xiàn)代入中整理得:,解得:.(2)同(1)假設(shè),由,得,從而拋物線(xiàn)在點(diǎn)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,即,令,得,由(1)知,從而,這表明軸.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.18(1); (2)證明見(jiàn)解析,.【解析】(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計(jì)算得到答案.(2)先排除斜率為0時(shí)的情況,設(shè),聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,根據(jù)化簡(jiǎn)得到,代入直線(xiàn)方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得
17、,解得,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí),直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線(xiàn)的斜率不為0.設(shè),直線(xiàn)的方程為聯(lián)立,整理得則,.因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線(xiàn)的方程為.故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,計(jì)算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19 (1)x=1 (2)證明見(jiàn)解析 (3) 【解析】(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證 ,即證 ,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式 對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,設(shè),分類(lèi)討
18、論進(jìn)而求解【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減;所以,所以的零點(diǎn)為(2)由題意, ,要證 ,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即,所以原不等式成立(3)不等式 對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,設(shè),記,當(dāng)時(shí),即時(shí),恒成立,故單調(diào)遞增于是當(dāng)時(shí),又,故,當(dāng)時(shí),又,故,又當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)時(shí),當(dāng),即時(shí),設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,又,于是,故當(dāng)時(shí),從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),此時(shí),于是,即 舍去,綜上,的取值范圍是【點(diǎn)睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn);(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類(lèi)討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.20有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān);.【解析】由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān);獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有個(gè),其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè),進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有:,共個(gè)其中僅有
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