2019屆河南省洛陽市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2019屆河南省洛陽市高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】求出集合A，利用交集運算直接求解。【詳解】由得：，所以，又所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題。2已知的共軛復數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】設，整理得到方程組，解方程組即可解決問題?！驹斀狻吭O，因為，所以，所以，解得：，所以復數(shù)在復平面內對應的點為，

2、此點位于第四象限.故選：D【點睛】本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎題。3已知向量，且與的夾角為，則（ ）A5BC7D37【答案】B【解析】求出，從而求得，將等價變形為，整理即可得解?！驹斀狻坑深}可得：，所以，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了向量模的坐標運算、向量的數(shù)量積概念，考查轉化能力及計算能力，屬于基礎題。4已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用表示點與點連線斜率的幾何意義直接求解?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域如下圖：其中,，又，它表示點與點連線的斜率，由圖可知，當點在點處時，其與點連線的斜

3、率最大，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃知識，考查了分式型目標函數(shù)的幾何意義，屬于基礎題。5下圖的程序框圖的算法思路源于我國 古代數(shù)學名著九章算術中的“中國剩余定理”.已知正整數(shù)被 除余， 被除余，被除余，求的最小值.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的（ ）A B C D【答案】C【解析】分析：根據(jù)正整數(shù)n被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n的最小值詳解：正整數(shù)n被3除余2，得n=3k+2，kN；被8除余5，得n=8l+5，lN；被7除余4，得n=7m+4，mN；求得n的最小值是53故選：C點睛：本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(

4、1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3) 注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4) 處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.6如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）A18B12C10D9【答案】D【解析】由三視圖可得：該幾何體是長方體中的一個四棱錐，直接利用錐體體積公式計算即可求解?！驹斀狻坑扇晥D可得：該幾何體是長方體中的一個四棱錐，三視圖中的俯視圖的面積就是四棱錐的底面面積，四棱錐的高為3，所以

5、.故選：D【點睛】本題主要考查了三視圖還原及錐體體積計算，考查空間思維能力，屬于基礎題。7已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)的表達式即可判斷在上遞減，利用單調性可得：，解不等式即可?！驹斀狻亢瘮?shù)在各段內都是減函數(shù)，并且，所以在上遞減，又，所以解得：，故選：A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調性的應用，考查計算能力及轉化能力，屬于中檔題。8已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！?/p>

6、詳解】函數(shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。9已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線上，且，成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】設雙曲線左、右焦點坐標分別為，由，成等差數(shù)列列方程，結合雙曲線定義即可求得：，用坐標表示出，聯(lián)立方程組即可求得，結合點在雙曲線上，即可列方程求得，問題得解?！驹斀狻吭O雙曲線的左、右焦點坐標分別為，因為，成等差數(shù)列，所以，又點在雙曲線的右支上，所以，解得：

7、，即：，整理得：，（1）-（2）得：，所以，又點在雙曲線上，所以，將代入，解得：，所以所求雙曲線的方程為，故選：A.【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及簡單性質、等差數(shù)列的概念，還考查了方程思想及計算能力，屬于中檔題。10如圖所示，三國時代數(shù)學家在周脾算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內的米粒數(shù)大約為（ ）A20B27C54D64【答案】B【解析】設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬

8、列方程即可求解?！驹斀狻吭O大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。11已知數(shù)列與的前項和分別為，且,若恒成立，則的最小值是( )ABC49D【答案】B【解析】已知， ，兩式子做差得到 ，故數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得到 ，故 ，故裂項求和得到 ，由條件恒成立，得到K的最小值為故答案選B點睛：本題考查到了通項公式的求法， 從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，再求出 ，根據(jù)裂項求和的方法可以求出前n項和。12若函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】將函數(shù)恰有

9、兩個極值點轉化成：函數(shù)有兩個不同的零點.即：方程有兩個不同的實數(shù)根，再轉化成：有兩個不同的實數(shù)根，討論的單調性并畫出簡圖，結合圖象即可列不等式求解?！驹斀狻坑深}可得：，因為函數(shù)恰有兩個極值點，所以函數(shù)有兩個不同的零點.令，等價轉化成有兩個不同的實數(shù)根，記：，所以，當時，此時函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當時，此時函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當時，此時函數(shù)在此區(qū)間上遞減，作出的簡圖如下：要使得有兩個不同的實數(shù)根，則，即：，整理得：.故選：D【點睛】本題主要考查了極值點與導數(shù)的關系，還考查了轉化思想及計算能力，考查了函數(shù)圖象與導數(shù)的關系，屬于難題。二、解答題13如圖，四邊形中，.（1）求；（2）若，四邊形的周長為1

10、0，求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，由余弦定理可得： ，解方程即可求得，從而發(fā)現(xiàn)，問題得解。（2）由四邊形的周長為10可求得，再利用余弦定理可得，整理即可求得，利用三角形面積公式即可求得，問題得解。【詳解】解：（1）設，由余弦定理得：.即，.或（舍去）.（2）四邊形的周長為10，.又，即，.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，還考查了轉化能力及三角形面積計算，屬于基礎題。14已知平面多邊形中，為的中點，現(xiàn)將三角形沿折起，使.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連，即可證明，結合即可證明四邊形為平行四邊形，

11、問題得證。（2）取中點，連接，先說明平面，即可求得三角形為等邊三角形，取的中點，先說明平面，利用體積變換及中點關系，將轉化成，問題得解。【詳解】解：（1）取的中點，連. 為中點，為的中位線，.又，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面.（2）由題意知為等腰直角三角形，為直角梯形.取中點，連接，平面，平面，平面，.在直角三角形中，三角形為等邊三角形.取的中點，則，平面，為的中點，到平面的距離等于到平面的距離的一半，.【點睛】本題主要考查了線面平行的證明，還考查了轉化思想及幾何體體積變換，考查計算能力及空間思維能力，屬于中檔題。15某學校高三年級共有4個班，其中實驗班和普通班各2個，且各班學生人數(shù)

12、大致相當.在高三第一次數(shù)學統(tǒng)一測試（滿分100分）成績揭曉后，教師對這4個班的數(shù)學成績進行了統(tǒng)計分析，其中涉及試題“難度”和“區(qū)分度”等指標.根據(jù)該校的實際情況，規(guī)定其具體含義如下：難度，區(qū)分度.（1）現(xiàn)從這4個班中各隨機抽取5名學生，根據(jù)這20名學生的數(shù)學成績，繪制莖葉圖如下：請根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)，估計該次考試試題的難度和區(qū)分度；（2）為了研究試題的區(qū)分度與難度的關系，調取了該校上一屆高三6次考試的成績分析數(shù)據(jù)，得到下表：考試序號123456難 度0.650.710.730.760.770.82區(qū)分度0.120.160.160.190.200.13用公式計算區(qū)分度與難度之間的相關系數(shù)（精確到0

13、.001）；判斷與之間相關關系的強與弱，并說明是否適宜用線性回歸模型擬合與之間的關系.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）難度，區(qū)分度；（2）兩者之間相關性非常一般，不適宜用線性回歸模型擬合與之間的關系.【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得到驗班這10人的數(shù)學總成績?yōu)?60，普通班這10人的數(shù)學總成績?yōu)?00，直接根據(jù)計算公式計算即可求解。（2）將轉化成，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可計算得，結合已知條件可得：，問題得解?！驹斀狻拷猓海?）由莖葉圖知，實驗班這10人的數(shù)學總成績?yōu)?60，普通班這10人的數(shù)學總成績?yōu)?00，故這20人的數(shù)學平均成績?yōu)?，由此估計這4個班的總平均分為73，所以難度.由估計實驗班的平均分為86，由估

14、計普通班的平均分為70，所以區(qū)分度.（2）由于，.且，. .由于，故兩者之間相關性非常一般，不適宜用線性回歸模型擬合與之間的關系，即使用線性回歸模型來擬合，效果也不理想.【點睛】本題主要考查了莖葉圖知識，平均數(shù)計算，還考查了線性相關系數(shù)的計算及相關性判斷，考查計算能力及化簡能力，屬于中檔題。16已知橢圓：，為坐標原點，為橢圓的左焦點，離心率為，直線與橢圓相交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若是弦的中點，是橢圓上一點，求的面積最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)可求得，結合離心率為即可求得，問題得解。（2）設，.設直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，結合可求得，利用弦長公

15、式求得，再利用直線與橢圓的位置關系即可求出點到直線的距離的最大值，問題得解?！驹斀狻拷猓?，為橢圓的左焦點，設橢圓的焦距為，所以，離心率為，又，所以，橢圓的方程為：.（2）設，.是弦的中點，直線的斜率存在，設斜率為，則直線的方程為：，即.由聯(lián)立，整理得：，因為直線與橢圓相交，所以成立.，直線的方程為：， .要使的面積最大值，而是定值，需點到的距離最大即可.設與直線平行的直線方程為：，由方程組聯(lián)立，得，令，得.是橢圓上一點，點到的最大距離，即直線到直線的距離.而，此時 .因此，的面積最大值為.【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質，還考查了韋達定理及中點坐標公式、弦長公式，考查了方程思想、兩平行線間

16、方程的關系及計算能力，考查了直線與橢圓的位置關系及轉化思想，屬于難題。17已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）求出，對的正負分類討論即可。（2）利用（1）中的結論即可判斷在上單調遞減，在上單調遞增，對與區(qū)間的關系分類討論即可判斷在的單調性，從而根據(jù)零點個數(shù)列不等式組即可求解。【詳解】解：（1）的定義域為，.時，所以在上單調遞增；時，由得，得.即在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，若，即時，在上單調遞增

17、，在區(qū)間上無零點.若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，.在區(qū)間上恰有兩個零點，.若，即時，在上單調遞減，在區(qū)間上有一個零點.綜上，在區(qū)間上恰有兩個零點時的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，還考查了利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題，考查轉化能力及分類討論思想、計算能力，屬于難題。18選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，是曲線上任意一點，求點到曲線的距離的最大值.【答案】（1）的普通方程為：，的直

18、角坐標方程為：；（2）.【解析】（1）直接消參可得曲線的普通方程，整理可得，將代入即可求得曲線的直角坐標方程，問題得解。（2）利用伸縮變換求得曲線：，利用橢圓的參數(shù)方程可設，結合點到直線距離公式及輔助角公式即可解決問題?！驹斀狻拷猓海?），消參可得曲線的普通方程為：，又,代入可得：.故曲線的直角坐標方程為：.（2）曲線：，經(jīng)過伸縮變換得到曲線的方程為：，曲線的方程為：.設，根據(jù)點到直線的距離公式可得 （其中），點到曲線的距離的最大值為.【點睛】本題主要考查了化參數(shù)方程為普通方程及化極坐標方程為直角坐標方程知識，還考查了伸縮變換及橢圓的參數(shù)方程應用，考查點到直線距離公式、輔助角公式及計算能力，屬

19、于中檔題。19已知函數(shù)， .(1)當時，解不等式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由，得，兩邊平方，可解不等式。（2）由參變分離法可得，只需， .，分段討論或絕對值不等式法，可得最大值為1.試題解析：（）由，得， 兩邊平方，并整理得， 所以不等式的解集為. （）法一：由，得，即. 令，依題意可得. ， 當且僅當時，上述不等式的等號同時成立，所以.所以的取值范圍是. 法二：由，得，即. 令，依題意可得. ， 易得在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時， 取得最大值. 故的取值范圍是.三、填空題20已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為_【答案】【解析】分別求出及，即可求得，利用點斜式即可得到所求切線方程，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：，點化為：又，所以，所以所求切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為：，整理得：，所以曲線在點處的切線方程為：【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義及直線方程的點斜式，考查計算能力，屬于基礎題。21等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則_【答案】50【解析】由等比數(shù)列的性質可得：，由此求得，結合對數(shù)運算知識整理，問題得解?！驹斀狻坑傻缺葦?shù)列的性質可得：，所以，所以，又【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的下標和性質，還考查了