因式分解的補充

1、換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因式分解問題了解設(shè)x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說明本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)?/p>

2、2、分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說明對多項式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例3、分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解設(shè)x2+4x+8=y，則原式=y

3、2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式例4、分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)

4、(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說明本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體解法2原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令

5、u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2作業(yè)：分解因式：1、2、3、4、5、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)6、已知，求x+y的值。拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多

6、項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例1分解因式：x3-9x+8分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧解法1將常數(shù)項8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2將一次項-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3將三次項x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x

7、+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4添加兩項-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例2分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+

8、b2+1解(1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1

9、)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加

10、+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗作業(yè)：分解因式：1、2、3、4、雙十字相乘法 分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，

11、分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy

12、+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4)中有三個

13、字母，解法仍與前面的類似作業(yè)：分解因式：1、2、3、4、5、主元法所謂主元法分解因式就是在分解含多個字母的代數(shù)式時,選取其中一個字母為主元(未知數(shù)),將其它字母看成是常數(shù),把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列(或升冪排列)的多項式,再嘗試用公式法、配方法、分組法等分解因式的方法進(jìn)行分解。1.因式分解x2-y2+5x+3y+4按x的降冪排列，再用十字相乘法；2、(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.拆開原式,并按a的降冪排列得：(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2)=(a+c)(b+c)(a+b)-【十字相乘法】對于低次因式分解，主元法與十字相乘法的配合是卓有成效的。3.因

14、式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會使原式極其煩瑣，而以x為主元的話，原式的難度就大大降低了。原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y-【主元法】=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【十字相乘法】高難度的主元法例用1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz分析：本題屬于高難度因式分解中的中檔題，如果不假思索就上別的方法，就會處處碰壁。1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+3

15、2yz-【主元法】這樣本題的條理就清晰多了，現(xiàn)拋開x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz,這是一個2元三次因式分解，難度簡單多了。原式=6y3-9zy2-(28y2z-32yz2-15z3)-【拆項法】=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)再代入原題目，接下來的工作就簡單了。由于首項x系數(shù)為2，所以本題難度綜合來講不是太難，算出系數(shù)2是與(y-5z)結(jié)合的。所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)-【拆項法及十字相乘法】待定系數(shù)法 將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法例1分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和xyn的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決解設(shè)x