二次函數(shù)例題

1、（2012恩施州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFBD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點(diǎn)，求APC的面積的最大值分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N，當(dāng)M（3

2、，m）在直線DN上時，MN+MD的值最??；（3）需要分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3）和當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x1），然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）方法一：過點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖1設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段PQ=x2+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知SAPC=（x）2+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知APC的面積的最大值；方法二：過點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，

3、如圖2設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x）2+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知APC的面積的最大值；解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得， 解得，故拋物線為y=x2+2x+3又設(shè)直線為y=kx+n過點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得， 解得故直線AC為y=x+1；（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N，則N（6， 3），由（1）得D（1，4），故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=x+，當(dāng)M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，則m=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（

4、1，2）點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），F(xiàn)在拋物線上， x+3=x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去）E（0，1）；當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x1）由F在拋物線上 x1=x2+2x+3 解得x=或x=E（，）或（，）綜上，滿足條件的點(diǎn)E為E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：過點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖1設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）PQ=（x2+2x+3）（x1）=x2+x+2又SAPC=SAPQ+SCPQ=PQAG=（x2+x+2

5、）3=（x）2+面積的最大值為方法二：過點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖2，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）33=x2+x+3 =（x）2+APC的面積的最大值為例2：【2011 浙江杭州】2011年在國家央行加息的壓力下，某公司決定研制一種新型節(jié)能產(chǎn)品并加以銷售，現(xiàn)準(zhǔn)備在一線城市和二線城市兩個不同地方按不同銷售方案進(jìn)行銷售，以便開拓市場 若只在一線城市銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為y=x150， 成本為20

6、元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為（元）（利潤=銷售額成本廣告費(fèi)） 若只在二線城市銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為 常數(shù)，10a40），當(dāng)月銷量為x（件）時，每月還需繳納x2元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為（元）（利潤=銷售額成本附加費(fèi)） （1）當(dāng)x=1000時，y=元/件，w一線=元； （2）分別求出，與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）； （3）當(dāng)x為何值時，在一線城市銷售的月利潤最大？若在二線城市銷售月利潤的最大值與在一線城市銷售月利潤的最大值相同，求a的值； （4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請你通過分析幫公司決

7、策，選擇在二線城市還是在一線城市銷售才能使所獲月利潤較大？解：（1）14057500； （2）w一線=x（y-20）-62500= x2130 x， W二線= x2（150）x（3）當(dāng)x=6500時，w一線最大=360000； 由題意得， 解得a1=30，a2=270（不合題意，舍去）所以a=30（4）當(dāng)x=5000時，w一線=337500，w二線= 若w一線w二線，則a32.5； 若w一線=w二線，則a=32.5； 若w一線w二線，則a32.5 所以，當(dāng)10a32.5時，選擇在二線銷售； 當(dāng)a=32.5時，在一線和二線銷售都一樣； 當(dāng)32.5a40時，選擇在一線銷售例3：（2011山東日照）

8、某商業(yè)集團(tuán)新進(jìn)了40臺空調(diào)機(jī)，60臺電冰箱，計劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店。兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：空調(diào)機(jī)電冰箱甲連鎖店200170乙連鎖店160150設(shè)集團(tuán)調(diào)配給甲連鎖店x臺空調(diào)機(jī)，集團(tuán)賣出這100臺電器的總利潤為y（元）（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（2）為了促銷，集團(tuán)決定僅對甲連鎖店的空調(diào)機(jī)每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調(diào)機(jī)的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團(tuán)應(yīng)該如何設(shè)計調(diào)配方案，使總利潤達(dá)到最大？解：（1）根據(jù)題意知，調(diào)配給甲連鎖店電冰箱（70-x）臺，調(diào)

9、配給乙連鎖店空調(diào)機(jī)（40-x）臺，電冰箱為60-（70-x）=（x-10）臺，則y=200 x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）， 即y=20 x+16800 10 x40y=20 x+16800（10 x40）；（2）按題意知：y=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），即y=（20-a）x+16800200-a170， a30當(dāng)0a20時，20-a0，函數(shù)y隨x的增大而增大，故當(dāng)x=40時，總利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機(jī)40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調(diào)0臺，電冰箱30臺；當(dāng)a=20時，x的取值在10 x40內(nèi)的所有方案利

10、潤相同； 當(dāng)20a30時，20-a0，函數(shù)y隨x的增大而減小，故當(dāng)x=10時，總利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機(jī)10臺，電冰箱60臺，乙連鎖店空調(diào)30臺，電冰箱0臺2.如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面一米的A處飛出，運(yùn)動員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面4米高，球落地后又一次彈起。據(jù)試驗(yàn)，足球在草坪上彈起的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半。（1） 求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式。（2） 足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米？（取43=7）。（3） 運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米？解：（1）如

11、圖，設(shè)第一次落地時，拋物線的表達(dá)式為由已知：當(dāng)時即表達(dá)式為（或）（2）令（舍去）足球第一次落地距守門員約13米（3）解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為根據(jù)題意：（即相當(dāng)于將拋物線向下平移了2個單位） 解得（米）解法二：令 解得（舍），點(diǎn)坐標(biāo)為（13，0）設(shè)拋物線為將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：解得：（舍去），令（舍去），（米）解法三：由解法二知， 所以所以答：他應(yīng)再向前跑17米 3.某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45（1）求一次函

12、數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍 解：（1）由題意可得55 = k*65+b 解得k=-1，45 = k*75+b b=120所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120（2）W=（x-60）（-x+120）=-x2+180 x-7200=-（x-90）2+900，拋物線的開口向下， 當(dāng)x90時，W隨x的增大而增大，而銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，即x-606045%，60 x87，當(dāng)x=87時，W=-（8

13、7-90）2+900=891當(dāng)銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元（3）由W500，得500-x2+180 x-7200，整理得，x2-180 x+77000，而方程x2-180 x+7700=0的解為 x1=70，x2=110即x1=70，x2=110時利潤為500元，而函數(shù)y=-x2+180 x-7200的開口向下，所以要使該商場獲得利潤不低于500元，銷售單價應(yīng)在70元到110元之間，而60元/件x87元/件，所以，銷售單價x的范圍是70 x87例1：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三點(diǎn)過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l在

14、拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線l于點(diǎn)Q連接AP（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、Q三點(diǎn)構(gòu)成的 HYPERLINK /tquestion/qlist_1002000100020003.html t _blank 三角形與AOC相似？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸的右側(cè)若將APQ沿AP對折，點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M求當(dāng)點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時直線AP的解析式解：（1）由題意得，4=c 解得a=-1 16a+4b+c=0 b=3 a-b+c=0 c=4 拋物線的解析式 y= -

15、x2+3x+4（2）過點(diǎn)M作x軸的垂線交l于E，交另一條直線于F， 1）若PQAAOC，則AQ/QP=OC/AO 即x/ x2-3x=1/4 或- x/ x2-3x=1/4 解得x=7； x=-1 2）若AQPAOC，則AQ/QP=AO/OC 即x/ x2-3x=4/1 或-x/ x2-3x=4/1 解得x=13/4 x=11/4點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，-24)，或 (-1，0)或 (13/4,51/16)或(11/4,75/16)(3)若點(diǎn)M在X軸上設(shè)點(diǎn)Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），則PQ=x2-3x=PM， AEMMFP則 AM/ME=MP/PF ME=OA=4，AM=AQ=x，PM

16、=PQ= x2-3x， X/4= x2-3x/PF 解得：PF=4x-12， OM=（4x-12）-x=3x-12，RtAOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2， （3x-12）2+42=x2， 解得x1=4，x2=5， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（5，-6） 此時y= - x+4 或y= - 2x+4 若點(diǎn)M在X軸上則易證AQPM為正方形 AQ=PQ即x= -x2+3x 解得x=2， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6） 此時y= x+4 例:2：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0) ，B(2,0) ，C(0,-2) ，直線 x=m（ m2）與 x軸交于點(diǎn)D （1）求二

17、次函數(shù)的解析式； HYPERLINK /showpic.html l blogid=4ea4c0a00100viyb&url=/orignal/4ea4c0a0gb5fa5e181110 t _blank （2）在直線x=m（m2 ）上有一點(diǎn)E （點(diǎn)E 在第四象限），使得E,D,B 為頂點(diǎn)的三角形與以A,O,C 為頂點(diǎn)的三角形相似，求 E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m 的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F ，使得四邊形ABEF 為平行四邊形？若存在，請求出m 的值及四邊形 ABEF的面積；若不存在，請說明理由解：（1）二次函數(shù)yaxbxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C

18、（0，2） abc0 解得a1， 4a2bc0 b3， c2 c2二次函數(shù)的解析式y(tǒng)x 3x2（2）當(dāng)EDBAOC時，有AO/EDCO/BD或AO/BDCO/EDAO1，CO2，BDm2當(dāng)AO/EDCO/BD時，得1/ED2/(m2)， ED(m2)/2點(diǎn)E在第四象限， E1（m，()/2）當(dāng)AO/BDCO/ED時，得1/(m2)2/ED， ED2m4點(diǎn)E在第四象限， E2（m，42m）（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則EFAB1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m1當(dāng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（m，(2m)/2）時， 點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（m1，(2m)/2）點(diǎn)F1在拋物線的圖象上， (2m)/2(m1)3(m1)22m 11m140， 解得m17/2，m22（不合題意，舍去）F1（7/2，3/4） 此時SABEF 13/43/4當(dāng)點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（m，42m）時， 點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（m1，42m）點(diǎn)F2在拋物線的圖象上， 42m(m1) 3(m1)2m 7m100， 解得m15，m22（不合題意，舍去）F2（4，6） 此時SABEF 1666.（2012涼山州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并