2022屆福建省柘榮、寧德高中重點(diǎn)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在正方體中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，給出下列命題：；平面；和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D32已知a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“

2、”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（ ）A85B84C57D564劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（ ）ABCD5設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存

3、在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（ ）AB2CD6已知，為兩條不同直線，為三個(gè)不同平面，下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確命題序號為( )ABCD7已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對于任意，滿足，則（ ）ABCD8執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（ ）ABCD9已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A1B2CD410已知盒中有3個(gè)紅球，3個(gè)黃球，3個(gè)白球，且每種顏色的三個(gè)球均按，編號，現(xiàn)從中摸出3個(gè)球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好不同時(shí)包含字母，的概率為（ ）ABCD11記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍( )ABCD12數(shù)列an，滿足對任

4、意的nN+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列an的前100項(xiàng)的和S100=( )A132B299C68D99二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足，則_.14已知，滿足約束條件，則的最小值為_15根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是_.16函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍18（12分）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3

5、y290相切（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線axy+50（a0）與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P（2，4），若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由19（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；（3）設(shè)，求證：.20（12分）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).（）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.（）求二面角的余弦值.21（12分）如圖，在平面四邊形中，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.22（10分）如圖，

6、平面四邊形中，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，.，所以，故正確.，不存在實(shí)數(shù)使，故不成立，故錯(cuò)誤.，故平面不成立，故錯(cuò)誤.，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故正確.綜上所述，正確的命題有個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算

7、求解能力，屬于中檔題.2D【解析】根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可【詳解】解：a，b，a，b，由ab，不一定有，與可能相交；反之，由，可得ab或a與b異面，a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“”的既不充分也不必要條件故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3A【解析】先求，再確定展開式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故，要求展開式中的有理項(xiàng)，則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：故選：A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.4A【解析】設(shè)圓的

8、半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.5A【解析】由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率【詳解】由題意，由雙曲線定義得，從而得，在中，由余弦定理得，化簡得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦

9、定理得出的齊次式6C【解析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，則，故正確；若，平面可能相交，故錯(cuò)誤；若，則可能平行，故錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.7D【解析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題8C【解析】由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算

10、并輸出變量的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，滿足條件，滿足條件，滿足條件，滿足條件，不滿足條件，輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡單題.9B【解析】因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于 半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請?jiān)诖溯斎朐斀猓?0B【解析】首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時(shí)包含字母，”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母，”， 記事件“恰好不同時(shí)包含字母，”為，利用對立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從9個(gè)球中摸出3個(gè)球，則基本事件總數(shù)為（個(gè)），則事件“恰好不同時(shí)包含字

11、母，”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母，”記事件“恰好不同時(shí)包含字母，”為，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了排列組合的知識，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題11D【解析】做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn)，則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知 方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，即方程，在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系

12、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想，屬于中檔題.12B【解析】由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【詳解】對任意的，均有為定值，故，是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時(shí)要注意的求解方法【詳解】，時(shí)，得，又，（）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件類比已知求的解題方法求解142【解析】作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處

13、時(shí)，取得最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.1555【解析】根據(jù)該For語句的功能，可得，可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能，可得則故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查For語句的功能，屬基礎(chǔ)題.16【解析】根據(jù)圖象利用，先求出的值，結(jié)合求出，然后利用周期公式進(jìn)行求解即可【詳解】解：由，得，則，即，則函數(shù)的最小正周期，故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)

14、列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力18（2）（x2）2+y22（2）（）（3）存在，【解析】（2）設(shè)圓心為M（m，0），根據(jù)相切得到，計(jì)算得到答案.（2）把直線axy+50，代入圓的方程，計(jì)算4（5a2）24（a2+2）0得到答案.（3）l的方程為，即x+ay+24a0，過點(diǎn)M（2，0），計(jì)算得到答案.【詳解】（2）設(shè)圓心為M（m，0）（mZ）由

15、于圓與直線4x+3y290相切，且半徑為5，所以 ，即|4m29|2因?yàn)閙為整數(shù)，故m2故所求圓的方程為（x2）2+y22（2）把直線axy+50，即yax+5，代入圓的方程，消去y，整理得（a2+2）x2+2（5a2）x+20，由于直線axy+50交圓于A，B兩點(diǎn)，故4（5a2）24（a2+2）0，即22a25a0，由于a0，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，即x+ay+24a0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（2，0）必在l上，所以2+0+24a0，解得由于，故存在實(shí)數(shù)使得過點(diǎn)P（2，4）的直線l垂直平分弦AB.【點(diǎn)睛】本題考查了

16、直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19（1） （2）為減函數(shù)，為增函數(shù). （3）證明見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解）；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，不等式，遞增得()，,先證，然后同樣放縮得出結(jié)論【詳解】解：（1）對求導(dǎo)，得.因此.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導(dǎo)得，因此為增函數(shù)：故是唯一解.（2）由（1）可知，因?yàn)椋詾闇p函數(shù).因?yàn)?，所以為增函?shù).（3）證明：由，易得.由（2）可知，在上為減函數(shù).因

17、此，當(dāng)時(shí)，即.令，得，即.因此，當(dāng)時(shí)，.所以成立.下面證明：.由（2）可知，在上為增函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，即.因此，即.令，得，即.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，所?所以，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：，這是最關(guān)鍵的一步然后一步一步放縮即可證明本題屬于困難題20（）存在點(diǎn)滿足題意，且，證明詳見解析；（）.【解析】（）可考慮采用補(bǔ)形法，取的中點(diǎn)為，連接，可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)，先證平面，即，若能

18、證明，則可得證，可通過我們反推出點(diǎn)對應(yīng)位置應(yīng)在處，進(jìn)而得證；（）采用建系法，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對應(yīng)法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；【詳解】（）存在點(diǎn)滿足題意，且.證明如下：取的中點(diǎn)為，連接.則，所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以.在平面內(nèi)，所以，從而可得.又因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.易知，所以，.設(shè)平面的法向量為，則有取，得.同理可求得平面的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角，所以其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題21（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)式可求得，結(jié)合正弦和角公式求得，即可求得，進(jìn)而由三角函數(shù)（2）設(shè)根據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角