第04章 平面一般力系

1、第四章 平面一般力系主講人：李錦學(xué)主講人：李錦學(xué) 如打乒乓球，若球拍對(duì)球作用的力其作用線通過球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼?dòng)而不旋轉(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。cFcFcm(a)(b)F平移平移定理定理基本力系簡化 4.1 4.1 平面一般力的簡化平面一般力的簡化 4.1.1 平面一般力系向一點(diǎn)簡化平面一般力系向一點(diǎn)簡化一、簡化方法一、簡化方法一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）匯交力系匯交力系+力偶系力偶系向一點(diǎn)簡化向一點(diǎn)簡化（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）OiOiRMMMFF二、主矢與主矩二、主矢與主矩1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和主矢

2、：指原平面一般力系各力的矢量和 。iF方向方向：大小大?。鹤⒁庾⒁猓阂蛑魇傅扔谠ο蹈髁Φ氖噶亢鸵蛑魇傅扔谠ο蹈髁Φ氖噶亢?所所以它與簡化中心的位置無關(guān)。以它與簡化中心的位置無關(guān)。yRyFFxRxFFRF主矢22)()(yxRFFF),cos(,),cos(RyRRxRFFjFFFiF轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向 + 三、結(jié)論三、結(jié)論平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化 ，一般可以得到，一般可以得到一力和一力偶一力和一力偶 ；該力作用于簡化中心該力作用于簡化中心 ，其大小及方向等于該力系的主矢，其大小及方向等于該力系的主矢 ，該力偶之，該力偶之矩等于該力系對(duì)于簡化中心的主矩矩等于該力

3、系對(duì)于簡化中心的主矩 。主矩主矩 MO大小大?。赫?、負(fù)規(guī)定正、負(fù)規(guī)定 ：因主矩等于各力對(duì)簡化中心之矩的代數(shù)和，因主矩等于各力對(duì)簡化中心之矩的代數(shù)和，所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡化中心有關(guān)。所以它的大小和轉(zhuǎn)向一般與簡化中心有關(guān)。注意注意：)(iOOiOFMMM二、幾點(diǎn)說明：二、幾點(diǎn)說明：1 1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。置無關(guān)。2 2、平面任意力系的主矩與簡化中心、平面任意力系的主矩與簡化中心O O 的位置有關(guān)。因的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡化中心。此，在說到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡化中心。四、固定端（

4、插入端）約束四、固定端（插入端）約束在工程中常見的有：雨 搭車 刀固定端（插入端）約束的構(gòu)造固定端（插入端）約束的構(gòu)造認(rèn)為認(rèn)為Fi這群力在同一這群力在同一 平面內(nèi)平面內(nèi); 約束反力約束反力 YA, XA限制物體平動(dòng)限制物體平動(dòng), MA為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。 將將Fi向向A點(diǎn)簡化得一點(diǎn)簡化得一 力和一力偶力和一力偶;FA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力FAx, FAy表示表示; FAx, FAy, MA為固定端為固定端 約束反力約束反力;4.1.2 4.1.2 力的平移定理力的平移定理定理定理:作用于剛體上一點(diǎn)的力可以平移到剛體上另一作用于剛體上一點(diǎn)的力可以平移到剛體上另一 點(diǎn)點(diǎn),

5、,不改變力的大小和方向；同時(shí)附加一個(gè)力偶不改變力的大小和方向；同時(shí)附加一個(gè)力偶, , 附加力偶的力偶矩等原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩。附加力偶的力偶矩等原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩。BFAdBFAFFBAFM)(F)(F,FF,)(M,F FBMFd M 幾個(gè)性質(zhì)：幾個(gè)性質(zhì)：1 1、當(dāng)力平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的、當(dāng)力平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定大小與正負(fù)一般要隨指定O O點(diǎn)的位置的不同而不同。點(diǎn)的位置的不同而不同。2 2、力平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一、力平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，總可以歸納

6、為一個(gè)和原力大小相等的平行力。個(gè)力偶，總可以歸納為一個(gè)和原力大小相等的平行力。3 3、力的平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個(gè)平面共點(diǎn)、力的平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個(gè)平面共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)。力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)。OARFOARF4.1.3 平面任意力系的簡化結(jié)果分析平面任意力系的簡化結(jié)果分析0M0.FOR ，1(力偶力偶，與簡化中心無關(guān)，與簡化中心無關(guān))0M0FOR ，2.(合力合力，作用線過簡化中心，作用線過簡化中心)0M0FOR ，3.(最終簡化結(jié)果為最終簡化結(jié)果為合力合力)0M0F.OR ，4(平衡平衡)可能存在以下四種情況：可能存在以下四種情況：RF

7、OMOAOMRFAMOM 集中力或集中荷載：集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個(gè)構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認(rèn)為集中作用在一點(diǎn)上。例如，道路給輪子的力等。幾種分布荷載幾種分布荷載（1）體分布荷載：荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)上。 例如，構(gòu)件的自重等。 （2）面分布荷載：分布在構(gòu)件表面上的荷載（力）。例如， 風(fēng)壓力、雪壓力等。（3）線分布荷載：荷載分布在狹長范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線 分布。補(bǔ)充：補(bǔ)充：分布荷載分布荷載（1）集中荷載的單位，即力的單位為（N,kN)。荷載的單位荷載的單位分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。（2）體分布荷載的單位：3/ mN（3）面分布荷載的單位：2/mN

8、（4）線分布荷載的單位：mN /如圖所示的均布荷載，其合力為：,6 .1741691.10kNlqF作用線則通過梁的中點(diǎn)。（1）均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。）均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。分布荷載的計(jì)算方法分布荷載的計(jì)算方法Fq=10.91kN/m16 mAFBF 如圖所示壩體所受的水壓力為非均布荷載。（2）非均布荷載：荷載集度不是常數(shù)的荷載。）非均布荷載：荷載集度不是常數(shù)的荷載。yABCyq【解】【解】取坐標(biāo)系如圖所示。在 x 處取一微段，其集度為Lxqq0微段上的荷載為：求圖示梁上分布荷載的合力。例例ABxxxylxcF0qxxLqxqF0以A為簡化中心，有xxxlqFMMlqxdx

9、lqxxlqFFFFxAAlxyyx)()(2)(00000000limlim320020lqdxxlqlABxxxylxcF0q 由此可見，分布荷由此可見，分布荷載合力的大小等于荷載載合力的大小等于荷載集度圖的面積。合力作集度圖的面積。合力作用線的位置為：用線的位置為：llqlqFMxyAC3223020ABxxxylxcF0q如圖所示，已知水壩的壩前水深h=10m，求1m長的壩面上水壓力的合力之大小和作用線的位置。例AByCdhqdy1myqF圖3-15 取1m 長的壩考慮時(shí)，作用于壩面的水壓力可以簡化為沿壩面中心線平行分布的線荷載。 【解】【解】在深度為y處，水的壓強(qiáng)為AByCdhqdy

10、1myqF)(mkNyF)()()1 (mkNhqmkNhdydyhqhy 該分布荷載是三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線在距水面2/3處。mhdkNqhF67. 610323249110)1081. 9 (2121 4.2 4.2 平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件所以平面任意力系平衡的充要條件為平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： 一、平衡的必要與充分條件一、平衡的必要與充分條件平面一般平面一般力系平衡力系平衡00ORMF必要充分RF0)()(22yxRFFF0)(iOOFMM二二 、平衡方程、平衡方程000

11、(F)MFFOyx二矩式二矩式三矩式三矩式000(F)M(F)MFBAx000(F)M(F)M(F)MCBA一般式一般式xFROyOM條件：條件：x 軸不軸不 垂垂直于直于 AB連線連線條件：條件：A,B,C不不在同一直線上在同一直線上以上每式中只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解出三個(gè)以上每式中只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能解出三個(gè)未知量。未知量。0, 0AxxFF由022; 0)(aPMaaqaFFMBA0yF0PqaFFBAy例例 已知：P=20kN, M=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。解 研究AB梁； 受力如圖； 取Axy直角坐標(biāo)； 列平衡方程求解： )k

12、N(122028 .01628 .02022PamqaFB)kN(24128 .02020BAyRqaPF解得： 例例 已知：q=2 kN m ，P=2 kN ，l=1.5 m ，a=45 求：固定端A處的反力。 解： 研究 AB 梁； 受力分析：P ,Q ,Q=q l ,FAx ,FAy ,MA ； 取Axy坐標(biāo)軸； 列平衡方程求解：0cos, 0aPFFAxx0sin, 0aPQFFAyy0sin2, 0)(lPlQMFMAAa 將 Q = q l= 3 kN 及 P , a 之值代入相應(yīng)方程，解得：mkNMkNFkNFAAyAx37. 4,41. 4,41. 1 例例 已知：旋轉(zhuǎn)式起重機(jī)

13、，自重W=10 kN，被起吊重物重Q=40 kN 。求：止推軸承A 和徑向軸承B 的約束反力。 解： 研究起重機(jī)； 受力分析：W , Q ,XA ,YA ,NB ； 取 Axy直角坐標(biāo)軸； 列平衡方程求解：05 . 35 . 15, 0)(05 . 35 . 15, 0)(0, 0QWFFMQWNFMQWFFAxBBAAyykNNkNFkNFBAyAx31;50;31解得：圖示一塔示起重機(jī)。機(jī)架m1=50t，重心在o點(diǎn)。已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量m2=25t，欲使起重機(jī)在空載與滿載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量m3 應(yīng)如何？cbxyFRxaLW1圖3-7 例題3-1圖o例例圖中 a=3m,b=1.5

14、m,c=6m, l=10m,W=m2g, =m3gW1=m1g。QPF 的方向鉛垂向下?！窘狻俊窘狻繖C(jī)架重量、起吊重量及平衡錘重量分別設(shè)為W1 、 W、 Q。這是一個(gè)平面一般力系的特例平面平行力系。取坐標(biāo)如圖，可知合力FR的投影為cbxyFRxaLW1ogmmmFgmgmgmFFFFRyRyxRx)(, 0321321式中x隨 m2、m3 而變，其他各量都是不變的。 合力的作用線與x 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為x，則由合力矩定理得即cbxyFRxaLW1o(a)()(FMFMARA321321321)()()()(mmmcmlambamxcgmlagmbagmxFR欲使起重機(jī)不翻倒tcbamm5 .3

15、76) 5 . 13 (50)(13即得應(yīng)有應(yīng)有 ax0(1) 空載時(shí)， =0，w=0， x0，由( )式得2ma0)(31cmbam欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有為了保證安全，可取m3 =36.537t。（2） 滿載時(shí)， m2 =25t，x 由( ) 式得aataclmbmmamcmlmbmmmmacmlambam1 .363610255 . 150)()()(2133321321321tmt5 .371 .363例例 4.34.3 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 靜定與靜不定靜定與靜不定外力外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。 物體系統(tǒng)（物系物系）

16、：由若干個(gè)物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。 物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 解物系問題的一般方法解物系問題的一般方法 由整體由整體 局部局部 或或 由局部由局部 整體整體 物系平衡的特點(diǎn)物系平衡的特點(diǎn) 物系平衡物系平衡 物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列3 3個(gè)平衡方個(gè)平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可列程，整個(gè)系統(tǒng)可列3 3n個(gè)方程（設(shè)物系中有個(gè)方程（設(shè)物系中有n個(gè)物體個(gè)物體, ,每個(gè)物體都每個(gè)物體都受有平面一般力系作用）受有平面一般力系作用） 由由n個(gè)剛體組成的物系，其中個(gè)剛體組成的物系，其中n1個(gè)剛體為二力體或受有個(gè)剛體為二力體或受有平平面力偶系作用，面力偶系作用，n

17、2個(gè)剛體受有平面匯交力系或平行力系作用，個(gè)剛體受有平面匯交力系或平行力系作用，n3個(gè)剛體受有平面一般力系作用，且：個(gè)剛體受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，則整個(gè)系統(tǒng)，則整個(gè)系統(tǒng)可列出可列出m個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解，可求解m個(gè)未個(gè)未知量。知量。 例例 已知：三鉸剛架受力及尺寸如圖。求：固定鉸支座 A B 的反力和中間鉸C 處的壓力。 解：解： 研究剛架系統(tǒng)整體 剛架受力分析如圖，列 平衡方程求解：0)(, 0)(PhalGGalYFMBA0)(, 0)(GaalGPhlYFMAB由 、 解得：)(1; )(1PhGll

18、YPhGllYAB0,0PFFFBxAxi 再研究CB 部分受力分析如圖，列平衡方程求解：022, 0)(alGHFlFFMBxByC0, 0BxCxxFFF0, 0GFFFCyByy解得：)2(21PhGaHFBxlPhYPhGaHFCCx; )2(21再將 FBx 之值代入式，得：)22(21PHPhGaHFAx例例 已知：OA=R, AB= l , 當(dāng)OA水平時(shí)，沖壓力為P時(shí)，求：M=？O點(diǎn)的約束反力？AB桿內(nèi)力？沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？0XF由0sinaBFN0yF0cosaBFPaagPNPFB t ,cos解解：研究B0)(FMO0cosMRFAa0 xF0sinaAOxSF0yF0cosOyAFFaPRM PFOya tgPFOx負(fù)號(hào)表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反再研究輪 例例 已知：P =20kN，q = 5kNm