無窮遞縮等比數(shù)列的應(yīng)用

1、授課人：李振華（2005-05）問題提出：我們先來看一篇閱讀材料問題提出：我們先來看一篇閱讀材料一位古希臘學(xué)者芝諾（一位古希臘學(xué)者芝諾（Zenon，公元前，公元前496前前429）曾提出一個著名的）曾提出一個著名的“追龜追龜”詭辯題。大家詭辯題。大家知道，烏龜素以動作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙。芝諾斷言：知道，烏龜素以動作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙。芝諾斷言：阿基里斯與龜賽跑，將永遠追不上烏龜！阿基里斯與龜賽跑，將永遠追不上烏龜！其理由是：如圖所示，假定阿基里斯現(xiàn)在其理由是：如圖所示，假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在處，烏龜現(xiàn)在T處。為

2、了趕上烏龜，阿基里斯先跑處。為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點到烏龜?shù)某霭l(fā)點T，當他到達，當他到達T點時，烏龜已前進到點時，烏龜已前進到T1點；當他到達點；當他到達T1點時，烏龜又已前進到點時，烏龜又已前進到T2點點，如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方，烏龜已又向前爬動了一段距離。因此，阿，如此等等。當阿基里斯到達烏龜前次到達過的地方，烏龜已又向前爬動了一段距離。因此，阿基里斯是永遠追不上烏龜?shù)?！基里斯是永遠追不上烏龜?shù)?！ATTT1T1T2 讓我們再看一看烏龜所走過的路程讓我們再看一看烏龜所走過的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前面設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前?/p>

3、100米。當阿基里斯跑了米。當阿基里斯跑了100米時，龜已前進了米時，龜已前進了10米；當阿基里斯再追米；當阿基里斯再追10米時，龜又前米時，龜又前進了進了1米，阿再追米，阿再追1米，龜又進了米，龜又進了0.1米米 所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為米）(9100010111001lim1qaSnn右端顯然為一無窮遞縮等比數(shù)列的和，根據(jù)以前學(xué)過的公式及極限定義有右端顯然為一無窮遞縮等比數(shù)列的和，根據(jù)以前學(xué)過的公式及極限定義有 所以，阿基里斯只要堅持不到所以，阿基里斯只要堅持不到112米的路程就可以追上烏龜！米的路程就可以追上烏龜！S=100110111

4、0100limnnS牛刀小試之熟練公式篇牛刀小試之熟練公式篇：如何把如何把0. 化成分數(shù)形式？化成分數(shù)形式？30. =0.3+0.03+0.003+ = =31 . 013 . 031分析：實戰(zhàn)演練篇：實戰(zhàn)演練篇：解：正方形的面積組成一個無窮遞縮等比數(shù)列，首項為a1= a2，由于相鄰的兩個正方形中小正方形與大正方形的邊長比為 ,212122122111aaqa所以面積比即公比q= ，因此所有正方形的面積之和為S=BaDCA1（1） 例例1 1、在邊長為a的正方形ABCD內(nèi)依次作內(nèi)接正方形AiBiCiDi（=1，2，3 ）如圖1（1）使內(nèi)接正方形的四個頂點恰為相鄰前一個正方形邊的中點，求所有正方

5、形的面積之和； 變式變式：如果使內(nèi)接正方形與相鄰前一正方形的一邊的夾角為 ，如圖1（2）求所有正方形的面積之和。DCBAA1B1C1D11（2）分析： 正方形的面積仍然組成一個無窮遞縮等比數(shù)列，首項為a1= a2, 先求相鄰的兩個正方形中小正方形與大正方形的邊長比如圖令A(yù)1D1=x,則2sin11)sincos1(22sin)2sin1 (121aqaSsincosxxa所以邊長比為sincos1ax面積比即公比q為從而所有正方形的面積和為212)21(212)41(經(jīng)驗積累：經(jīng)驗積累：與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出

6、首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。解：設(shè)第解：設(shè)第n次被剪去的半圓面積為次被剪去的半圓面積為an（n=1，2，3 ）,則則a1= a2=a3=2)81(2114且面積公比為 ， 它們組成一個無窮遞縮等比數(shù)列它們組成一個無窮遞縮等比數(shù)列, 故所有這些被剪掉部分的面積和為故所有這些被剪掉部分的面積和為6411111aqaS則lim.2263nnnPSS則 的面積為例2.如圖所示，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為 的半圓后得圖形P1，然后依次剪去更小半圓（其半徑為前一被剪掉半圓的半徑一半）得圖形 記被剪剩

7、下的紙板Pn的面積為Sn，求 Sn。21l i mn 321,PPP，探索創(chuàng)新篇探索創(chuàng)新篇 如圖，封閉圖形P表示拋物線弧y=x2（ ）與x軸及直線x=2圍成的圖形,如何求封閉圖形的面積?20 xPAiBi分析：把區(qū)間 0,2n等分 ,分別過分點Ai(=1，2，3 n-1)作x軸的垂線,交拋物線于Bi,如圖作n-1個矩形。 我們可以先求：(1)求這n-1個矩形的面積和 ; 再求 (2)求1nS1limnnS) 1(43424142222222221nnnnnnSn.6) 12)(1(8) 1(321 8322223nnnnnn.44202,2,22222niBAniinBinAnniiii矩形的

8、長為），的坐標為（），則，的坐標為（于是則每個矩形的寬為等份均分為解：把.3861218limlim31nnnnSnnn）（封閉圖形的面積為小結(jié)：小結(jié)： 1 1、理解無窮遞縮等比數(shù)列（公比、理解無窮遞縮等比數(shù)列（公比|q|1)|q|1)，盡管項數(shù)無限，但它的，盡管項數(shù)無限，但它的和是一個確定的數(shù)和是一個確定的數(shù). . 2 2、與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出、與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出 首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。 一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時發(fā)現(xiàn)一個正三角形（邊長為一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時發(fā)現(xiàn)一個正三角形（邊長為1個單位）的軍事建筑物如圖（個單位）的軍事建筑物如圖（1），第二次觀測時如圖（），第二次觀測時如圖（2）發(fā)現(xiàn)它每）發(fā)現(xiàn)它每邊中央邊中央1/3處還有一個正三角形，第三次觀測時如圖（處還有一個正三角形，第三次觀測時如圖（3）還發(fā)現(xiàn)原先每）還發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央一小邊的中央1/3處又有一向外突出的正三角形處又有一向外突出的正三