高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法

1、導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,二、熱點(diǎn)題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。函數(shù)的最大值和最小值。1.f(x)X33x22在區(qū)間1,1上的最大值是222已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c=633函數(shù)y13xx有極小值i,極大值3題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1曲線y4xX3在點(diǎn)1,3處的切線方程是yX242若曲線f(x)xx在p點(diǎn)處的切線平行于直線3xy0，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)43若曲線yx的一條切線I與直線x4y4.求下列直線的方程：32(1

2、)曲線yXX1在p(-1,1)處的切線；解:(1)點(diǎn)P(1,1)在曲線yx3X21上，y/80垂直，則I的方程為4xy3°(2)曲線yx2過(guò)點(diǎn)p©,5)的切線；3x22xky/X13-21y/2xP(3,5)點(diǎn)，所以有別為yo5Xo1或xo5xo3，由聯(lián)立方程組得，yo1yo252xo2;當(dāng)切點(diǎn)為(5，25)時(shí)，切線斜率為k22xoy12(x1)或y2510(x5)，即y2x1或y10x252xok1，即切點(diǎn)為(1，1)時(shí)，切線斜率為1o；所以所求的切線有兩條，方程分所以切線方程為y1x1，即xy2°2(2)顯然點(diǎn)P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為A(Xo，y

3、o)，則y°x°又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以過(guò)A(Xo，yo)點(diǎn)的切線的斜率為k九xo2X0，又切線過(guò)A(Xo，yo)題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值321已知函數(shù)f(x)Xaxbxc,過(guò)曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1,f(1)的切線方程為y=3x+1(I)若函數(shù)f(x)在X2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù)yf(x)在3,1上的最大值；(川)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解.(1)由f(X)x3ax2bxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x22axb.過(guò)yf(x)上點(diǎn)P(1，f(1)的切線方程為:yf(i)f(1)(x1),即y(

4、abc1)(32ab)(x1).而過(guò)yf(x)上P1,f的切線方程為y3x1.32ab3即2ab0故ac3ac3.yf(x)在x2時(shí)有極值,故f(2)0,4a12由得a=2,b=4,c=5-f(x)x32x24x5.2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).3x2時(shí)，f當(dāng)2當(dāng)2x1時(shí),f(x)3(x)0.0；當(dāng)2f(x)極大9x3時(shí),f(x)0；f(2)13又f(1)4,f(x)在3,1上最大值是13。(3)y=f(x)在2,1上單調(diào)遞增，又2f(x)3x2axb，由知2a+b=0。0.bx當(dāng)61時(shí),f(x)minf(1)3bb0,b6;bx當(dāng)62時(shí),f(x)minf(2)122bb0,b

5、62_當(dāng)b1時(shí),f(x)min12bb20,則0b6.12綜上所述，參數(shù)叛b的取值范圍是【°)依題意2f(x)在2,1上恒有f(X)>0，即3xbxb2.已知三次函數(shù)f(x)x3ax?bxc在x1和x1時(shí)取極值，且f(2)4.求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間m3,n上的值域?yàn)?,16，試求m、n應(yīng)滿足的條件.2解：f(x)3x2axb，由題意得，1，1是3x22axb0的兩個(gè)根，解得，a0,b3.3再由f(2)4可得c2.f(X)X3x2.(2)f(x)3x233(x1)(x1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)

6、x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1上是增函數(shù);在區(qū)間hl上是減函數(shù)；在區(qū)間1,)上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4.函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位，向上平移4m個(gè)單位得到的,所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間3，nm上的值域?yàn)?4m，164m(m0).而f(3)2044m20，即m4.于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間3，n4上的值域?yàn)?0,0.令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知，1剟n42，即3剟n6.綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m4，且3剟n6.3.設(shè)函數(shù)f(x)x(

7、xa)(xb).(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)b=i時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(X)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).解：(1)f(x)3x22(ab)xab.由題意f'5,f(1)0，代入上式，解之得：a=i,b=i.(2)當(dāng)b=i時(shí)，令f(x)0得方程3x22(a1)xa0.因4(a2a1)0,故方程有兩個(gè)不同實(shí)根Xi,X2.不妨設(shè)Xix2，由f(X)3(xXi)(xX2)可判斷f(x)的符號(hào)如下：當(dāng)XXi時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)XiXX2時(shí)，f'(x)V0;當(dāng)XX2時(shí)，f'(

8、x)>0因此Xi是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=i時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象D)題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1322x2ax3axb,0a1.3(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值(2)若當(dāng)xa1,a2時(shí)，恒有1f(x)1a，試確定a的取值范圍f(x)4ax23a=(x3a)(xa)，令f(x)0得花a,X23ax(-m,a)a(a,3a)3a(3a,+7f(x)-0+0-f(x)極小Z極大f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增，在(-m,玄)和(3a,+8)上單調(diào)遞減Xa時(shí)，f極小(x).43ba3x3a時(shí)，

9、f極小(x)b(2)f(x)x24ax3a2.0a1,對(duì)稱軸x2aa1,列表如下:f(x)在a+1,a+2上單調(diào)遞減2fMax(a1)4a(a1)3a22a1min2(a2)4a(a22)3a4a4依題1f(x)1a1fMax1a1fmin1a即|2a1|a,|4a4|4a解得51，又oa1a的取值范圍是5,1)2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3與x=1時(shí)都取得極值(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對(duì)x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范圍。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b-2雯-篤+b=0由f(3)=93,f

10、(1)=3+2a+b=0得a=f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x2(,3)232(3,1)1(1,+)f(x)+00+f(x)極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(一，一3)與(1,+)，遞減區(qū)間是(一3,1)1222(2)f(x)=x32x2-2x+c,x1,2，當(dāng)x=-3時(shí)，f(x)=27+c為極大值，而f(2)=2+c,貝Uf(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)=2+c,解得c1或c2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1.已知平面向量a=(3,1).1.3vb=(2,2).(1)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和

11、t，使x=a+(t23)b,uvvvy=-ka+tb,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.vvvvvvvv解：(1)x丄yxy=0即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.V2vvv2整理后得-ka+t-k(t2-3)ab+(t2-3)b=0vvv2v2丄ab=0,a=4,b=1，二上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)1(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)33于是f(t)-4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f'(t)-0.解得t仁-1

12、,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f'、f(t)的變化情況如下表：t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+m)f'+0-0+F(t)/極大值極小值/丄當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.1當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：11(1)當(dāng)k>2或kv2時(shí)，方程f(t)k=0有且只有一解;11當(dāng)k=2或k=2時(shí)，方程f(t)k=0有兩解；11當(dāng)2vkv2時(shí)，方程f(t)k=0有三解.題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合31設(shè)a°,函數(shù)f(x)Xax在1，)上是單調(diào)函數(shù).(1) 求實(shí)數(shù)a的取值范

13、圍；(2) 設(shè)x°>1,f(x)>1,且f(f(x°)x°，求證：f(x°)x°.22解:(1)yf(x)3xa，若f(x)在1，上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y°，即a3x-這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f(X)在1，上不可能是單調(diào)遞減函數(shù)若f(x)在1，上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a<3x2,由于x%，故3x3.從而°<aw3.(2)方法1、可知f(X)在1上只能為單調(diào)增函數(shù).若1<x°f(x°),則f(X°)f(f(x°)x°矛盾，若1wf(x°)x&#

14、176;,則f(f(x°)f(x°),即x°f(x°)矛盾，故只有f(x°)x°成立.方法2:設(shè)f(x°)u,則f(u)x°3x°3ax°u,uaux°,兩式相減得(x；u3)a(x°u)ux°(x°u)(x：x°uu21a)°,x°>1,u>1,2x°x°u2u3,又°a32x°x°u2u1a°2已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)心)(x23)(xa)(1)若函數(shù)f(x

15、)的圖象上有與X軸平行的切線，求a的取值范圍(2)若f'(1)0,(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(n)證明對(duì)任意的(1,0)，不等式If(xi)f(x2)I16恒成立Qf(x)x3解：ax2|af'(x)3x2函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f'(x)0有實(shí)數(shù)解4a2a2，所以(a的取值范圍是f'(1)02af'(x)3x23123(x2)(x1)f'(x)0,x(x)0,1f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是1),(12,);單調(diào)減區(qū)間為1,f(易知f(x)的最大值為1)25f(x)的極小值為f(1)4916，又f(0)7Mf(x)在1，0上的最大值

16、2749m8，最小值16對(duì)任意x2(1,0)，恒有|f(x-i)f(x2)|Mm2784916516解：設(shè)001為Xm，則1x4題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用1.請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)0到底面中心精品文檔由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為:.32(x1)282xx,(單位：m)故底面正六邊形的面積為:3朽82xx2)2=_2_(82xx2）,（單位:m2帳篷的體積為:挈(82xx2)U(x1)133(16312xx)(單位:求導(dǎo)得V（x）仝(1223x2)。令V'(x)解得x2（不合題意，舍去），x2

17、,2時(shí)，V'(x)0，V（x）為增函數(shù);4時(shí)，V'(x)0，V（x）為減函數(shù)。2時(shí)，V（x）最大。i答：當(dāng)001為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為16、.3m32統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/1yx3X8（0x120）.小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：12800080已知甲、乙兩地相距100千米。（I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：（I）當(dāng)x40時(shí),100汽車從甲地到乙地行駛了402.5小時(shí),要耗沒(méi)（12800040

18、3408)2.517.580（升）。（II）當(dāng)速度為X千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100小時(shí)，設(shè)耗油量為h（x）升,依題意得(1x312800038嚴(yán)x1280x215(0x120),4xh'(x)面33800x80x2640x2(0120).800x80x精品文檔令h'(x)0,得x80.當(dāng)x(0,80)時(shí)，h'(x)0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120)時(shí)，h'(x)0,h(x)是增函數(shù)。當(dāng)x80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。題型九：導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合a1.設(shè)平面向量(i'于)若存在不同時(shí)為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)s、t及實(shí)數(shù)k，使2xa(