教育學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程

1、1會(huì)計(jì)學(xué)教育學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程教育學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程、外延的擴(kuò)張性、表征的多樣性概念性、過程、模型的現(xiàn)實(shí)性數(shù)概念的特點(diǎn)4321、模型的現(xiàn)實(shí)性1概念性、過程2圖形中整體的一部分子集集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點(diǎn)比 作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括： 萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分?jǐn)?shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分?jǐn)?shù)作為“算子”的意義，把分?jǐn)?shù)看做是一個(gè)變換，給出了各種意義之間的關(guān)系（下頁(yè)）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結(jié)構(gòu)是其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)2.子結(jié)構(gòu)中的比是促成掌握等價(jià)概念的中介3.算子和度量子結(jié)構(gòu)在加法和乘法理

2、解中具有重要的意義由于分?jǐn)?shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分?jǐn)?shù)的形成不是一個(gè)簡(jiǎn)單的過程拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價(jià)乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對(duì)3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過程：1. 4歲4歲半兒童對(duì)于將一個(gè)物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預(yù)想的計(jì)劃或圖示2.4歲6歲兒童對(duì)于規(guī)則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩3.6歲7歲能過成功的實(shí)施三等分，不必利用試誤的方法4.10歲左右兒童能實(shí)施六等分，首先是以三等分法分一個(gè)餅，然后三塊餅進(jìn)行二等分赫伯特和特尼森研究58歲分?jǐn)?shù)概念發(fā)展情形改成長(zhǎng)度模式為伯特爾和薩瓦達(dá)發(fā)現(xiàn)，兒童處理等分長(zhǎng)方

3、形或圓形區(qū)域，其分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展順序?yàn)?1513141216151413121151915131814121、3221、6231小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識(shí)（真）分?jǐn)?shù)知識(shí)類似（）不同（）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B小數(shù)符號(hào)1.一個(gè)單位被分成幾個(gè)的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分?jǐn)?shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B分?jǐn)?shù)符號(hào)1.一個(gè)單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分?jǐn)?shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個(gè)等份的

4、數(shù)（）（）（）（ ）（ ）（ ）小數(shù)和整數(shù)知識(shí)的比較小數(shù)知識(shí)整數(shù)知識(shí)類似（）不同（）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會(huì)變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的右邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點(diǎn)以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-C讀法小數(shù)點(diǎn)左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會(huì)變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的左邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往左其值遞減B數(shù)位1.

5、沒有小數(shù)點(diǎn)以后的數(shù)字2. 從個(gè)分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-C讀法依整數(shù)十進(jìn)制結(jié)構(gòu)讀出（）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成u位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名 -千位 百位 十位 個(gè)位位值 -數(shù)字 - u為了使個(gè)位也能無限制地向右延伸過去，可將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù);利用往左擴(kuò)展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴(kuò)展一位除以10的結(jié)果，有了新符號(hào)（小數(shù)符號(hào)）及新位名的產(chǎn)生： 指數(shù) 小數(shù) 新位名 =0.1 十分位 =0.2 百分位 -310210110010a3a1a2a01-102 -101989

6、年的數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對(duì)大小關(guān)系4.能了解運(yùn)算對(duì)數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測(cè)量一般的物體2000年的數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計(jì)算并做合理的估計(jì)湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識(shí)分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對(duì)大小3能了解運(yùn)算對(duì)數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點(diǎn)于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識(shí)包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運(yùn)算的意義和影響的能力4.了解

7、并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計(jì)算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運(yùn)用參考點(diǎn)的能力肖德恩數(shù)意識(shí)包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認(rèn)數(shù)字相對(duì)大小的能力3.處理數(shù)字絕對(duì)大小的能力4.使用參考點(diǎn)的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運(yùn)算及相關(guān)符號(hào)的能力6.了解運(yùn)算對(duì)數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進(jìn)行心算，使運(yùn)算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導(dǎo)何時(shí)估算是適當(dāng)?shù)?.使數(shù)字意義化的能力斯塔奇和格爾曼學(xué)前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運(yùn)算問題的基礎(chǔ)知識(shí)是所謂的部總知識(shí)1.部分和總體之間的運(yùn)算關(guān)系知識(shí)2.加法交換律知識(shí)3.加法和減法互補(bǔ)關(guān)系知識(shí)格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重

8、視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個(gè)算術(shù)基本運(yùn)算，一般都結(jié)合著一個(gè)隱藏的潛意識(shí)的、原始的直觀模式。當(dāng)解一個(gè)含有兩項(xiàng)數(shù)值資料的應(yīng)用問題時(shí)，對(duì)運(yùn)算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個(gè)中介模式發(fā)生，且這個(gè)模式會(huì)對(duì)選擇過程加以一些限制u乘除法的研究u小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算塔特蘇特分?jǐn)?shù)加法錯(cuò)誤類型1.帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換假分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤3.通分時(shí)轉(zhuǎn)換等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤4.求公分母的錯(cuò)誤5.加法程序的錯(cuò)誤6.不會(huì)化簡(jiǎn)或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘估算技能的形成u強(qiáng)調(diào)估算技能的原因 與數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)、源于對(duì)

9、數(shù)意識(shí)的重視u一個(gè)好的估算著至少應(yīng)有的素質(zhì)l重組：改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以方便心算l轉(zhuǎn)換：把原有的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式l調(diào)節(jié)：計(jì)算中及后，可調(diào)節(jié)估算值至接近的近似值u估算技能與心算技能密切相關(guān)，重視心算技能培養(yǎng)的原因 1.心算是大多數(shù)人運(yùn)用的主要的計(jì)算方式 2.在大多數(shù)情況下，心算是最簡(jiǎn)單易行的 3.做心算有利于對(duì)數(shù)的特性的理解 4.心算過程本身就是一種創(chuàng)造性的問題解決活動(dòng)算法思想的初步形成u算法的一般要求可以歸納為： 算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性 在小學(xué)階段學(xué)在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想習(xí)算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種

10、經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動(dòng)化的5.算法是目標(biāo)指向的6.算法可以為計(jì)算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對(duì)于教師來說，算法易于處理與評(píng)價(jià)算法程序過早教學(xué)有一些不利因素l算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不一致l算法的運(yùn)算會(huì)誘使學(xué)生放棄他們自己的想法l算法不利于數(shù)意識(shí)的形成l算法使學(xué)生習(xí)慣于依賴數(shù)字的空間排列l(wèi)算法會(huì)使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果l在實(shí)際生活中，書面算法很少使用9.3算術(shù)中的問題解決u在探討小學(xué)生解決算術(shù)問題方面三種研究方法： 個(gè)別交談、反應(yīng)潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表算術(shù)問題的基本類型及其解題策略 1.加減法應(yīng)用題的基本類型 2.乘除法應(yīng)用題的基本類型 乘

11、：大小改變、交叉運(yùn)算、比例因子 除：求同單位量之間的比率、求異單位量之間的比率、除數(shù)為異單位量之間比率的除法、除數(shù)為大小改變因子的乘法、求反因子 四則運(yùn)算的統(tǒng)一分類：如馬紹爾將算術(shù)文字題分為五個(gè)類型：改變、重組、比較、重復(fù)、變化算術(shù)問題的難度分析影響算術(shù)問題難度的主要因素： 1、未知數(shù)的位置 ：在“改變”類型中，不管是添加型或拿走行，未知數(shù)所在的位置越在前面，難度越高。是由于語意結(jié)構(gòu)與兒童解題的策略產(chǎn)生沖突 2、語言的表述：解題的難度受題目中的敘述語的不一致性的影響 3、數(shù)字的形式：對(duì)于乘法應(yīng)用題來說，問題類型對(duì)學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵 4、問題的結(jié)構(gòu) ：學(xué)生在解決除法問題時(shí)往往會(huì)形成

12、“等分模式”的思維定勢(shì) 5、 單位的變化 6、問題的表征9.4數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)知分析u認(rèn)知層次基倫分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)5個(gè)連續(xù)層面1.把分?jǐn)?shù)作為整體的一部分2.對(duì)一個(gè)事先分成若干的整體，通過數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分?jǐn)?shù)3.把整體平均分成若干，對(duì)整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算4.通過數(shù)“份數(shù)”對(duì)兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)求和5.根據(jù)分?jǐn)?shù)加法原理，對(duì)兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)求和哈特從位值研究小數(shù)6個(gè)認(rèn)知層面1.千位數(shù)以內(nèi)的位值概念2.一位小數(shù)3.二三位小數(shù)4.與左邊的位值關(guān)系5.更復(fù)雜的位值關(guān)系6.從除的結(jié)果發(fā)展到小數(shù)之間的小數(shù)有無限多個(gè)德恩特蒙特小數(shù)學(xué)習(xí)的五個(gè)層面1.具體物的層次2.操作說明的層次3.程序的

13、層次4.心智模式層次5抽象的層次u難點(diǎn)解析u小學(xué)的教學(xué)與有理數(shù)概念有關(guān) 多數(shù)發(fā)展都產(chǎn)生于重要的認(rèn)知改組的初期 重要的質(zhì)變發(fā)生在那些用來描述這些結(jié)構(gòu)并使其模型化的表征系統(tǒng)中 表征系統(tǒng)的作用是迥異不同的 有理數(shù)概念包含了一大套整合了得子結(jié)構(gòu)和加工過程u有理數(shù)概念的教學(xué)難點(diǎn)主要集中在小數(shù)和分?jǐn)?shù)上 計(jì)數(shù)系統(tǒng)知識(shí)、運(yùn)算規(guī)則知識(shí)、數(shù)量表示的知識(shí)u整數(shù)的減法和帶余除法的困難（例哈特等人的研究） 學(xué)生在標(biāo)小數(shù)點(diǎn)上有難度例2.3*10=2.30 學(xué)生容易產(chǎn)生“乘法使結(jié)果變大”“除法使結(jié)果變小”的 想法 學(xué)生缺少小數(shù)的稠密性概念 缺乏位值概念，比較大小有困難概念誤解u數(shù)與運(yùn)算部分中分?jǐn)?shù)概念的誤解大體以下三方面：

14、單位量問題、等分觀念的錯(cuò)差、受整數(shù)圖示的影響u小數(shù)概念方面小數(shù)運(yùn)算過程中三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 如何將運(yùn)用問題或橫式問題改為豎式計(jì)算 計(jì)算數(shù)值的答案 決定小數(shù)點(diǎn)的位值u乘除法的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易產(chǎn)生的各種錯(cuò)誤： 1以為要使結(jié)果變小就用除法2相信乘數(shù)越大、積就越大 3.習(xí)慣用大數(shù)除以小數(shù) 4.等分除與包含除混淆 5.會(huì)以表面線索來解題 6.不考慮包含除的余數(shù) 7.以為除法就是等分除 8.“幾個(gè)幾”與“幾的倍數(shù)”混淆有關(guān)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的幾點(diǎn)建議u數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)幾點(diǎn)建議 提倡算法的多樣化 既注重句法規(guī)則，又關(guān)注語義分析 要合理的使用教學(xué)模型 要關(guān)注表象操作層面圖形中整體的一部分子集集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點(diǎn)比 作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)