數(shù)列歸納總結(jié)-精選

1、等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)比較一覽表等差數(shù)列等比數(shù)列定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫公差.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫公比.遞推關(guān)系)an1ana2al(aniandan1ananan1(n2,nN*)nN*)(nN*)()包2包ana1)q0,nN*)n2,nN*)(nN*)-an-1qanan1ananan1通項(xiàng)公式(anai(n1)dnN)anpnqp,q為吊數(shù),nN)()anaqn1)anpqnp,q是常數(shù),q0,p0,n(nN

2、*)N*)word.2Snn(aian)求積公式n2ai(aan)ni1nN*)Snna1n(n1)d2Sn(*、nN)naqAAqn,q2SnAn2Bn(A,B是常數(shù)，nN)若，p、q、s、，則對(duì)任意數(shù)列.anian1若an數(shù)列，則0)若,p、q、apaq%.001,Can為等比2an,nN,n2.bn分別為兩等差anbn為等差數(shù)列.數(shù)列名為等差數(shù)列.n若bn列，則Sn，S2n為正項(xiàng)等差自然數(shù)鳧n為等差數(shù)列.Sn，S3nS2n，為等差word.na1,q1a1(1qn).d，q11qs、，則對(duì)任意c>01,若恒大于0,則logcan為等差數(shù)列.anian1an,nN7n2bn為兩等比數(shù)

3、列,則anbn為等比數(shù)列.若恒大于0,則數(shù)列為等比數(shù)列.若bn則abnSn,S2數(shù)列.nai1,i1為正項(xiàng)等差自然數(shù)列,為等比數(shù)列.Sn，S3nS2n,為等比質(zhì)數(shù)列. Sn_SnmSm,n>2mi,m、nn2m_*nn. SmnSm&mnd.若SmSn，mn,則Smn0.nnmnlain2ma,n>2mmi1fim1_*_*nN,ap0,pN.SmnSmq&qM.若a1a2ama1a2an,mn,mn貝Uai1.1 1此外，還要了解一些等差數(shù)列與等比數(shù)列中的重要結(jié)論，這些結(jié)論之間不具有對(duì)偶關(guān)系：等差數(shù)列等比數(shù)列重若apq,aqp,p、qN*,要且pq,SmnSm(1

4、qmq2mq(n1)m)結(jié)則apq0.論若Spq,Sqp,且pq,則=Sn(1qnq2nq(m1)n).c/、一*Spq(pq),p、qN.若<1,則limSnS-a-.n1q求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法word.1.an1anf(n)型累加法：an=(anan1)+(an1an2)+(a2ai)+aif(n1)f(n2)f(1)a1例1.已知數(shù)列an滿足a1=1,an1an2n(ne),求an.解an=an-an1+an1-an2+a2-a1+a12n12n221112nn2n112-n.，一、,*an=2-1(nG)3.an1an型(p、q為常數(shù))方法：(1)an1qp(an),p1p1再根

5、據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求an.an1-an=p(anan1)再用累加法求an.(3)an1,且n,先用累加法求n1nn1ppp粵再求an.p例3.已知an的首項(xiàng)a1(a為常數(shù))，an=2an1+1(ne,n>2)，求an.解設(shè)an-入=2(an1一人)，貝U入=-1;an+1=2(an1+1)an1為公比為2的等比數(shù)列.一1,an+1=(1)02n1,.an=(1)212.同工g(n)型an累乘法：an=-an-亙曳-a1an1an2a1一一，一一an1例2.已知數(shù)列an滿足上2n(ne),a1=1,求anan.anan1a2斛an='-a1an1an2a1=(n1)-(n2)1-

6、1=(n1)!：an=(n1)!(nG)4.an1anf(n)型(p為常數(shù))方法：變形得an1anf(n)n1nn1>ppp則之可用累加法求出，由此求an.pn例4.已知an滿足a1=2,1十a(chǎn)n1=2an+2.求an.解34包12n12na-:一;為等差數(shù)列.為nHn1n2n2an,2word.5. an2=pan1+qan型(aq為常數(shù))特征根法：x2pxq(1)XiX2時(shí)，an=Ci-Xin+C2x2(2)x1x2時(shí)，an=(C1+C2n)x1n例5.數(shù)列an中，a=2,a2=3,且2ananiani(ne,n>2),求an.解ani=2ananix22xixix2i-an=

7、(Ci+C2-n)-inCiC2-n.CiC22CiiCi2c23C2ianni(nN)7.“已知Sn,求an”型方法：an=SnSni(注意物是否符合)一、一一3例6.設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，Sn=-(Hn2i),求an(n)一.一3,斛Sn=(ani)(ne)2;當(dāng)i時(shí)，a1=?(a一i)2-ai=3當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sni3,-3一=(a”一i)(anii)22-an=3ani:an=3(ne)6.ani=迫一B型(A、RC、D為常數(shù))CanDAxR特征根法：x=-CxDHanxianixi(Dxix2時(shí)，-anx2anix2ii-(2)x1x2時(shí)，=Canxianixi2a

8、n例6.已知ai=i,an=(ne),求an.an2解x=xx20x2,iianani2i-ai=i,a2=，代入，胃一32為首項(xiàng)為i,D的等差數(shù)列.an2ini.2一=-an=(ne)an2ni8.“已知an，ani,Sn的關(guān)系，求An”型方法：構(gòu)造與轉(zhuǎn)化的方法.例8.已知an的前n項(xiàng)和為Sn,且an+2Sn(Sni-ani-an)=。(n)2),i*ai=,求an.2解依題意，得SnSni+2Sn-Sn=01 i0=2SnSni.icc,c=2+2(n1)=2nSn.-i-i,Sn=，Sni=2n2(ni)anSnSnii、/i2n2(ni)i-=(n2)2n(in)T(ni)a=2ani

9、!(nN,n2)2n(in)練一練word.1. 是首項(xiàng)ai=1,公差為d=3的等差數(shù)列，如果=2005,則序號(hào)n等于（）.A.667B.668C.669D.6702 .在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)ai=3,前三項(xiàng)和為21,則a3+su+a5=（）.A.33B.72C.84D.1893 .如果asa2,，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d*0,則（）.A.aa8>a4a5B.aa8Va4a5C.a+a8va4+a5D.a1a8=a4a54 .已知方程（x22x+n）（x22x+n）=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則4Im-n|等于（）A.1B.9C.1D.另4285 .等比

10、數(shù)列中，a2=9,a5=243,則的前4項(xiàng)和為（）.A.81B.120C.168D.192a2003a26 .若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0,a2003+a2oo4>0,word.004<0,則使前n項(xiàng)和>0成立的最大自然數(shù)門是()A.4005B.4006C.4007D.40087 .已知等差數(shù)列的公差為2,若ai,as,a4成等比數(shù)列，則a2=()A.-4B.-6C.-8D.108 .設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若竺=9,則包=().839，S5、，A.1B.-1C.2D.129 .已知數(shù)列-1,ai,&,4成等差數(shù)列，一1,bi,bz,bs,4成等比數(shù)列，則J的

11、值是().b21. C解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式=a+(n1)d,即2005=1+3(n-1),.n=699.2. C解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計(jì)算能力.設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),由題意得81+82+83=21,即a1(1+q+q)=21,又a1=3,.1+q+q=7.解得q=2或q=3(不合題意，舍去)，83+84+85=80(1+q+q)=3x2X7=84.3. B.解析：由81+88=84+85,排除C.word.2.又aias=ai(ai+7d)=ai+7a1d,.aas=(ai+3d)(ai+4d)=a：+7aid+12d2>aias.4. C解析：

12、解法i：設(shè)&=I，a2=1+d,a3=l+2d,a4=1+3d,而4444方程x22x+m=0中兩根之和為2,x22x+n=0中兩根之和也為2,ai+a2+a?+a4=i+6d=4,.d=i,ai=L,a4=7是一個(gè)方程的兩個(gè)根，ai=3,a3=-24444是另一個(gè)方程的兩個(gè)根.二二，蛆分別為m或n,i6i6Im-n|=i,故選C.2解法2：設(shè)方程的四個(gè)根為xi,x2,x3,x4,且xi+x2=x3+x4=2,xi-x2=m,x3-x4=n.由等差數(shù)列的性質(zhì)：若+s=p+q,則a+=+,若設(shè)xi為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng)，則x2=7,于是可得等差數(shù)列為。，孔4445744.m=,n=,i

13、6i6.Im-n|=i.25. B解析：a2=9,a5=243,曳=q3=243=27,a29.q=3,a1q=9,ai=3,word.5.$=上3_=啊=120.1-326. B解析：解法1：由a2003+a2004>0,+003，02004V0,知02003和32004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又ai>0,則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故3200332004)即32003>0,32004<0.C4006(3,+3)4006(3+3)-.3006=一L一%"=6(2003一位>0,225007=4007,(31+34007)=4007,232004<022故4006為>0的最大自然數(shù).選B.解法2：由31>0,32003+32004>0,3200332004V0,同解法1的分析得32003>0,32004V0, S2003為中的最大值. 是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示， .2003到對(duì)稱軸的距離比2004到對(duì)稱軸的距離小， 包在對(duì)稱軸的右側(cè).2根據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱性可得4006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4007,4008都在其右側(cè)，>0的最大自然數(shù)是4006.7.