數(shù)字圖像處理3_趙建峰

1、數(shù)字圖像處理(Digital Image Processing)內(nèi)蒙古科技大學(xué)信息學(xué)院信息處理研究室趙建峰第三章、圖像處理基本技術(shù)3.1 幾何變換3.2點(diǎn)處理3.1 幾何變換一、圖像像素的屬性二、幾何變換基礎(chǔ)三、圖像基本變換四、圖像復(fù)合變換五、圖像透視變換一、圖像像素的屬性數(shù)字圖像的基本構(gòu)成單位是像素。圖像像素有兩個(gè)重要的屬性：1、像素位置；2、像素顏色或灰度。像素屬性的改變會(huì)引起圖像的變化。圖像像素位置屬性有規(guī)律的變化，稱為數(shù)字圖像的幾何變換。二、幾何變換基礎(chǔ)圖像的幾何變換，是指通過(guò)改變像素的位置，使圖像產(chǎn)生大小、形狀和位置的變化，來(lái)達(dá)到用戶期望的圖像。從圖像類型來(lái)分，圖像的幾何變換有二維平

2、面圖像的幾何變換和三維圖像的幾何變換以及由三維向二維平面投影變換等。從變換的性質(zhì)分， 圖像的幾何變換有平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切等基本變換，透視變換等復(fù)合變換，以及插值運(yùn)算等。數(shù)字圖像說(shuō)明二維數(shù)字圖像就是把連續(xù)的二維(2D)圖像在坐標(biāo)空間XOY和性質(zhì)空間F都離散化了的圖像，可用一組二維(2D)數(shù)組f(x, y)來(lái)表示。其中x和y表示2D空間XOY中一個(gè)坐標(biāo)，f代表圖像在點(diǎn)(x, y)的某種性質(zhì)F的數(shù)值。如果所處理的是一幅灰度圖，這時(shí)f表示灰度值。而且此時(shí)f、x、y都在整數(shù)集合中取值。常見(jiàn)的圖像幾何變換可以通過(guò)與之對(duì)應(yīng)的矩陣線性變換來(lái)實(shí)現(xiàn)（除了插值運(yùn)算）。對(duì)于一些簡(jiǎn)單幾何變換及變換中心在坐

3、標(biāo)原點(diǎn)的比例縮放、 反射、 錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)等變換，可以用22的矩陣表示和實(shí)現(xiàn)。但數(shù)字圖像的平移以及繞任意點(diǎn)的比例縮放、反射、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)等變換，。卻不能通過(guò)一個(gè)22變換矩陣 實(shí)現(xiàn)為了使用統(tǒng)一的矩陣線性變換形式，表示和實(shí)現(xiàn)這些常見(jiàn)的圖像幾何變換，需要引入一種新的坐標(biāo)，即齊次坐標(biāo)。利用齊次坐標(biāo)，可使用統(tǒng)一的形式實(shí)現(xiàn)上述二維圖像的幾何變換。abTcd齊次坐標(biāo)現(xiàn)將點(diǎn)P0(x0, y0)平移到P(x, y)，其中x方向的平移量為x，y方向的平移量為y。則點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)為：yyyxxx00若用矩陣的形式表示，點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)為：yxyxyx001001坐標(biāo)點(diǎn)平移圖示Oyxy0yxx0P0(x0 ,

4、 y0)P(x , y)此矩陣的第一、二列構(gòu)成單位矩陣，第三列元素為平移常量。故對(duì)2D圖像進(jìn)行變換，只需要將圖像的點(diǎn)集矩陣乘以變換矩陣即可。2D圖像對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集矩陣是2n階的，而擴(kuò)展后變換矩陣是23階的，這不符合矩陣相乘時(shí)要求前者的列數(shù)與后者的行數(shù)相等的規(guī)則。 yxT1001上述變換若要使用一個(gè)變換矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，則需要使用23階變換矩陣，其形式為： 因此在點(diǎn)的坐標(biāo)列矩陣x yT中引入第三個(gè)元素，增加一個(gè)附加坐標(biāo)，擴(kuò)展為31的列矩陣x y 1T。用三維空間點(diǎn)（x, y, 1）來(lái)表示二維空間點(diǎn)（x, y），即采用一種特殊的坐標(biāo)，可以實(shí)現(xiàn)平移變換。因此，利用這種特殊的坐標(biāo)，可將23階矩陣擴(kuò)充為33階矩陣

5、，以拓寬功能。由此可得平移變換矩陣：yxyyxxyxyxPTP00000110011001001xTy驗(yàn)證一下點(diǎn)P (x, y)按照33的變換矩陣T平移變換的結(jié)果：111100100100000yxyyxxyxyxPTP可見(jiàn)，引入附加坐標(biāo)后，擴(kuò)充了矩陣的第3行， 并沒(méi)有使變換結(jié)果受到影響。這種用n1維向量表示n維向量的方法稱為齊次坐標(biāo)表示法。二維空間坐標(biāo)(x, y)的齊次坐標(biāo)可表示為(Hx, Hy, H)，其中H表示任意非零實(shí)數(shù)。當(dāng)H1時(shí)，則(x, y, 1)就稱為點(diǎn)(x, y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)。二維空間坐標(biāo)點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)的前兩個(gè)數(shù)沒(méi)有變化，僅在原坐標(biāo)中增加了H1的附加坐標(biāo)。由點(diǎn)的齊次坐標(biāo)

6、（Hx, Hy, H）求點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)(x, y, 1)，可按如下公式進(jìn)行：HHyyHHxx規(guī)范化齊次坐標(biāo)的幾何意義：點(diǎn)(x, y)落在3D空間H1的平面上。若將XOY 平面內(nèi)的三角形abc的各頂點(diǎn)表示成齊次坐標(biāo)(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就變成H1平面內(nèi)的三角形a1b1c1的各頂點(diǎn)。zxyOabca1b1c1H1齊次坐標(biāo)在二維圖像中的另一個(gè)應(yīng)用是：若點(diǎn)S(60000，40000)在16位計(jì)算機(jī)上表示則大于32767的最大坐標(biāo)值。將點(diǎn)S的坐標(biāo)形式變成(Hx, Hy, H)形式的齊次坐標(biāo)，則可解決這一問(wèn)題。在齊次坐標(biāo)系中，設(shè)H1/2，則 (60000，40000)的齊

7、次坐標(biāo)為(1/2x, 1/2y, 1/2)，那么所要表示的點(diǎn)變?yōu)?30000, 20000, 1/2)，此點(diǎn)顯然在16位計(jì)算機(jī)上二進(jìn)制數(shù)所能表示的范圍之內(nèi)。圖像幾何變換矩陣形式實(shí)現(xiàn)二維圖像幾何變換的一般過(guò)程為：將2n階的二維點(diǎn)集矩陣niiyx200然后乘以相應(yīng)的變換矩陣即可完成，即：變換后的點(diǎn)集矩陣=變換矩陣T變換前的點(diǎn)集矩陣。（圖像上各點(diǎn)的新齊次坐標(biāo)）（圖像上各點(diǎn)的原齊次坐標(biāo)）表示成齊次坐標(biāo)niiyx3001設(shè)變換矩陣T為： 則上述變換可以用公式表示為：smlqdcpbaTnnnnnnyyyxxxTHHHHyHyHyHxHxHx3212132121111圖像上各點(diǎn)的新齊次坐標(biāo)規(guī)范化后的點(diǎn)集矩

8、陣為： 引入齊次坐標(biāo)后，表示2D圖像幾何變換的33矩陣的功能就完善了，可以用它完成2D圖像的各種幾何變換。nnnyyyxxx32121111下面討論33階變換矩陣中各元素在變換中的功能。幾何變換的33矩陣的一般形式為：子矩陣可使圖像實(shí)現(xiàn)恒等、 比例、 鏡像、 錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換。p q T這一列矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)平移變換。 l m 矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)透視變換，但當(dāng)l=0，m=0時(shí)它無(wú)透視作用。s矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)全比例變換。abpTcdqlms33的階矩陣T可以分成四個(gè)子矩陣。其中，2 2abcd00100010001iiiixxyyss將齊次坐標(biāo) 規(guī)范化后， 。由此可見(jiàn)， 當(dāng)s1時(shí)，圖像按比例縮

9、??；當(dāng)0s1時(shí)，整個(gè)圖像按比例放大；當(dāng)s1時(shí)，圖像大小不變。 iixys1100iiiiyxsysx例如：三、圖像基本變換1、圖像比例縮放 2、圖像平移變換3、圖像鏡像變換4、圖像旋轉(zhuǎn)變換1、圖像比例縮放 圖像比例縮放是指將給定的圖像在x軸方向按比例縮放fx倍， 在y軸方向按比例縮放fy倍，從而獲得一幅新的圖像。如果fxfy， 即在x軸方向和y軸方向縮放的比率相同，稱這樣的比例縮放為圖像的全比例縮放。如果fxfy，圖像的比例縮放會(huì)改變?cè)紙D像的像素間的相對(duì)位置，產(chǎn)生幾何畸變。設(shè)原圖像中的點(diǎn)P0(x0,y0)比例縮放后，在新圖像中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y)，則P0(x0,y0)和P(x, y)之間

10、的對(duì)應(yīng)關(guān)系如上圖所示。放大后縮放前xy(x , y)(x0 , y0)O比例縮放前后兩點(diǎn)P0(x0,y0) 、P(x, y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表示為： 00000010011xyxxfyfy 上式的逆運(yùn)算為 ：0000100111001xyfxxyyf即 fyyyfxxx00比例縮放所產(chǎn)生的圖像中的像素可能在原圖像中找不到相應(yīng)的像素點(diǎn)，這樣就必須進(jìn)行插值處理。插值處理常用的方法有兩種，一種是直接賦值為和它最相近的像素值，另一種是通過(guò)一些插值算法來(lái)計(jì)算相應(yīng)的像素值。前一種方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但會(huì)出現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；后者處理效果要好些，但是運(yùn)算量也相應(yīng)增加。在下面的算法中直接采用了前一種做法。實(shí)際上，

11、這也是一種插值算法，稱為最鄰近插值法(Nearest Neighbor Interpolation)。 下面首先討論圖像的比例縮小。最簡(jiǎn)單的比例縮小是當(dāng)fx=fy=1/2時(shí)，圖像被縮到一半大小，此時(shí)縮小后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，2)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(2，0)像素，依此類推。圖像縮小之后，因?yàn)閳D像的數(shù)據(jù)量小了，所以畫布可相應(yīng)縮小。此時(shí)，只需在原圖像基礎(chǔ)上，每行隔一個(gè)像素取一點(diǎn)，每隔一行進(jìn)行操作，即取原圖的偶(奇)數(shù)行和偶(奇)數(shù)列構(gòu)成新的圖像。如果圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行和列。如果MN大小的原圖像

12、F(x，y)縮小為 kMkN大小(k1)的新圖像I(x，y)時(shí)，則I(x, y)=F(int(cx), int(cy) (c=1/k)由此公式可以構(gòu)造出新圖像，如下圖所示：k 1/3當(dāng)fxfy(fx, fy0)時(shí)，圖像不按比例縮小，這種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來(lái)圖像的幾何畸變。圖像不按比例縮小的方法是： 如果MN大小的舊圖F(x，y)縮小為k1Mk2N(k11，k21)大小的新圖像I(x，y)時(shí)，則I(x, y)=F(int(c1x), int(c2y) 其中 2211,1kckc由此公式可以構(gòu)造出新圖像。 圖像在縮小操作中，是在現(xiàn)有的信息里如何挑選所需要的有用信息。而

13、在圖像的放大操作中，則需要對(duì)尺寸放大后所多出來(lái)的空格填入適當(dāng)?shù)南袼刂?，這是信息的估計(jì)問(wèn)題，所以較圖像的縮小要難一些。當(dāng)fx=fy=2時(shí)，圖像被按全比例放大2倍， 放大后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0.5)像素，該像素不存在，可以近似為(0，0)也可以近似 (0，1)； (0，2)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，1)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0， 0)或(1，0)像素； (2，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(1，0)像素，依此類推。其實(shí)這是將原圖像每行中的像素重復(fù)取值一遍，然后每行重復(fù)一次。原圖像 按最近鄰域法

14、放大兩倍的圖像 按插值法放大兩倍的圖像 一般地，按比例將原圖像放大k倍時(shí)，如果按照最近鄰域法則需要將一個(gè)像素值添在新圖像的kk的子塊中。顯然，如果放大倍數(shù)太大， 按照這種方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。當(dāng)fxfy(fx, fy0)時(shí)，圖像在x方向和y方向不按比例放大， 此時(shí)， 這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來(lái)圖像的幾何畸變。放大的方法是將原圖像的一個(gè)像素添到新圖像的一個(gè)k1k2的子塊中去。為了提高幾何變換后的圖像質(zhì)量， 常采用線性插值法。該方法的原理是，當(dāng)求出的分?jǐn)?shù)地址與像素點(diǎn)不一致時(shí)，求出周圍四個(gè)像素點(diǎn)的距離比，根據(jù)該比率， 由四個(gè)鄰域的像素灰度值進(jìn)行線性插值。按最近鄰域法放大五

15、倍的圖像 線性插值法示意圖 (x , y)(x , y 1)(x 1 , y)x , y(x 1 , y 1)p1 p1 qq簡(jiǎn)化后的灰度值計(jì)算式如下:g(x,y)=(1-q)(1-p)g(x,y)+pg(x+1，y)+q(1-p)g(x，y+1)+pg(x+1，y+1 式中：g(x，y)為坐標(biāo)(x，y)處的灰度值，x、y分別為不大于x，y的整數(shù)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的詳細(xì)算法及其實(shí)現(xiàn)，讀者可以參考有關(guān)參考文獻(xiàn)。 2、圖像平移變換 圖像平移x2 , y1這樣，平移后的圖像上的每一點(diǎn)都可以在原圖像中找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。例如，對(duì)于新圖中的(0，0)像素，代入上面的方程組，可以求出對(duì)應(yīng)原圖中的像素(-x，-y)。

16、如果x或y大于0，則點(diǎn)(-x，-y)不在原圖像中。對(duì)于不在原圖像中的點(diǎn)，可以直接將它的像素值統(tǒng)一設(shè)置為0或者255（對(duì)于灰度圖就是黑色或白色）。同樣，若有像素點(diǎn)不在原圖像中，也就說(shuō)明原圖像中有點(diǎn)被移出顯示區(qū)域。如果不想丟失被移出的部分圖像，可以將新生成的圖像寬度擴(kuò)大|x|， 高度擴(kuò)大|y|。 平移前的圖像 平移后的圖像 平移擴(kuò)大后的圖像 3、圖像鏡像變換圖像的鏡像變換不改變圖像的形狀。圖像的鏡像(Mirror)變換分為兩種：一種是水平鏡像，另外一種是垂直鏡像。圖像的水平鏡像操作是將圖像左半部分和右半部分以圖像垂直中軸線為中心進(jìn)行鏡像對(duì)換；圖像的垂直鏡像操作是將圖像上半部分和下半部分以圖像水平中

17、軸線為中心進(jìn)行鏡像對(duì)換。圖像的鏡像圖像的鏡像變換也可以用矩陣變換表示。設(shè)點(diǎn)P0(x0, y0)進(jìn)行鏡像后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y)，圖像高度為fHeight，寬度為fWidth， 原圖像中P0(x0, y0)經(jīng)過(guò)水平鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)?fWidth-x0，y0)，其矩陣表達(dá)式為： 110001001100yxfWidthyx逆運(yùn)算矩陣表達(dá)式為 110001001100yxfWidthyx即 yyxfWidthx00同樣， P0(x0, y0)經(jīng)過(guò)垂直鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)?x0，fHeight-y0)， 其矩陣表表達(dá)式為 110010001100yxfHeightyx(6-4) 逆運(yùn)算矩陣表達(dá)式為 11

18、0010001100yxfHeightyx即yfWidthyxx004、圖像旋轉(zhuǎn) 變換圖像的旋轉(zhuǎn)是一種相對(duì)復(fù)雜的幾何變換。一般圖像的旋轉(zhuǎn)是以圖像的中心為原點(diǎn)，將圖像上的所有像素都旋轉(zhuǎn)一個(gè)相同的角度。圖像的旋轉(zhuǎn)變換是圖像的位置變換，但旋轉(zhuǎn)后，圖像的大小一般會(huì)改變。和圖像平移一樣， 在圖像旋轉(zhuǎn)變換中既可以把轉(zhuǎn)出顯示區(qū)域的圖像截去， 也可以擴(kuò)大圖像范圍以顯示所有的圖像。旋轉(zhuǎn)前的圖像 1243旋轉(zhuǎn)后的圖像（擴(kuò)大圖像、 轉(zhuǎn)出部分被截）1243同樣，圖像的旋轉(zhuǎn)變換也可以用矩陣變換表示。設(shè)點(diǎn)P0(x0, y0)旋轉(zhuǎn)角后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y)， 如下圖所示。那么， 旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)P0(x0, y0)、 P(x,

19、 y)的坐標(biāo)分別是： 圖像旋轉(zhuǎn)角rrxy(x , y)(x0 , y0)Ocossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx寫成矩陣表達(dá)式為 11000cossin0sincos100yxyx其逆運(yùn)算為 11000cossin0sincos100yxyx利用公式可以確定旋轉(zhuǎn)后圖像上的像素。例如，當(dāng)=30時(shí)，公式為：866. 05 . 05 . 0866. 0 xyyxx而且， 此時(shí) xmin=0.866-0.53=-0.634; xmin=0.8663-0.5=2.098ymin=0.866+0.

20、5=1.366; ymax=0.8663+0.53=4.098圖像旋轉(zhuǎn)角 30四、圖像復(fù)合變換圖像的復(fù)合變換是指對(duì)給定的圖像連續(xù)施行若干次如前所述的平移、鏡像、比例、旋轉(zhuǎn)等基本變換后所完成的變換，圖像的復(fù)合變換又叫級(jí)聯(lián)變換。利用齊次坐標(biāo)，對(duì)給定的圖像依次按一定順序連續(xù)施行若干次基本變換， 其變換的矩陣仍然可以用33階的矩陣表示，而且從數(shù)學(xué)上可以證明，復(fù)合變換的矩陣等于基本變換的矩陣按順序依次相乘得到的組合矩陣。設(shè)對(duì)給定的圖像依次進(jìn)行了基本變換F1，F(xiàn)2，F(xiàn)N，它們的變換矩陣分別為T1，T2，TN，圖像復(fù)合變換的矩陣T可以表示為：T=TNTN-1T1。1、復(fù)合平移設(shè)某個(gè)圖像先平移到新的位置P1(

21、x1, y1)后，再將圖像平移到P2(x2, y2)的位置，則復(fù)合平移矩陣為： 可見(jiàn)，盡管一些順序的平移，用到矩陣的乘法，但最后合成的平移矩陣，只需對(duì)平移常量作加法運(yùn)算。1001001100100110010012121221121yyxxyxyxTTT2、復(fù)合比例同樣，對(duì)某個(gè)圖像連續(xù)進(jìn)行比例變換，最后合成的復(fù)合比例矩陣，只要對(duì)比例常量作乘法運(yùn)算即可。復(fù)合比例矩陣如下：12121 212120 00 00 00000000 010010 01aaa aTTTddd d 3、復(fù)合旋轉(zhuǎn)類似地，對(duì)某個(gè)圖像連續(xù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，最后合成的旋轉(zhuǎn)變換矩陣等于兩次旋轉(zhuǎn)角度的和，復(fù)合旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下式所示：112

22、21 2112212121212cosqsinq0cosqsinq0T =TT = -sinqcosq0-sinqcosq0001001cos(q +q ) sin(q +q )0= -sin(q +q ) cos(q +q ) 0001 上述均為相對(duì)原點(diǎn)(圖像中央)作比例、旋轉(zhuǎn)等變換，如果要相對(duì)某一個(gè)參考點(diǎn)作變換，則要使用含有不同種基本變換的圖像復(fù)合變換。不同的復(fù)合變換， 其變換過(guò)程不同，但是無(wú)論它的變換過(guò)程多么復(fù)雜，都可以分解成一系列基本變換。相應(yīng)地， 使用齊次坐標(biāo)后，圖像復(fù)合變換的矩陣由一系列圖像基本幾何變換矩陣依次相乘而得到。下面通過(guò)一個(gè)例子討論含有不同種基本變換的圖像復(fù)合變換?？梢钥?/p>

23、出，在進(jìn)行圖像的比例縮放、 圖像的旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，整個(gè)變換過(guò)程由兩部分組成，即需要兩個(gè)獨(dú)立的算法。首先，需要一個(gè)算法來(lái)完成幾何變換本身，用它描述每個(gè)像素如何從其初始位置移動(dòng)到終止位置； 同時(shí)， 還需要一個(gè)用于灰度級(jí)插值的算法。這是因?yàn)?，在一般情況下，原始(輸入)圖像的位置坐標(biāo)(x, y)為整數(shù)， 而變換后(輸出)圖像的位置坐標(biāo)為非整數(shù)， 即產(chǎn)生“空穴”， 反過(guò)來(lái)也是如此。因此，一般地，在進(jìn)行圖像的幾何變換時(shí)， 除了要進(jìn)行其本身的幾何變換外， 還要進(jìn)行灰度級(jí)插值處理。五、圖像透視變換3.2點(diǎn)處理一、直方圖二、灰度變換三、圖像噪聲一、直方圖1、直方圖的定義2、直方圖的性質(zhì)3、直方圖的計(jì)算1、直方圖的定

24、義直方圖的基本概念如果將圖像中像素亮度(灰度級(jí)別)看成是一個(gè)隨機(jī)變量， 則其分布情況就反映了圖像的統(tǒng)計(jì)特性，這可用Probability Density Function (PDF)來(lái)刻畫和描述，表現(xiàn)為灰度直方圖(Histogram)?；叶戎狈綀D是灰度級(jí)的函數(shù)，它表示圖像中具有某種灰度級(jí)的像素的個(gè)數(shù)，反映了圖像中每種灰度出現(xiàn)的頻率?；叶戎狈綀D的橫坐標(biāo)是灰度級(jí)，縱坐標(biāo)是該灰度級(jí)出現(xiàn)的頻度，它是圖像最基本的統(tǒng)計(jì)特征。圖像灰度直方圖 6646313266416665436646611223466543211426545654321設(shè)r代表圖像中像素灰度級(jí)，作歸一化處理后，r將被限定在0, 1之內(nèi)。在

25、灰度級(jí)中，r=0代表黑，r=1代表白。對(duì)于一幅給定的圖像來(lái)說(shuō)，每一個(gè)像素取得0, 1區(qū)間內(nèi)的灰度級(jí)是隨機(jī)的，也就是說(shuō)r是一個(gè)隨機(jī)變量。假定對(duì)每一瞬間，它們是連續(xù)的隨機(jī)變量，那么就可以用概率密度函數(shù)pr(r)來(lái)表示原始圖像的灰度分布。如果用直角坐標(biāo)系的橫軸代表灰度級(jí)r，用縱軸代表灰度級(jí)的概率密度函數(shù)pr(r)，這樣就可以針對(duì)一幅圖像在這個(gè)坐標(biāo)系中作出一條曲線來(lái)。這條曲線在概率論中就是概率密度曲線。 圖像灰度分布概率密度函數(shù) Pr(r)r10Pr(r)10r(a)(b)從圖像灰度級(jí)的分布可以看出一幅圖像的灰度分布特性。例如，從上圖中的(a)和(b)兩個(gè)灰度分布概率密度函數(shù)中可以看出： (a)的大多

26、數(shù)像素灰度值取在較暗的區(qū)域，所以這幅圖像肯定較暗，一般在攝影過(guò)程中曝光過(guò)強(qiáng)就會(huì)造成這種結(jié)果；(b)圖像的像素灰度值集中在亮區(qū)，因此，圖像(b)將偏亮，一般在攝影中曝光太弱將導(dǎo)致這種結(jié)果。當(dāng)然，從兩幅圖像的灰度分布來(lái)看圖像的質(zhì)量均不理想。 2、直方圖的性質(zhì)1、直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現(xiàn)次數(shù)(或頻數(shù))的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，只反映該圖像中不同灰度值出現(xiàn)的次數(shù)(或頻數(shù))，而未反映某一灰度值像素所在位置。即只包含了該圖像中某一灰度值的像素出現(xiàn)的概率，而丟失了其所在位置的信息。2、任一幅圖像，都能惟一地確定出一幅與它對(duì)應(yīng)的直方圖， 但不同的圖像，可能有相同的直方圖，即圖像與直方圖之間是多對(duì)一的映射關(guān)系。3、

27、由于直方圖是對(duì)具有相同灰度值的像素統(tǒng)計(jì)得到的， 因此，一幅圖像各子區(qū)的直方圖之和就等于該圖像全圖的直方圖。圖像與直方圖間的多對(duì)一關(guān)系 (a)(b)直方圖的分解 (a)(b)(c)3、直方圖的計(jì)算灰度直方圖的計(jì)算非常簡(jiǎn)單，依據(jù)定義，在離散形式下， 用rk代表離散灰度級(jí)，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：式中：nk為圖像中出現(xiàn)rk級(jí)灰度的像素?cái)?shù)，n是圖像像素總數(shù)，而nk/n即為頻數(shù)。在直角坐標(biāo)系中做出rk與pr(rk)的關(guān)系圖形，即稱為該圖像的直方圖。nnrpkkr)(1, 2 , 1 , 010lkrk設(shè)若圖像具有L級(jí)灰度(通常L=256，即8位灰度級(jí))，則大小為MN的灰度圖像f(x

28、, y) 的灰度直方圖pBuffer0L-1可用如下算法得到：1、初始化：pBufferk=0 ; k=0, , L-1。2、統(tǒng)計(jì)：pBufferf(x, y)+ ; x, y =0, , M-1, 0, , N-1。3、歸一化：pBufferf(x, y)/=M*N。其中，直方圖的歸一化是一個(gè)可選項(xiàng)， 若不需要特殊處理可以不進(jìn)行此項(xiàng)操作。Lena圖像及其直方圖a、Lena圖像；b、Lena圖像的直方圖 鐘樓圖像及其直方圖a、鐘樓圖像；b、鐘樓圖像的直方圖 二、灰度變換1、直方圖的拉伸2、直方圖均衡化處理3、直方圖規(guī)定化處理1、直方圖的拉伸一幅給定圖像的灰度級(jí)分布在0r1范圍內(nèi)。可以對(duì)0, 1

29、區(qū)間內(nèi)的任一個(gè)r值進(jìn)行如下變換： s=T(r) 即通過(guò)上述變換，每個(gè)原始圖像的像素灰度值r都對(duì)應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)s值，變換函數(shù)T(r)應(yīng)滿足：1、在0r1區(qū)間內(nèi)，T(r)值單調(diào)增加； 2、對(duì)于0r1， 有 0T(r)1。 第一個(gè)條件保證了圖像的灰度級(jí)從白到黑的次序不變；第二個(gè)條件則保證了映射變換后的像素灰度值在容許的范圍內(nèi)。從s到r的反變換可用下式表示： r=T-1(s)由概率論理論可知，如果已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為pr(r)，而隨機(jī)變量是 的函數(shù)，即=T()， 的概率密度為ps (s)，所以可由pr(r)求出ps (s)。因?yàn)閟=T(r)是單調(diào)增加的，由數(shù)學(xué)分析可知，它的反函數(shù)r=T-1(s)也

30、是單調(diào)函數(shù)。在這種情況下，如圖4-8所示，s且僅當(dāng)r時(shí)發(fā)生，所以可以求得隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 dxxprpspsFrr)()()(對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，即可得到隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)ps (s)為 )(11)()()()(sTrrrsdsdrrpsTdsdrpsp通過(guò)變換函數(shù)T(r)可以控制圖像灰度級(jí)的概率密度函數(shù)，從而改變圖像的灰度層次。這就是直方圖修改技術(shù)的理論基礎(chǔ)。 灰度拉伸變換函數(shù) s1skr1rkO)(krTr和s 的變換函數(shù)關(guān)系 sOr2、直方圖均衡化處理直方圖均衡化處理是以累積分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正法。假定變換函數(shù)為dprTsrr)()(0式中：是積分變量，而 就是r的累積分

31、布函數(shù)。這里，累積分布函數(shù)是r的函數(shù)，并且單調(diào)地從0增加到1， 所以這個(gè)變換函數(shù)滿足關(guān)于T(r)在0r1內(nèi)單值單調(diào)增加。在0r1內(nèi)有0T(r)1的兩個(gè)條件。dprr0)(對(duì)式中的r求導(dǎo)，則 )(rpdrdsr利用此公式，可得： 1)(1)(/1)()()()()(11rprpdrdsrpdsdrrpsprrsTrrsTrrs(4-8) 由上可知，在變換后的變量s的定義域內(nèi)的概率密度是均勻分布的。故用r的累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)，可產(chǎn)生一幅灰度級(jí)分布具有均勻概率密度的圖像。其結(jié)果擴(kuò)展了像素取值的動(dòng)態(tài)范圍。例如，一幅曝光過(guò)強(qiáng)的照片，圖像的灰度集中在較暗的區(qū)域，其概率密度函數(shù)為：2201( )0rr

32、rpr其他用累積分布函數(shù)原理求變換函數(shù) rrddprTsrrr2)22()()(200變換后的s值與r值的關(guān)系為 )(22rTrrs按照這樣的關(guān)系變換，就可以得到一幅改善質(zhì)量的新圖像。這幅圖像的灰度層次將不再是呈現(xiàn)較暗色調(diào)的圖像，而是一幅灰度層次較為適中， 比原始圖像清晰， 明快得多的圖像?？梢宰C明，變換后的灰度及概率密度是均勻分布的。下圖分別為原圖像概率密度函數(shù)、變換函數(shù)和變換后圖像的概率密度函數(shù)。連續(xù)圖像直方圖均衡化處理 pr(r)21s T(r)pr(s)12rr0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0r0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.

33、40.60.81.0(a)(b)(c)0上述方法是以連續(xù)隨機(jī)變量為基礎(chǔ)進(jìn)行討論的。當(dāng)灰度級(jí)是離散值時(shí)，可用頻數(shù)近似代替概率值，即 1, 1 , 010)(lkrnnrpkkkr(4-9)式中：l是灰度級(jí)的總數(shù)目，pr(rk)是取第k級(jí)灰度值的概率，nk是圖像中出現(xiàn)第k級(jí)灰度的次數(shù)，n是圖像中像素總數(shù)。圖像均衡化變換公式的離散形式可由下式表示： 1, 1 , 010)()(00lkrrpnnrTsjkjjrkjjkk其反變換式為 )(1kksTr數(shù)字圖像均衡化步驟1、列出原始圖像灰度級(jí)rk, k=0,1,k,L-1;2、統(tǒng)計(jì)各灰度級(jí)的象素?cái)?shù)目nk, k=0,1,k,L-1;3、計(jì)算原始圖像直方圖

34、pr(rk) = nk /n，n為原始圖像總的象素?cái)?shù)目；4、計(jì)算原始圖像累積直方圖c(k);5、應(yīng)用轉(zhuǎn)移函數(shù)，計(jì)算映射后的灰度級(jí),sk=INT(gmax-gmin)c(k)+gmin+0.5 或 sk=INT(L-1)c(k)+0.56、確定映射關(guān)系， rk sk, k=0,1,L-1;7、統(tǒng)計(jì)映射后各灰度級(jí)的像素?cái)?shù)目nk, k=0,1,k,L-1;8、計(jì)算輸出圖像直方圖Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。示例一副6464大小的圖像灰度分布如下所示序號(hào)運(yùn)算步驟和結(jié)果1原圖灰度級(jí)012345672各灰度級(jí)像素7901023850656329245122813原圖直方圖0.190.25

35、0.210.160.080.060.030.024原圖累積直方圖0.190.440.650.810.890.950.9815映射后灰度級(jí)135667776確定映射關(guān)系0113253、465、6、777新圖像素79010238509854488新圖直方圖0.190.250.210.240.11計(jì)算過(guò)程直方圖均衡化處理結(jié)果 10.250pr(rk)1000.200.150.100.05rk717273747576sk1.00.80.60.40.2717273747576rkps(sk)1717273747576sk0.250.200.150.100.05(a)(b)(c)由上例可見(jiàn)，利用累積分布函

36、數(shù)作為灰度變換函數(shù)，經(jīng)變換后得到的新直方圖雖然不很平坦，但畢竟比原始圖像的直方圖平坦的多， 而且其動(dòng)態(tài)范圍也大大地?cái)U(kuò)展了。因此，這種方法對(duì)于對(duì)比度較弱的圖像進(jìn)行處理是很有效的。下圖是經(jīng)直方圖均衡化后的Lena圖像和其直方圖。因?yàn)橹狈綀D是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度級(jí)作變換一般得不到完全平坦的結(jié)果。另外，從上例可以看出，變換后的灰度級(jí)減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡(jiǎn)并”現(xiàn)象。由于簡(jiǎn)并現(xiàn)象的存在，處理后的灰度級(jí)總是要減少的， 這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因， 數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。經(jīng)直方圖均衡化后的Lena圖像及直方圖a、經(jīng)直方圖均衡化后的Lena圖像； b、均衡化后的Lena圖

37、像的直方圖 3、直方圖規(guī)定化處理在圖像處理中，有時(shí)需要對(duì)一幅圖像進(jìn)行變換，使其具有特定的直方圖形式。如使該圖像與某一標(biāo)準(zhǔn)圖像具有相同的直方圖，或者使圖像的直方圖具有某一特定的函數(shù)形式，這一過(guò)程稱為直方圖規(guī)定化處理。直方圖規(guī)定化是一種常見(jiàn)的直方圖修正增強(qiáng)方法，在圖像處理前期經(jīng)常要采用此方法來(lái)修正圖像。在將原始直方圖向目標(biāo)直方圖做規(guī)定化映射時(shí)，常用的映射規(guī)則是單映射規(guī)則(Single Mapping Law, SML)和組映射規(guī)則(Group Mapping Law, GML)。數(shù)字圖像規(guī)定化步驟1、列出原始圖像灰度級(jí)rk, k=0,1,k,L-1 ；2、統(tǒng)計(jì)各灰度級(jí)的象素?cái)?shù)目，nk, k=0,1

38、,k,L-1 ；3、計(jì)算原始圖像直方圖pr(rk) = nk /n，n為原始圖像總的象素?cái)?shù)目；4、計(jì)算原始圖像累積直方圖c(k) ；5、列出規(guī)定圖像直方圖pu(uk) = nk /n，n為原始圖像總的象素?cái)?shù)目6、計(jì)算規(guī)定圖像累積直方圖d(k) ；7S、應(yīng)用SML映射，確定映射后的灰度級(jí)；8S、確定映射對(duì)應(yīng)關(guān)系， rk sk, k=0,1,L-1 ；9S、計(jì)算輸出圖像直方圖Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。7G、應(yīng)用GML映射，確定映射后的灰度級(jí)；8G、確定映射對(duì)應(yīng)關(guān)系， rk sk, k=0,1,L-1 ；9G、計(jì)算輸出圖像直方圖Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。示例一副6464大小的圖像灰度分布如左圖所示，請(qǐng)對(duì)圖像進(jìn)行處理，處理