平面向量數(shù)量積(提高)-學(xué)案

1、全國(guó)名校，高中數(shù)學(xué)，必修四，優(yōu)質(zhì)學(xué)案，自學(xué)，寒暑假輔導(dǎo)專題匯編18授課主題第09講-平面向量的數(shù)量積授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)掌握向量數(shù)量積的概念;教學(xué)目標(biāo)掌握向量夾角的計(jì)算;了解向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。授課日期及時(shí)段T (Textbook-Based)司步課堂體系搭建一、知識(shí)框架Hjv何表示知識(shí)概念T坐標(biāo)表示一PH實(shí)數(shù)與向g的補(bǔ)向®的數(shù)卿' 兩點(diǎn)間距離=平行條件- -垂直條件-角度祠題1定比分點(diǎn)坐標(biāo)公貳平移問題1數(shù)量積的概念：(1)向量的夾角：如下圖，已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a, OB=b,則/ AOB= 0 (0° < 0 < 18

2、0°)叫做向量a與b的夾角，記作a，b.A(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為0，則數(shù)量aIblcosB叫做a與b的數(shù)量積,記作 a b, 即卩 a b=|a|b|cos0 .(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cos 0的乘積.2.數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)e是單位向量，a, e> = 0 .(1)e a= a e=|a|cosB .(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a b=|a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b=- |a|b|，特別地,a a=|a|2,或 |a|=J a2(4)3.運(yùn)算律:4.a 丄 b= a b=0.cos0 = a b|

3、a|b|a b|w|a|b|.(1) a b= b a;( 2)(入 a) b=入(a b) = a (入 b);( 3)( a+ b)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算:a= (xi, yi),b= (X2,，則(1)a b=xix2+yiy2;(2)|a 1= Jxi2 +yi2cos a, b> =xiX2 +yiy2/2 2 丄2Vxi+yiX2 +y2(4)a丄 b二 a b=0二 Xix2+yiy2=0.典例分析考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的概念例1、已知b、C是三個(gè)非零向量，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（c= ac+ b c.Ib=± |ar |b|= a b : a、b 反向二 a b

4、 = hibl； a 丄 bu|a + b |=| a b |；|!前岸|a c|=|b C|.C. 3個(gè)例2、如果a b=C,且a豐0，那么（b = kc C. b 丄 cD. b、C在a方向上的投影相等考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例 1、已知 |!|=4，ibi=5,當(dāng)（1）a（2） a丄b，（ 3） a與b的夾角為30 °時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積.工，求（a+b）3例 2、已知 iai=5, ibi=4， a，b例 3、(1 )若 |a|=4,-b =6，求b在a方向上的投影;（2）已知|1|=6, e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角日分別等于60°、90°、1

5、20°時(shí)，求出1在e方向上的正投影，并畫圖說明.考點(diǎn)三：平面向量模的問題片片442兀 片例1、已知|a|=|b |=4，向量a與b的夾角為 ，求|a + b|，|a b|. 3例2、已知轟2心曲一3,求 |b|,|b|.例3、已知向量a,b滿足a =6, b =4，且a與b的夾角為60°,求a+d利a -2勺.a =恂=|a b|，求a與a + b的夾角.考點(diǎn)四：向量垂直（或夾角）問題例1、已知a, b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足例2、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7?5b垂直，14b與了!2b垂直.求a與b的夾角例3、已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向a

6、+ b與向量ka b垂直，則k=例4、設(shè)非零向量a,b,c,d，滿足 d =（a 'C）b-（a 'b）c，求證：a 丄d考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 例1、已知向量a與b同向，b=（ 1, 2）, a b=i0.（1）求向量a的坐標(biāo);（2）若 c=（ 2,-1）.求（b C）. a.例 2、已知向量 a=（J3,-1）和 b=（1,J3）,lwrb試求模為的向量c的坐標(biāo).D ( 1, 4).（2）要使四邊形 ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形 ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值.例3、已知三個(gè)點(diǎn) A （2, 1），B（ 3，2），（1）求證：AB丄AD ;k為何值時(shí)

7、,例 4、已知 a=（ 1, 1）, b=（ 0, 2）當(dāng)（1）k!b 與 a+b 共線;（2）k!b與a+b的夾角為120°.P(P ractice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練1.2.實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊若 a c= b c(CM 0)則(A . a= bC. |al=|b|若 |a|= 4, |b|= 3,a b= 6,C. aD. a在c方向上的正射影的數(shù)量與b在C方向上的正射影的數(shù)量必相等則a與b的夾角等于（）B . 120D. 30A . 150C. 603.若 |a| = 4, |b|= 2,a和b的夾角為30 °則a在b方向上的投影為（）A .5B . 6C.7D

8、. 85.向量a的模為10,它與x軸的夾角為150 °則它在A .一5誦B . 5C.一5D. 536.若向量a、b滿足 |a|= 1 ,|b|= 2, a 與b的夾角為60A .3B . 4C.5D. 6|m|= 2, m-n= 8,)4.<m, n>= 60° 則 |n|=(x軸上的投影為（）°貝y bb+ ab等于（）7.已知向量a和向量b的夾角為30 ° |a|= 2, |b|=U3，則向量a和向量b的數(shù)量積a b=&若|a|= 6, |b| = 4, a與b的夾角為135 °則a在b方向上的投影為9.已知正六邊形P

9、1P2P3P4P5P6的邊長(zhǎng)為2，求下列向量的數(shù)量積.(i)p7p2 P1P3；(2) p1p2 p1p4；(3) p7P2 P1P5；>>(4) Pi P2 Pi P6.課后反擊 1、若向量c垂直于向量 a和b, d= a +卩b (入、卩 R，且入卩m 0),則D.以上三種情況均有可能A c/ d B c丄d C c不平行于d,也不垂直于 d 2、判斷下列各命題正確與否:若 a豐 0, a - b=a - c,貝U b=c;(2)若a - b=a - C,貝U bM c當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立;(a - b) c=a (b - c)對(duì)任意向量 a、b、c都成立;(4)對(duì)任一向量 a

10、,有a2=|a|2 P-a.(其中k為非零實(shí)數(shù))3、已知 a=(cosa,sinot),b=(cos P,sin P)(0< a V P V 兀) 求證：a+b與a-b互相垂直；(2)若ka+ b與a-kb的模相等，求4、已知平面向量a,b滿足a (a+ b)=3，且a| = 2,b = 1，則向量a與b的夾角為5、6、7、9、若向量a， b滿足a =1， b2兀T若向量a與b的夾角為已知 |a |=10, |b|=12，且A . 6060(3a)=J2，且a丄(a + b)，則a與b的夾角為(3；!C .45兀D .6|b|=4,B. 120(a+2b)( a 3b) = 72,則向量

11、1(-b) = 36,貝U a與b的夾角是5C. 135的模是D. 12D . 150設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60 °,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.若平面向量b與向量a =(1,2)的夾角是180°,且|b|=3J5，貝Ub等于A.( 3, 6)B .( 3, 6)C.( 6, 3)D.( 6, 3)10、已知向量a= (3,4), b= (sin a , cos a )，且 a / b,則 tan a 等于11、已知平面向量 a=(3, 1), b= (x, 3)且 a丄 b,則 x 等于C. 112、已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60

12、76;，那么|a+3b|等于A . 7713、已知點(diǎn)A ( 1, 2)，若向量 AB與a = ( 2, 3)同向，|忑|=213，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)平面向量數(shù)量積運(yùn)算一直是高考熱點(diǎn)內(nèi)容，它在處理線段長(zhǎng)度、垂直等問題的方式方法上尤為有突出的表現(xiàn)，而正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是求解的關(guān)鍵，同時(shí)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)而不是向量，因此要注意數(shù)量積運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算律的差異，本文僅舉數(shù)例談?wù)勄蠼庀蛄繑?shù)量積運(yùn)算的方法和策略。直擊高考*1 1、【優(yōu)質(zhì)試題？山東】已知非零向量IT, n滿足4|ir|=3|ri|, cosv it, n.若ri±

13、;( tir+n),則實(shí)數(shù)t的值為()2、【優(yōu)質(zhì)試題？天津】已知 ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊 AB、BC的中點(diǎn)，連接 DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得E1111A. -EB .8C . 4D . 8DE=2EF，則站 BC的值為()* «* I I3、設(shè)向量 d b,滿足|牛|b|=1, 3?-豆，則|*2b|=(4、B . V5【優(yōu)質(zhì)試題？新課標(biāo)II】3=(1,-1),7 (- 1,2)則(23+b)P a=()C. 1D. 25、【優(yōu)質(zhì)試題？山東】已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,/ ABC=60，則祝石=()C.D .尋 a26、【優(yōu)質(zhì)試題？畐建】已知忑丄17c |=T，若P點(diǎn)是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且竺 +豈歲，則廚疋的最大值