橢圓雙曲線知識點總結(jié)

1、橢圓知識點【知識點1】橢圓的概念：在平面內(nèi)到兩定點 Fi、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|FiF2|)的點的軌跡叫木橢圓_這兩定點叫做橢圓的焦點， 焦點間的距離叫做焦距.當(dāng)動點設(shè)為M時，橢圓即為點集 P.M | MFi| -|MF2 =2a?注意：若(PR |+阡2 =FiF2)，則動點P的軌跡為線段F1F2 ;若(PFi | +|PF< F1F2 )，則動點P的軌跡無圖形?！局R點2】橢圓的標(biāo)準方程2 2焦點在x軸上橢圓的標(biāo)準方程：x2 y2 =1 a b 0，焦點坐標(biāo)為(c, 0), (-c, 0)a b2 2焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準方程為：二占=1 a b 0焦點坐標(biāo)為(0, c,)

2、 (o，-c)b a【知識點3】橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準方程2 2+ 厶=1 （a >b >0 ） a b2 2 +2 =1 （a >b>0 ） b ar圖形li.yur 1性 質(zhì)范圍a蘭x蘭ab蘭y蘭b對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A（ 一 a,0）,A2（a,0）B1（0, b）, B2（0, b）A1 （0, a）, A2（0, a）B1（ b,0）, B2（b,0）軸長軸A1A2的長為短軸B1B2的長為2b焦距1 F1F2 |=2c離心率ce二一 （0,1）aa, b, c的關(guān)系2 2 .2 c = a b規(guī)律:橢圓焦點位置與x, y2系數(shù)間的關(guān)系一焦點在分

3、母大的那個軸上.(2) 一橢圓上任意一點M一到焦點F.的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離 為一a土G,一最小距離為.a.- c.:22 _人2(3) 在橢圓中，離心率 e=2 = -2a V a a(4) 橢圓的離心率e越接近1橢圓越扁；e越接近于0,橢圓就接近于圓；離心率公式：在FPF2 中， PF1F ： , PF2R = 2,-sin 一sin。+ sin P、橢圓其他結(jié)論若已知切線斜率k ,切線方程為y = kx二a2k2 b2XoXTa2、若F0(xo,yo)在橢圓22x y2=1外，則過PO作橢圓的兩條切線切點為a bPl、P2,則切點弦PlP2

4、的直線方程是XoX-2a22xy3、橢圓2=1ab(a>b>0)的左右焦點分別為Fi, F 2,點P為橢圓上任意一點F1PF2 - )，則橢圓的焦點22x y1、若Fogy。)在橢圓+=1上，則過P的橢圓的切線方程是a b角形的面積為SF1PF22 二二 b tan 2以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切過焦點的弦中,2b2通徑(過焦點且與焦點所在坐標(biāo)軸垂直的弦)最短a過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點 P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點,AiP和A2Q交于點M，A2P和8、A1Q交于點N ,貝U MF丄NF。AB是橢圓即Kab2x2ab2Xoa yo若F0(X

5、o,yo)在橢圓若P0(xo,yo)在橢圓=1的不平行于對稱軸的弦，M(xo,y°)為AB的中點，則xoxPo所平分的中點弦的方程是 -ora2Po的弦中點的軌跡方程是 仔 -2a bkoMYoYkABb22 ，a2 2 工.生 a2 b2_ xoxyoy-a2b210、若P為短軸頂點，則 F1PF2最大【知識點4】橢圓中的焦點三角形：定 義：I PF1 I + I PF2 1= 2a I F1f2 I = 2c余弦定理：IF1F2I 2= IPF1 I2+IPF2I2-2IPF1I IPF2I cosF1PF2=0)2 2面積公式：在橢圓 篤 -y2 = 1 ( a > b

6、> 0)中，焦點分別為 R、F2，點P是橢圓上任意一點, a bq2 日-F1 PF2 - 71，則 S F.PF. - b tan1 2 22 2【知識點5】點(Xo,yo)與橢圓務(wù) =1(a>b>0)的位置關(guān)系：a b點P在橢圓上二-2ay0點P在橢圓內(nèi)部25亍：:：1a b2 X。點P在橢圓外部二a【知識點6】直線與橢圓位置關(guān)系的判斷:、=kx +b直線斜率存在時 22mx +ny 2 2 2=(m k n)x2kbnx b -1=0=1直線與橢圓相交u 0直線與橢圓相切 u = 0直線與橢圓相離u 0直線斜率不存在時x = m2 20丄2 , 2 a 一判斷y有幾個解

7、=1例1.2x已知：橢圓162=1與直線丨交于A、B兩點，A、B中點為9M 1,1，求直線l的方程例2.例3.例4.例5.(點差法：9x 16y -25 =0)2求過點2, . 3且與橢圓52設(shè)：所求橢圓方程為5 +k2-=1有相同焦點的橢圓方程32 2求過點2,2、2且與橢圓 ' =1有相同離心率的橢圓方程48設(shè)：所求橢圓方程為2已知橢圓5x2若橢圓2x4k2J18k2y-m=1的離心率二山，求m的值52y 1上存在a、3B兩點，關(guān)于直線 y = 4x m，-1)+161、2 2 y- 1) 10 20對稱。求m的取值范圍。雙曲線知識點【知識點1】雙曲線的概念：在平面內(nèi)到兩定點 Fi

8、、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) （小于|FiF2|）的點的軌跡叫雙曲線. 這兩定點叫做橢圓 的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距當(dāng)動點設(shè)為M時，橢圓即為點集 P = M | MFi MF2II =2a 注意：若（|MFi MF? = F1F2 ），則動點P的軌跡為兩條射線；若（|MFi| MF? AF1F2），則動點P的軌跡無圖形。【知識點2】雙曲線的標(biāo)準方程2 2焦點在x軸上雙曲線的標(biāo)準方程：二% =1 a . 0,b . 0，焦點坐標(biāo)為（c, 0）， （ -c, 0） a b2 2焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準方程為：y2 _x2 =1（a>0,b:>0 ）焦點坐標(biāo)為（0，c,） （0

9、，-c）b a【知識點3】雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準方程22 x y孑存1(a>0, b>0)22 a b2 1(a>0, b>0)圖形%內(nèi)性 質(zhì)范圍x 為或 x< a, y Rx R, yw a 或 y對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1 ( a,0), A2(a,0)A1 (0, a), A2(0, a)漸近線_b y ±x ay-±)x離心率e c, e (1 ,土 a)其中 c訂a2+ b2a實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長IA1A2 2a; 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長IB1B2 2b;a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做

10、雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系2 2 2c a 土b(c>a>0, c> b>0)規(guī)律:1雙曲線為等軸雙曲線？雙曲線的離心率e= 2?雙曲線的兩條漸近線互相垂直.（位置關(guān)系）.2.區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓.a,b,c關(guān)系）在橢圓中.a2 = b2+ 一c2,.而在雙曲線中. c2= a2土b2. 雙曲線的離心率大于一 1,而橢圓的離心率一 ee（Q1） c（3）在雙曲線中，離心率 e =二a雙曲線的離心率e越大開口越闊【知識點4】雙曲線中的焦點三角形定 義：I PF1 1-1 PF2 I =± 2a I F1f2 1= 2c余弦定理：I F1F

11、2I2=I PF1 I2+IPF2I 2-2 I PF1 I IPF2 IcosFiPF2= 0）2 2面積公式：在雙曲線x2 y2 =1 （ a > b >0）中，焦點分別為Fi、F2，點p是雙曲線上任意一點, a bS 茁PF2一 Fi PF2 -，則b2etan 2【知識點5】直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷：2 2設(shè)直線丨：八kx m（m = 0），雙曲線 篤一爲(wèi)=1（a . 0,b 0）聯(lián)立解得a2 b2（b2 -a2k2）x2 _2a2mkx_a2m2 _a2b2 =022 2b（1 ）若b -ak 0即k，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；a（2）若 b2a2k2 = 0 即 k 時，；：二（2a2mk）24（b2a2k2）