直接證明間接證明與數(shù)學(xué)歸納法（課堂PPT）

1、1 (了解直接證明的兩種基本方法了解直接證明的兩種基本方法分析分析法和綜合法法和綜合法/了解分析法和綜合法的思考了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)過程、特點(diǎn)/了解間接證明的一種基本方了解間接證明的一種基本方法法反證法反證法/了解反證法的思考過程、了解反證法的思考過程、特點(diǎn)特點(diǎn)/了解數(shù)學(xué)歸納法的原理了解數(shù)學(xué)歸納法的原理/能用數(shù)學(xué)歸能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題)11.3 11.3 直接證明、間接證明與數(shù)學(xué)歸納法直接證明、間接證明與數(shù)學(xué)歸納法2 1直接證明中最基本的兩種證明方法是直接證明中最基本的兩種證明方法是 和和 2綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、綜合法是利

2、用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立綜合法簡稱為：綜合法簡稱為： 3分析法的思考過程：從要證明的結(jié)論出分析法的思考過程：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公已知條件、定理、定義、公理等理等)為止為止分析法簡稱為：分析法簡稱為： 綜合法綜合法分析法分析法由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因3 4反證法的思考過程：

3、假設(shè)原命題不成立，反證法的思考過程：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明因此說明 ，從而證明了原命題，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法成立，這樣的證明方法叫反證法應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟：幾個步驟：第 一 步 ， 分 清 命 題第 一 步 ， 分 清 命 題 “ p q ” 的 條 件的 條 件和和 第二步，作出與命題結(jié)論第二步，作出與命題結(jié)論q相矛盾的假設(shè)相矛盾的假設(shè)綈綈q.第三步，由第三步，由p與綈與綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果理方法，推出矛盾結(jié)

4、果第四步，斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于第四步，斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論不真，于是原結(jié)論q成成立，從而間接地證明了命題立，從而間接地證明了命題pq為真為真假設(shè)錯誤假設(shè)錯誤結(jié)論結(jié)論4 5由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法，通常叫做歸納法的推理方法，通常叫做歸納法 6對某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用對某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證明當(dāng)下面的方法來證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第取第1個值個值n0時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)nk k，(k kN*，k kn0)時(shí)命題

5、成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk k1時(shí)，命題也成立，這種證明方法叫時(shí)，命題也成立，這種證明方法叫做做 7用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為：命題時(shí)，其步驟為：(1)歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)n0時(shí)時(shí)命題成立；命題成立；(2)歸納遞推：假設(shè)歸納遞推：假設(shè)nk k，(k kN*，k kn0)時(shí)，命題成立，時(shí)，命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)nk k1時(shí)，命題成立；時(shí)，命題成立；(3)由由(1)(2)得出結(jié)論得出結(jié)論一般結(jié)論一般結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法5 1分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求

6、使結(jié)論成立的步尋求使結(jié)論成立的()A充分條件充分條件 B必要條件必要條件 C充要條件充要條件 D等價(jià)條件等價(jià)條件答案：答案：A6 2如果命題如果命題p(n)對對nk k成立，則它對成立，則它對nk k2也成立若也成立若p(n)對對n2成立，則下列結(jié)成立，則下列結(jié)論正確的是論正確的是()Ap(n)對所有正整數(shù)對所有正整數(shù)n都成立都成立 Bp(n)對所有正偶數(shù)對所有正偶數(shù)n都成立都成立Cp(n)對所有正奇數(shù)對所有正奇數(shù)n都成立都成立 Dp(n)對所有自然數(shù)對所有自然數(shù)n都成立都成立解析：歸納奠基是：解析：歸納奠基是：n2成立歸納遞成立歸納遞推是：推是：nk k成立，則對成立，則對nk k2成立成立

7、p(n)對所有正偶數(shù)對所有正偶數(shù)n都成立都成立答案：答案：B7 3某個命題與自然數(shù)某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若有關(guān)，若nk k(k kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk k1時(shí)該命題時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知也成立，現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那時(shí)，該命題不成立，那么可以推得么可以推得()An6時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 Bn6時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立Cn4時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 Dn4時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立解析：解法一：由解析：解法一：由nk k(k kN*)成立，可推成立，可推得當(dāng)?shù)卯?dāng)nk k1時(shí)該命題也成立因而若時(shí)該命題也成立因而若n4成立，必有成立，必有n5

8、成立現(xiàn)知成立現(xiàn)知n5不成立，所不成立，所以以n4一定不成立一定不成立 解法二：其逆否命題解法二：其逆否命題“若當(dāng)若當(dāng)nk k1時(shí)該時(shí)該命題不成立，命題不成立， 則當(dāng)則當(dāng)nk k時(shí)也不成立時(shí)也不成立”為真，故為真，故“n5時(shí)不成立時(shí)不成立”“n4時(shí)不成立時(shí)不成立” 答案：答案：C8 4如右圖所示，在直四棱柱如右圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅沃?，?dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件滿足條件_時(shí)，有時(shí)，有A1CB1D1.(注：填上你認(rèn)注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形能的情形)解 析 ： 從 結(jié) 論 出 發(fā) ， 找 一 個

9、 使解 析 ： 從 結(jié) 論 出 發(fā) ， 找 一 個 使A1CB1D1成立的充分條件成立的充分條件因而可以是：因而可以是：ACBD或四邊形或四邊形ABCD為為正方形正方形答案：答案：ACBD 9用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式用綜合法證明不等式時(shí)，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐赖慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)在證明時(shí)，常要用到以下證題依據(jù)：據(jù)在證明時(shí)，常要用到以下證題依據(jù)：(1)若若a，bR，則，則|a|0，a20，(ab)20；(2)若若a，b同號，則同號，則 2；(3)若若a，b(0，)，則，則 ；a，bR，則，則a2b22ab.10 【例【例1】設(shè)】設(shè)

10、a0，b0，c0，證明證明： abc.證明：證明：a，b，c0，根據(jù)基，根據(jù)基本不等式，本不等式，有有 b2a ， c2b ， a2c.三式相加：三式相加：abc2(abc)即即 abc.11變式變式1.已知已知a，b，cR，求證：，求證：a2b2c22(abc)3.證明：證明：a2b2c22(abc)3a22a1b22b1c22c1(a1)2(b1)2(c1)20，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立原不等式成立原不等式成立.12 【例【例2】如右圖所示，設(shè)四面體】如右圖所示，設(shè)四面體PABC中，中，ABC90，PAPBPC，D是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)求證求證：PD垂直于垂直于ABC

11、所在的平面所在的平面立體幾何中的很多證明過程都要采用綜合法，證明過程中，要步步為營，環(huán)立體幾何中的很多證明過程都要采用綜合法，證明過程中，要步步為營，環(huán)環(huán)相扣，不可主觀臆造，否則因果不成立，從而導(dǎo)致錯誤環(huán)相扣，不可主觀臆造，否則因果不成立，從而導(dǎo)致錯誤13證明：連結(jié)證明：連結(jié)PD，BD.BD是是RtABC斜邊斜邊上的中線，上的中線，DADBDC.又又PAPBPC，而，而PD為為PAD、PBD、PCD的公共邊，的公共邊，PAD PBD PCD.于是于是PDAPDBPDC，而而PDAPDC90，PDB90.可見可見PDAC，PDBD.ACBDD，PD平面平面ABC.14 變式變式2.在直四棱柱在直

12、四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AA12，底面是邊長為，底面是邊長為1的正方形，的正方形， E、F、G分別是棱分別是棱B1B、D1D、DA的中的中點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：(1)平面平面AD1E平面平面BGF；(2)D1E平面平面AEC.證明：證明：(1)E，F(xiàn)分別是棱分別是棱BB1，DD1的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，BED1F且且BED1F，四邊形四邊形BED1F為平行四邊形，為平行四邊形，D1EBF，又，又D1E平面平面AD1E，BF 平面平面AD1E，BF平面平面AD1E.又又G是棱是棱DA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，GFAD1，又，又AD1平面平面AD1E，GF 平面平面AD1E，GF平面平面AD1E，又，又BF

13、GFF，平面平面AD1E平面平面BGF.15(2)AA12，AD1同理同理AE ，D1E ， D1E2AE2，D1EAE.ACBD，ACD1D，BDD1DD，AC平面平面BB1D1D，又又D1E平面平面BB1D1D，ACD1E，又，又ACAEA，D1E平面平面AEC.16 由有限的特殊事例去發(fā)現(xiàn)問題，得出問題由有限的特殊事例去發(fā)現(xiàn)問題，得出問題的一般結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法給的證明，的一般結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法給的證明，從不完全歸納到利用數(shù)學(xué)歸納法證明展示從不完全歸納到利用數(shù)學(xué)歸納法證明展示了從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的完整的數(shù)學(xué)思了從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的完整的數(shù)學(xué)思維過程維過程17 【例【例3】是否

14、存在常數(shù)是否存在常數(shù)a、b、c使等式使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切對于一切nN*都成立，若都成立，若存在，求出存在，求出a、b、c并證明；并證明；若不存在，試說明理由若不存在，試說明理由解答：假設(shè)存在解答：假設(shè)存在a、b、c使使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切對于一切nN*都成立都成立當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a(bc)1；當(dāng)；當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)當(dāng)n3時(shí)，時(shí)，3a(9bc)19. 解方程組解方程組解得解得18 證明如下：證明如下： 當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，顯然成立，假設(shè)時(shí)，顯然成立，假設(shè)nk k(k kN*，k k1)時(shí)等式成立，時(shí)等式成立

15、， 即即122232k k2(k k1)22212 k k(2k k21)； 當(dāng)當(dāng)nk k1時(shí)，時(shí)， 122232k k2(k k1)2k k2(k k1)22212 k k(2k k21)(k k1)2k k2 k k(2k k23k k1)(k k1)2 k k(2k k1)(k k1)(k k1)2 (k k1)(2k k24k k3) (k k1)2(k k1)21 因此存在因此存在a ，b2，c1， 使等式對一切使等式對一切nN*都成立都成立19 變式變式3.是否存在常數(shù)是否存在常數(shù)a，b，c使等式使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對對一切正整數(shù)一切正整數(shù)

16、n成立？并證明你的結(jié)論成立？并證明你的結(jié)論解答：分別用解答：分別用n1,2,3代入等式得代入等式得解之得解之得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立；時(shí)，由上可知等式成立；(2)假設(shè)假設(shè)nk k(k kN*，k k1)時(shí)等式成立，時(shí)等式成立，20即即1(k k212)2(k k222)k k(k k2k k2) k k4 k k2.則則nk k1時(shí)，左邊時(shí)，左邊1(k k1)2122(k k1)222k k(k k1)2k k2(k k1)(k k1)2(k k1)21(k k2 212)2(k k222)k k(k k2k k2)1(2k k1)2(2

17、k k1)k k(2k k1) k k4 k k2(2k k1)2(2k k1)k k(2k k1)k k4k k2(2k k1) (k k1)4 (k k1)2.當(dāng)當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由由(1)，(2)得知等式對一切的得知等式對一切的nN*均成立均成立21 1分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知靠攏已知 2綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，

18、缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來出來【方法規(guī)律】【方法規(guī)律】22 4應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面幾個步驟：幾個步驟：第一步：分清命題第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論；的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定相矛盾的假定綈綈q；第三步：由第三步：由p和綈和綈q

19、出發(fā)，應(yīng)用正確的推出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定綈于開始所作的假定綈q不真，于是原結(jié)論不真，于是原結(jié)論q成成立，從而間接地證明了命題立，從而間接地證明了命題pq為真為真第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況假定矛盾以及自相矛盾等各種情況23 5(1)在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠

20、基和歸納遞在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk k到到nk k1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化，應(yīng)時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化，應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法 (2)對于證明等式問題，在證對于證明等式問題，在證nk k1等等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過 程對比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對程對比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對于整除性問題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明于整除性問題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明 不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法；證明幾

21、不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法；證明幾何命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清由何命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清由nk k到到n k k1的圖形變化的圖形變化 (3)歸納、猜想、證明屬于探索性問題的歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納，一種，一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納， 然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于明由于“猜想猜想”是是“證明證明”的前提和的前提和“對對 象象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫. 24(本題滿分本題滿分5分分)如果如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余的三個內(nèi)角的余弦值分別等于弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，的三個內(nèi)角的正弦值，則則()AA1B1C1和和A2B2C2都是銳角三角形都是銳角三角形BA1B1C1和和A2B2C2