相量法 復(fù)數(shù)的計算（課堂PPT）

1、第九章第九章相相 量量 法法第九章相量法第九章相量法 教學(xué)重點教學(xué)重點1. 了解復(fù)數(shù)的各種表達式和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的四了解復(fù)數(shù)的各種表達式和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的四則運算。則運算。2. 掌握正弦量的復(fù)數(shù)表示法，以及復(fù)數(shù)掌握正弦量的復(fù)數(shù)表示法，以及復(fù)數(shù)( (相量相量) )形式的歐姆形式的歐姆定律。定律。3. 掌握運用相量法分析計算阻抗串、并聯(lián)的正弦交流電路。掌握運用相量法分析計算阻抗串、并聯(lián)的正弦交流電路。教學(xué)難點教學(xué)難點1掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及各種表達式之間的相互轉(zhuǎn)換。掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及各種表達式之間的相互轉(zhuǎn)換。2掌握運用相量法分析計算正弦交流電路。掌握運用相量法分析計算正弦交流電

2、路。第九章相量法第九章相量法第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運算第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運算第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第五節(jié)復(fù)阻抗的連接第五節(jié)復(fù)阻抗的連接本章小結(jié)本章小結(jié)第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位二、復(fù)數(shù)的表達式二、復(fù)數(shù)的表達式一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位 圖圖 9-1在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 參見圖參見圖 9-1 給出的直角坐標系復(fù)數(shù)平面。在這個復(fù)數(shù)平面給出的直角坐標系復(fù)數(shù)平面。在這個復(fù)數(shù)平面上定義上定義虛數(shù)單位虛數(shù)單位為為1j 二、復(fù)數(shù)的表達式二、復(fù)數(shù)的表達式 圖圖 9-1在

3、復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 一個復(fù)數(shù)一個復(fù)數(shù) Z 有以下四種表達式。有以下四種表達式。1直角坐標式直角坐標式( (代數(shù)式代數(shù)式) ) Z = a + jb式中，式中，a 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的實部實部，b 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的虛部虛部。 在直角坐標系中，以橫坐標在直角坐標系中，以橫坐標為實數(shù)軸，縱坐標為虛數(shù)軸，這為實數(shù)軸，縱坐標為虛數(shù)軸，這樣構(gòu)成的平面叫做樣構(gòu)成的平面叫做復(fù)平面復(fù)平面。任意。任意一個復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示一個復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示出來。例如復(fù)數(shù)出來。例如復(fù)數(shù) A = 3 + j2 在復(fù)平在復(fù)平面上的表示面上的表示如圖如圖 9-1 所示。所示。 圖圖 9-1

4、在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 2三角函數(shù)式三角函數(shù)式 在圖在圖 9-1 中，復(fù)數(shù)中，復(fù)數(shù) Z 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為 ，因此可以寫成，因此可以寫成Z = a + jb = |Z|(cos jsin ) 式中式中 |Z| 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的模模，又稱為，又稱為 Z 的的絕對值絕對值，也可用，也可用 r 表示，表示，即即22ba|Z|r 叫作復(fù)數(shù)叫作復(fù)數(shù) Z 的的輻角輻角，從圖，從圖 9-1 中可以看出中可以看出 )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) Z 的實部的實部 a、虛部、虛部 b 與模與模 |Z| 構(gòu)

5、成一個直角三角形。構(gòu)成一個直角三角形。 3指數(shù)式指數(shù)式 利用歐拉公式，可以把三角函數(shù)式的復(fù)數(shù)改寫成指數(shù)式，利用歐拉公式，可以把三角函數(shù)式的復(fù)數(shù)改寫成指數(shù)式，即即Z =|Z|(cos jsin ) =|Z|ej 4極坐標式極坐標式( (相量式相量式) )復(fù)數(shù)的指數(shù)式還可以改寫成極坐標式，即復(fù)數(shù)的指數(shù)式還可以改寫成極坐標式，即Z =|Z|/ 以上這四種表達式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個式以上這四種表達式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個式子導(dǎo)出其他三種式子。子導(dǎo)出其他三種式子?！纠纠?-1】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標式：】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標式：( (1) )Z1 = 2；( (2) ) Z2

6、= j5；( (3) ) Z 3 = j9；( (4) ) Z4 = 10；( (5) ) Z 5 = 3 j4；( (6) ) Z6 = 8 j6( (7) ) Z7 = 6 j8；( (8) ) Z8 = 8 j6。( (2) ) Z2 = j5 = 5/90 ( (j 代表代表90 旋轉(zhuǎn)因子，即將旋轉(zhuǎn)因子，即將“5”逆時針旋逆時針旋90 ) )( (3) ) Z3 = j9 = 9/ 90 ( ( j代表代表 90 旋轉(zhuǎn)因子，即將旋轉(zhuǎn)因子，即將“9”作作順順 時針旋轉(zhuǎn)時針旋轉(zhuǎn)90 ) )( (4) ) Z4= 10 = 10/180 或或10/ 180 ( (“ ”號代表號代表 180

7、) )( (1) ) Z1= 2 = 2/0 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = a + jb =|Z|/ ， ， = arctan，計算如下：，計算如下：22|baZ ab( (5) ) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 ( (6) ) Z6 = 8 j6 = 10/ 36.9 ( (7) ) Z7 = 6 + j8 = ( (6 j8) )= ( ( 10/ 53.1 ) ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 ( (8) ) Z8 = 8 j6 = ( (8 + j6 ) ) = ( (10/36.9 ) ) = 10/ 180 + 36.9 = 10/ 143.

8、1 。解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 計算：計算：【例【例9-2】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式( (直角坐標式直角坐標式) )：( (1) )Z1= 20/53.1 ；( (2) ) Z2 = 10/ 36.9 ；( (3) ) Z3 = 50/120 ；( (4) ) Z4 = 8/ 120 。( (1) )Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16( (2) )Z2 = 10/ 36.9 = 10(cos36.9 j

9、sin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6( (3) ) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3( (4) )Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928【例【例9-3】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)表示式：】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)表示式：( (1) )Z1= /90 ；( (2) ) Z2 = / 90 ；( (2) ) Z2 =1/ 90 = -j( (1) ) Z1= 1 /90 = j 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)

10、系式 Z = rcos +jrsin ，計算如下：，計算如下：【例【例9-4】將下列復(fù)數(shù)】將下列復(fù)數(shù)A=18-j40改寫成坐標表示式：改寫成坐標表示式：A=44/ 65.8 =-65.8 r=44 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 ， 計算如下：計算如下： 22ba|Z|r )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運算第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)設(shè) Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，復(fù)數(shù)的運算規(guī)，復(fù)數(shù)的運算規(guī)則為則為1加減法加減法 Z1 Z2 = ( (a c) ) + j( (b d)

11、) 2乘法乘法 Z1 Z2 = |Z1| |Z2|/ + 2121ZZZZ 3除法除法 / nnZZ11 4乘方乘方 /n 【例【例9-3】已知】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4試求：試求：( (1) ) Z1 Z2；( (2) ) Z1 Z2；( (3) ) Z1 Z2；( (4) ) Z1 / Z2。解：解：( (1) ) Z1 + Z2 = ( (8 j6) ) + ( (3 + j4) ) = 11 j2 = 11.18/ 10.3 ( (2) ) Z1 Z2 = ( (8 j6) ( (3 j4) ) = 5 j10 = 11.18/ 63.4 ( (3) ) Z1 Z2

12、 = ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 50/16.2 ( (4) ) Z1 / Z2 = ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 2/ 90 第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法正弦量可以用復(fù)數(shù)表示，即可用正弦量可以用復(fù)數(shù)表示，即可用最大值相量最大值相量或或有效值相量有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有用正弦量的有效值作為復(fù)數(shù)相量的模、用初相角作為復(fù)數(shù)相量的輻角。效值作為復(fù)數(shù)相量的模、用初相角作為復(fù)數(shù)相量的輻角。正弦正弦電流電流 i = Imsin( ( t

13、 i) )的相量表達式為的相量表達式為 iII jme2I/ i正弦電壓正弦電壓 u = Umsin( ( t u) )的相量表達式為的相量表達式為uUU jme2 = U/ u 【例【例9-4】把正弦量】把正弦量 u = 311sin( (314t 30 ) ) V，i = 4.24sin( (314t 45 ) ) A 用相量表示。用相量表示。 解：解：( (1) ) 正弦電壓正弦電壓 u 的有效值為的有效值為 U = 0.7071 311 = 220 V，初相初相 u = 30 ，所以它的相量為，所以它的相量為U= U/ u = 220/30 V( (2) ) 正弦電流正弦電流 I 的有

14、效值為的有效值為 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相，初相 i = 45 ，所以它的相量為，所以它的相量為= I/ i = 3/ 45 AI解解: u = sin( ( t 37 ) ) V，i = 5 sin( ( t + 60 ) ) A。 21202【例【例9-5】 把下列正弦相量用三角函數(shù)的瞬時值表達示，把下列正弦相量用三角函數(shù)的瞬時值表達示，設(shè)角頻率均為設(shè)角頻率均為 ： ( (1) ) =120/ 37 V ； ( (2) ) = 5/60 A 。UI解：首先用復(fù)數(shù)相量表示正弦量解：首先用復(fù)數(shù)相量表示正弦量 i1、i2，即，即I1= 3/30 A = 3( (cos30

15、 + jsin30 ) ) = 2.598 j1.5 AI2 = 4/ 60 A = 4( (cos60 jsin60 ) ) = 2 j3.464 A然后作復(fù)數(shù)加法：然后作復(fù)數(shù)加法： I1 + I2 = 4.598 j1.964 = 5/ 23.1 A25最后將結(jié)果還原成正弦量：最后將結(jié)果還原成正弦量：i1 i2 =sin( ( t 23.1 ) ) A【例【例9-6】已知】已知 i1 = sin( ( t 30 ) ) A，i2 = 4 sin( ( t 60 ) ) A。 試求：試求：i1 i2。232第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐

16、姆定律二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律 定義定義復(fù)阻抗復(fù)阻抗為為|Z|/ 其中其中 為阻抗大小，為阻抗大小， = u i 為為阻抗角阻抗角，即，即電壓電壓 u與電流與電流 i 的相位差的相位差。則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律為。則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律為 IUZIUZ IZUZUI 或或圖圖 9-2復(fù)數(shù)形式的歐姆定律復(fù)數(shù)形式的歐姆定律圖圖 9-2 所示為復(fù)數(shù)形式的歐姆定所示為復(fù)數(shù)形式的歐姆定律的示意圖。律的示意圖。 二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗1電阻電阻 R 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗ZR = R = R/ 0 RRIRU

17、 2電感電感 L 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗LLLLLLILIXIZU jj ZL = XL/ 90 = jXL = j L3電容電容 C 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗C 1j ZC = XC/ 90 = j XC = CCCCCCICIXIZU 1jj 第五節(jié)復(fù)阻抗的連接第五節(jié)復(fù)阻抗的連接一、阻抗的串聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)一、阻抗的串聯(lián) 圖圖 9-3 阻抗串聯(lián)電路阻抗串聯(lián)電路 如圖如圖 9-3 所示阻抗串聯(lián)電路。所示阻抗串聯(lián)電路。n 個復(fù)阻抗串聯(lián)可以等效成一個復(fù)阻抗個復(fù)阻抗串聯(lián)可以等效成一個復(fù)阻抗Z = Z1 + Z2 + + Zn例如例如 RLC 串聯(lián)電路可以等效一只阻抗串聯(lián)

18、電路可以等效一只阻抗 Z ，根據(jù)，根據(jù) ZR = R，ZL = jXL，ZC = jXC，則，則 jej)1j()j(ZXRCLRXXRZZZZCLCLR 即即Z =|Z|/ 其中電抗其中電抗 X = XL XC，阻抗大小為，阻抗大小為2222)(CLXXRXRZ 為阻抗角，代表路端電壓為阻抗角，代表路端電壓 u 與電流與電流 i 的相位差，即的相位差，即RXiuarctan 【例【例9-7】 在在 RL 串聯(lián)電路中，已知：串聯(lián)電路中，已知：R = 3 ，L = 12.7 mH，設(shè)外加工頻電壓，設(shè)外加工頻電壓 sin( (314 t 30 ) ) V。試求：電阻和電感上的電壓瞬時值試求：電阻和

19、電感上的電壓瞬時值 uR、uL。2220 u 解：等效復(fù)阻抗解：等效復(fù)阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + j L = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中，其中 XL = 4 ，正弦交流電壓，正弦交流電壓 u 的相量為的相量為220/30 V。電路中電流相量為。電路中電流相量為 U/30 53.1 = 44/ 23.1 A5220 ZUI 電阻上的電壓相量和瞬時值分別為電阻上的電壓相量和瞬時值分別為 IRUR132/ 23.1 VV)1 .23314sin(2132 tuR電感上的電壓相量和瞬時值分別為電感上的電壓相量和瞬時值分別為 IXIZULLLj176/90

20、23.1 = 176/66.9 V V)9 .66314sin(2176 tuL二、阻抗的并聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)阻抗并聯(lián)電路如圖阻抗并聯(lián)電路如圖 9-4 所示。所示。 圖圖 9-4阻抗串聯(lián)電路阻抗串聯(lián)電路 n 只阻抗只阻抗 Z1、Z2、Zn 并聯(lián)電路，對電源來說可以并聯(lián)電路，對電源來說可以等效為一只阻抗，即等效為一只阻抗，即nZZZZ111121 即等效復(fù)阻抗即等效復(fù)阻抗Z的倒數(shù)，等于各個復(fù)阻抗的倒數(shù)之和。的倒數(shù)，等于各個復(fù)阻抗的倒數(shù)之和。為便于表達阻抗并聯(lián)電路，定義復(fù)阻抗為便于表達阻抗并聯(lián)電路，定義復(fù)阻抗 Z 的倒數(shù)叫做的倒數(shù)叫做復(fù)導(dǎo)納復(fù)導(dǎo)納，用符號，用符號 Y 表示，即表示，即 ZY1 導(dǎo)納導(dǎo)

21、納 Y 的單位為西門子的單位為西門子( (S) )。于是有。于是有Y = Y1 + Y2 + + Yn即幾只并聯(lián)導(dǎo)納的等效導(dǎo)納即幾只并聯(lián)導(dǎo)納的等效導(dǎo)納 Y 等于所有導(dǎo)納之和。等于所有導(dǎo)納之和。歐姆定律的相量形式為歐姆定律的相量形式為UYIIZU 或或【例【例9-8】兩個復(fù)阻抗分別是】兩個復(fù)阻抗分別是 Z1 = ( (10 j20) ) ，Z2 = ( (10 j10) ) ，并聯(lián)后接在，并聯(lián)后接在 的交流電源上，的交流電源上，試求：電路中的總電流試求：電路中的總電流 I 和它的瞬時值表達式和它的瞬時值表達式 i 。V )sin(2220tu 解：由解：由 Z1= ( (10 + j20) )

22、可得可得4 .631020arctan 36.2220101221 ，Z由由 Z2 = ( (10 j10) ) 可得可得451010arctan 14.1410102222 ，Z即即Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j10 = 14.14/ 45 由由21111ZZZ 可得并聯(lián)后的等效復(fù)阻抗為可得并聯(lián)后的等效復(fù)阻抗為 2 . 814.146 .2636.224 .1817.316)10j10()20j10()4514.14()4 .6336.22(2121ZZZZZ于是總電流的相量于是總電流的相量A2 . 86 .15A2 . 814.140220 Z

23、UI即即 I = 15.6 A?？傠娏魉矔r值表達式為。總電流瞬時值表達式為 A)28sin(2615.t.i 本章小結(jié)本章小結(jié)本章學(xué)習了應(yīng)用復(fù)數(shù)相量法表示正弦交流電壓、電流、本章學(xué)習了應(yīng)用復(fù)數(shù)相量法表示正弦交流電壓、電流、阻抗，并運用相量法分析計算阻抗串聯(lián)與并聯(lián)電路。阻抗，并運用相量法分析計算阻抗串聯(lián)與并聯(lián)電路。一、復(fù)數(shù)及其運算法則一、復(fù)數(shù)及其運算法則二、正弦量的復(fù)數(shù)表示法二、正弦量的復(fù)數(shù)表示法 三、歐姆定律與復(fù)阻抗三、歐姆定律與復(fù)阻抗一、復(fù)數(shù)及其運算法則一、復(fù)數(shù)及其運算法則1復(fù)數(shù)的表達式復(fù)數(shù)的表達式 ( (1) )直角坐標式直角坐標式( (代數(shù)式代數(shù)式) )：Z = a + jb( (2) ) 三角函數(shù)式：三角函數(shù)式：)0( arctan )jsin(cos2