7-6高階線性微分方程

1、高階線性微分方程 第六節(jié)第六節(jié)二、齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 三、非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) *四、常數(shù)變易法四、常數(shù)變易法 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 第七章 一、概念的引入一、概念的引入例例: :設(shè)有一彈簧下掛一重物設(shè)有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個(gè)初如果使物體具有一個(gè)初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動(dòng)附近作上下振動(dòng).試確定物體的振動(dòng)規(guī)律試確定物體的振動(dòng)規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復(fù)力恢復(fù)力;. 2dtdxR 阻力

2、阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物體自由振動(dòng)的微分方程物體自由振動(dòng)的微分方程,sin ptHF 若受到鉛直干擾力若受到鉛直干擾力pthxkdtdxndtxdsin2222 強(qiáng)迫振動(dòng)的方程強(qiáng)迫振動(dòng)的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階齊次線性微分方程二階齊次線性微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階非齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()

3、()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 問：?jiǎn)枺荷鲜鼋馐峭ń鈫?？上述解是通解嗎?定理定理1 如果函數(shù)如果函數(shù)y1(x)與與y2(x) 是方程是方程y P(x) y Q(x) y 0 的兩個(gè)解，那么的兩個(gè)解，那么y C1 y1(x) C2 y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常數(shù)是任意常數(shù) 齊次線性齊次線性方程解的疊加原理：方程解的疊加原理：證明提示：證明提示： C1y1 C2y2 P(x) C1y1 C2y2 Q(x) C1y1 C2y2 C1y1 P(x)y1 Q(x)y1 C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 0 0 0二、二階齊次線性微分方程

4、的解的結(jié)構(gòu)二、二階齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)說明說明:不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,)(1xy是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解但是但是)()(2211xyCxyCy則則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念線性無(wú)關(guān)概念. 問：?jiǎn)枺荷鲜鼋馐峭ń鈫?？上述解是通解嗎?函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)：函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)： 設(shè)設(shè)y1(x)，y2(x)， ，yn(x)

5、為為 定義在區(qū)間定義在區(qū)間I上的上的n個(gè)函數(shù)如果個(gè)函數(shù)如果 存在存在n個(gè)不全為零的數(shù)個(gè)不全為零的數(shù)k1，k2， ，kn，使當(dāng)，使當(dāng)x I 時(shí)有時(shí)有 k1y1(x) k2y2(x) knyn(x) 0 成立，則稱這成立，則稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上上 線性相關(guān)；否則稱為線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)；否則稱為線性無(wú)關(guān) 定理定理1 如果函數(shù)如果函數(shù)y1(x)與與 y2(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0 的兩個(gè)解，那么的兩個(gè)解，那么y C1y1(x) C2y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常數(shù)是任意常數(shù) 齊次線性齊次線性方程解的疊加原理方程解的疊加原理 例如，

6、例如，1，cos2x ，sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的函數(shù)1，x，x2在任何區(qū)間在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件件: :)(),(21xyxy線性相關(guān)線性相關(guān)存在不全為存在不全為 0 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( ( 無(wú)妨設(shè)無(wú)妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)常數(shù)思考思考: :)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為中有一個(gè)恒為 0, 0, 則則)(),(2

7、1xyxy必線性必線性相關(guān)相關(guān) 例例3 驗(yàn)證驗(yàn)證y1 cos x 與與y2 sin x 是方程是方程y y 0 的線性無(wú)關(guān)解，的線性無(wú)關(guān)解， 并寫出其通解并寫出其通解 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閥1 y1cos x cos x 0，y2 y2sin x sin x 0， 所以所以y1 cos x與與y2 sin x都是方程的解都是方程的解 因?yàn)楸纫驗(yàn)楸萻in xcos x不恒等于常數(shù)，所以不恒等于常數(shù)，所以cos x與與sin x在在 (, )內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的 因此因此y1 cos x 與與y2 sin x 是方程是方程y y 0 的線性無(wú)關(guān)解的線性無(wú)關(guān)解 方程的通解為方程的通解為 y=C1c

8、os x C2sin x 總之，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，如果它們的比為常數(shù)，總之，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，如果它們的比為常數(shù)， 那么它們就線性相關(guān)，否則就線性無(wú)關(guān)那么它們就線性相關(guān)，否則就線性無(wú)關(guān) 例例4 驗(yàn)證驗(yàn)證y1 x 與與y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的線性無(wú)關(guān)解，的線性無(wú)關(guān)解， 并寫出其通解并寫出其通解 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?(x 1)y1 xy1 y100 x x 0(x 1)y2 xy2 y2 (x 1) ex x ex ex 0 所以所以y1 x與與y2 ex都是方程的解都是方程的解 因?yàn)楸戎狄驗(yàn)楸戎礶 xx 不恒為常數(shù)，所以不恒為常數(shù)，所以y1 x 與與y2 ex在在 (, )內(nèi)是

9、線性無(wú)關(guān)的內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的 因此因此y1 x與與y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的線性無(wú)關(guān)解的線性無(wú)關(guān)解 方程的通解為方程的通解為 y=C1x C2e x 如果如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程是方程 y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x)y 0 的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 那么那么 此方程的通解為此方程的通解為 y C1y1(x) C2y2(x) Cnyn(x) 其中其中C1 C2 Cn為任意常數(shù)為任意常數(shù) 推論推論3.3.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): : 我們把方程我們把方程 y P(x)y Q(x)

10、y 0叫做與非齊次方程叫做與非齊次方程 y P(x)y Q(x)y f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 定理定理3 設(shè)設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程是二階非齊次線性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一個(gè)特解，的一個(gè)特解，Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么y Y(x) y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解是二階非齊次線性微分方程的通解 證明提示：證明提示：Y(x) y*(x) P(x) Y(x) y*(x) Q(x) Y(x) y*(x) Y P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y* Q(x)y* 0 f(x) f(x) 例如例如， Y C1cos

11、 x C2sin x 是方程是方程y y 0的通解，的通解， y* x2 2 是是y y x2 的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 因此因此 y C1cos x C2sin x x2 2 是方程是方程y y x2的通解的通解 定理定理4 (疊加原理疊加原理) 設(shè)非齊次線性微分方程設(shè)非齊次線性微分方程 y P(x)y Q(x)y f(x) 的右端的右端 f(x)是兩個(gè)函數(shù)之和是兩個(gè)函數(shù)之和 y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x)， 而而y1*(x)與與y2*(x)分別是方程分別是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x) 與與 y P(x)y Q(x)y f2(x) 的特解，那么的特解，那么

12、y1*(x) y2*(x)的是的是 原方程的特解原方程的特解1212( ),( )( )( )( )( )( )y xyxyP x yQ x yf xy xyx 設(shè)設(shè)是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解，則則是是它它所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解。定理定理5（補(bǔ)充定理）（補(bǔ)充定理）常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;

13、)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān)二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個(gè)解個(gè)解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且且xxyyyyxx21312ee常數(shù)常數(shù)因而線性無(wú)

14、關(guān)因而線性無(wú)關(guān), 故原方程通解為故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為故所求特解為有三有三 三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解-降階法降階法的的一一個(gè)個(gè)非非零零特特解解，是是方方程程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)

15、(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為2211yCyCy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyx

16、cyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系數(shù)行列式系數(shù)行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12

17、212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對(duì)應(yīng)齊方一特解為對(duì)應(yīng)齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為應(yīng)滿足方程組應(yīng)滿足方程組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCy

18、x四、小結(jié)四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容可觀察出可觀察出一個(gè)特解一個(gè)特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解一、一、 驗(yàn)證驗(yàn)證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是