2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第一章-1.2

1、精品文檔 你我共享§1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1命題的概念可以判斷真假、用文字或符號表述的語句，叫作命題其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題2 四種命題及相互關(guān)系3 四種命題的真假關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系4 充分條件與必要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件1 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)“x22x3<0”是命題(×)(2)“sin 45°1”是真命題

2、(×)(3)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”的否命題是三角形的內(nèi)角和不是180°.(×)(4)若一個命題是真命題，則其逆否命題是真命題()(5)“a2”是“(a1)(a2)0”的必要不充分條件(×)(6)若(0,2)，則“sin 1”的充要條件是“”()2 設(shè)a，b是向量，命題“若ab，則|a|b|”的逆命題是()A若ab，則|a|b|B若ab，則|a|b|C若|a|b|，則abD若|a|b|，則ab答案D解析命題“若ab，則|a|b|”的逆命題為“若|a|b|，則ab”，故選D.3 命題“若，則tan 1”的逆否命題是()A若，則tan 1B

3、若，則tan 1C若tan 1，則D若tan 1，則答案C解析命題“若，則tan 1”的逆否命題是“若tan 1，則”，故選C.4 (2013·福建)已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析a3時A1,3，顯然AB.但AB時，a2或3.所以A正確5 (2012·天津)設(shè)R，則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析由條件推結(jié)論和結(jié)論推條件后再判斷若0，則f(x)cos x是

4、偶函數(shù)，但是若f(x)cos(x) (xR)是偶函數(shù)，則也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件.題型一四種命題及真假判斷例1(1)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個命題：p1：|z|2，p2：z22i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1i，p4：z的虛部為1.其中的真命題為()Ap2，p3 Bp1，p2Cp2，p4 Dp3，p4(2)已知命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則下列結(jié)論正確的是()A否命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題B逆命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”是假命題C逆否命題“若m&

5、gt;1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”是真命題D逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題思維啟迪(1)可化簡復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的知識判斷命題真假；(2)利用四種命題的定義判斷四種命題形式是否正確，可利用四種命題的關(guān)系判斷命題是否為真答案(1)C(2)D解析(1)z1i，所以|z|，p1為假命題；z2(1i)2(1i)22i，p2為真命題，1i，p3為假命題；p4為真命題故選C.(2)命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題思維

6、升華(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵；(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假；(3)判斷一個命題為假命題可舉反例(1)命題“若，則cos ”的逆命題是()A若，則cos B若，則cos C若cos ，則D若cos ，則(2)命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是()A若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案(1)C(2)C解析(1)命題“若，則cos ”的逆命題是

7、“若cos ，則”(2)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.題型二充要條件的判定例2已知下列各組命題，其中p是q的充分必要條件的是()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有兩個不同的零點Bp：1；q：yf(x)是偶函數(shù)Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思維啟迪首先要分清條件和結(jié)論，然后可以從邏輯推理、等價命題或集合的角度思考問題，做出判斷答案D解析對于A，由yx2mxm3有兩個不同的零點，可得m24(m3)>0

8、，從而可得m<2或m>6.所以p是q的必要不充分條件；對于B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函數(shù)，但由yf(x)是偶函數(shù)不能推出1，例如函數(shù)f(x)0，所以p是q的充分不必要條件；對于C，當cos cos 0時，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件；對于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.綜上所述，p是q的充分必要條件的是D.思維升華充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷；(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷；(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的

9、等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy1”是“x1或y1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x1且y1”是“xy1”的何種條件(1)(2012·福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，則ab的充要條件是()Ax Bx1Cx5 Dx0(2)設(shè)集合AxR|x2>0，BxR|x<0，CxR|x(x2)>0，則“xAB”是“xC”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案(1)D(2)C解析(1)a(x1,2)，b(2,1)，a·b2(x1)2×12x.又aba

10、·b0，2x0，x0.(2)因為Ax|x2>0x|x>2(2，)，Bx|x<0(，0)，所以AB(，0)(2，)，Cx|x(x2)>0x|x<0或x>2(，0)(2，)即ABC.故“xAB”是“xC”的充要條件. 題型三充分條件與必要條件的應(yīng)用例3(1)函數(shù)f(x)有且只有一個零點的充分不必要條件是()Aa<0 B0<a<C.<a<1 Da0或a>1(2)設(shè)p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C(，0 D(，0)思維啟迪(1)根據(jù)圖像

11、交點先求得f(x)有一個零點的充要條件，再利用“以小推大”(集合間關(guān)系)判定；(2)考慮條件所對應(yīng)集合間的包含關(guān)系答案(1)A(2)A解析(1)因為函數(shù)f(x)過點(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個零點函數(shù)y2xa(x0)沒有零點函數(shù)y2x(x0)與直線ya無公共點由數(shù)形結(jié)合，可得a0或a>1.觀察選項，根據(jù)集合間關(guān)系a|a<0a|a0或a>1，答案選A.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由題意知p是q的充分不必要條件，故有或，則0a.思維升華充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上解題時

12、需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗(1)若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為_(2)已知命題p：實數(shù)m滿足m212a2<7am(a>0)，命題q：實數(shù)m滿足方程1表示的焦點在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為_答案(1)1(2)解析(1)由x2>1，得x<1，或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a1

13、，即a的最大值為1.(2)由a>0，m27am12a2<0，得3a<m<4a，即命題p：3a<m<4a，a>0.由1表示焦點在y軸上的橢圓，可得2m>m1>0，解得1<m<，即命題q：1<m<.因為p是q的充分不必要條件，所以或解得a，所以實數(shù)a的取值范圍是.等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用典例：(12分)已知集合Ay|yx2x1，x，2，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍思維啟迪(1)先對集合進行化簡；(2)將條件間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系；(3)利用集合間的關(guān)系列出關(guān)于m

14、的不等式，求出實數(shù)m的范圍規(guī)范解答解化簡集合A，由yx2x1.配方，得y2.x，ymin，ymax2.y.A.4分化簡集合B，由xm21，得x1m2，Bx|x1m26分命題p是命題q的充分條件，AB.8分1m2，解得m，或m.11分實數(shù)m的取值范圍是.12分溫馨提醒本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵方法與技巧1寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否

15、命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定2充要關(guān)系的幾種判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價法：即利用AB與綈B綈A；BA與綈A綈B；AB與綈B綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充要條件失誤與防范1當一個命題有大前提而要寫出其它三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動2 判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p則q”的形

16、式3 判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：30分鐘)一、選擇題1 命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”答案B解析依題意，得原命題的逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)2 下列命題中為真命題的是()A命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題B命題“若x>1，則x2>1”的否命題C命題“若x1，則x2x20”的否命題D

17、命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題答案A解析對于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因為x>|y|，必有x>y；對于B，否命題：若x1，則x21，是假命題如x5，x225>1；對于C，其否命題：若x1，則x2x20，因為x2時，x2x20，所以是假命題；對于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.3 已知集合Mx|0<x<1，集合Nx|2<x<1，那么“aN”是“aM”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不

18、必要條件答案B解析因為MN，所以aMaN，反之，則不成立，故“aN”是“aM”的必要而不充分條件故選B.4 與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”等價的命題是()A若a，b，c成等比數(shù)列，則b2acB若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2acC若b2ac，則a，b，c成等比數(shù)列D若b2ac，則a，b，c不成等比數(shù)列答案D解析因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac”等價的命題是“若b2ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”5 已知向量a(m2，9)，b(1，1)，則“m3”是“ab”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A

19、解析當m3時，a(9，9)，b(1，1)，則a9b，所以ab，即“m3”“ab”；當ab時，m29，得m±3，所以不能推得m3，即“m3”D/“ab”故“m3”是“ab”的充分不必要條件6有設(shè)a，bR，i是虛數(shù)單位，則“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案B解析復(fù)數(shù)aabi為純虛數(shù)，則a0，b0，而ab0表示a0或b0，故“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選B.7 給出命題：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中，真命題的個數(shù)是()A3

20、B2 C1 D0答案C解析原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題；它的逆命題為“若函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)”，顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中真命題只有1個8 函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是()Am2 Bm2 Cm1 Dm1答案A解析已知函數(shù)f(x)x22x1的圖像關(guān)于直線x1對稱，則m2；反之也成立所以函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是m2.二、填空題9 若命題“ax22ax3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案3,0解析ax22ax3

21、0恒成立，當a0時，30成立；當a0時，得，解得3a<0，故3a0.10“若ab，則ac2bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中正確命題的個數(shù)是_答案2解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題11“x”是“向量a(x2,1)與向量b(2,2x)共線”的_條件答案充分不必要解析若a(x2,1)與b(2,2x)共線，則有(x2)(2x)2，解得x±，所以“x”是“向量a(x2,1)與向量b(2,2x)共線”的充分不必要條件12若x<m1或x>m1是x22x3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_答案0,2解析由已知易得x|x22

22、x3>0x|x<m1或x>m1，又x|x22x3>0x|x<1或x>3，或，0m2.B組專項能力提升(時間：15分鐘)1 若集合Ax|2<x<3，Bx|(x2)(xa)<0，則“a1”是“AB”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析當a1時，Bx|2<x<1，滿足AB；反之，若AB，只需a2即可，故“a1”是“AB”的充分不必要條件2 命題“函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，k為實數(shù))，且f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)”是真命題，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析當k1時，f(x)ex1213，則f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿足題意，應(yīng)排除A；當k時，f(x)ex2123，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿足題意，應(yīng)排除B；當k1時，