傳染病傳播及預防的數學模型

1、傳染病傳播及預防的數學模型摘要：隨著社會和經濟的發(fā)展，醫(yī)學水平能力漸漸得到提高，現今社會的醫(yī)學水平已經能夠有效地預防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。人們也認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。通過建立傳染病的傳播模型，可以了解傳染病的擴散傳播規(guī)律，為預測和控制傳染病提供可靠、足夠的信息。傳染病病毒是隨時間演變的過程。本文以微分方程的SIR模型為基礎，分析傳染病的擴散傳播規(guī)律，建立動態(tài)模型。應用傳染病動力學模型來描述疾病發(fā)展變化的過程和傳播規(guī)律，預測疾病發(fā)生的狀態(tài)，評估各種控制措施的效果，為預防控制疾病提供最優(yōu)決策依據,

2、 維護人類健康與社會經濟發(fā)展。通過人數的規(guī)劃，建立了傳染病的微分方程模型，并用matlab軟件擬合出患者人數隨著時間的變化的關系曲線，利用控制變量的方法，控制某些變量不變，改變其中某個變量，通過比較找出導致傳染病的傳染的主要因素，以便做出相應的措施。本模型的關鍵在于把確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人劃分成可傳染者和不可傳染者兩類人，輔加一些特殊的參數，如：傳染率，治愈率等等，構成微分方程組，找出單位時間內正常人人數的變化，確診患者人數的變化，疑似患者人數的變化，死亡者或治愈者（即退出系統(tǒng)者）的人數的變化，從而建立了微分方程模型。在模型建立的基礎上，通過matlab軟件擬合出患者人數隨時

3、間變化的曲線關系圖，分析圖形，得出結果，從而找到解決問題的響應措施。關鍵詞：動力學模型 微分方程模型 控制變量 matlab軟件一、問題重述已知某種不完全確知的具有傳染性病毒的潛伏期為到，病患者的治愈時間為天。該病毒可通過直接接觸、口腔飛沫進行傳播、擴散，該人群的人均每天接觸人數為r。為了控制病毒的擴散與傳播將該人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制參數是隔離措施強度p（潛伏期內的患者被隔離的百分數）。通過合理的假設建立傳染病傳播的數學模型。二、問題分析據題目意思，這是一個傳染性病毒隨著時間演變的過程，我們要分析、預測、研究它就得建立動態(tài)模型，在此我們選用微分方程。因題

4、目中把人群分為五類：確診患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我們采用SIR模型。模型中我們找出單位時間內這五類人群人數的變化來建立微分方程，得出模型。再利用matlab畫出圖形，加以分析，達到得出應對措施的目的。把考察范圍內的人群分為以下種類：1、 健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。記其數量為S(t),表示t時刻未感染病但有可能感染該疾病的人數；2、 潛伏期人群，即被感染（Infection）該疾病的人群，記其數量為I(t) 表示t時刻可能感染該疾病的但又不是疑似病患的人數；3、 疑似病患，記其數量為E(t) 表示示t時刻感染該疾病的并是疑似病患的人數；4、 確診病患,

5、記其數量為Q(t) 表示示t感染該疾病并確診為患者的人數；5、 恢復人群（Recovered）,記其數量為R(t)，表示t時刻已從感染病者中移出的人數（這部分人數既不是已感染者，也不是非感染者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已經推出了傳染系統(tǒng)）?；谝陨系募僭O，健康人群從潛伏期到移出傳染系統(tǒng)的過程圖如下：疑似患者確診患者正常人(易感染人群)恢復人群死亡醫(yī)院醫(yī)務人員感染感染該疾病治愈社會交往三、 模型假設1. 假設易感人數的變化率與當時的易感人數和感染人數的乘積成正比;2. 假設從感染數中移除個體的速率與當時的感染人數成正比;3. 假設考察地區(qū)內疾病傳播期間忽略人口的出生，死亡，流動等種群

6、動力因素對總人數的影響。即：總人口數不變,記為N。4. 假設潛伏期人群不會傳染健康人，不具有傳染性。5. 假設被隔離的患者無法跟別人接觸，不會傳染健康人。6. 假設治愈者已對該病毒有免疫力，不會再被該傳染病傳染，可以退出系統(tǒng)7. 假設初始時刻健康人群的總人數為=1.1千萬,潛伏期的總人數為=1，疑似病患的總人數為=0，確診病患的總人數為=0，恢復人群的總人數為=0。四、符號說明病毒潛伏期（天） 病患者治愈時間（天） 病患人均每天接觸人數 r隔離措施強度 p時刻t內健康人群 S(t)時刻t內潛伏期人群 I(t)時刻t內病癥疑似人群 E(t)時刻t內已患病人群 Q(t)時刻t內治愈或死亡人群 R(

7、t)傳染病傳染率 五、建立模型由模型的假設得到如下關系：S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N1） 根據假設在時刻內健康人群變化有： 2） 在時刻內治愈或死亡人群的變化有：（為單位時間內患者的恢復率）3） 在時刻內病癥疑似人群的變化有：4） 在時刻內已患病人群的變化有（已患病人群等于潛伏期病人轉為感染者減去移除人數）：5） 在時刻內潛伏群期人群的變化有： （為單位時間內潛伏期病人轉為感染者的比例常數）根據以上變化有六、模型的求解與驗證模型一分析：當，患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離。有初始狀態(tài)的患者人數為：，則患者人數隨時間變化如圖一：t=250,y=115.5535由上

8、圖可以得到：在當，患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離的條件下。當時，患者的人數是急劇上升的，在t=13.0971達到最大值，此時患者人數為y=228669.8722在采取醫(yī)療措施，比如患者入院治療，隔離疑似患者等后患者人數隨著時間的增長呈現下降的趨勢，在250天后患者人數為115.5535。模型二分析：當，患者1.5天后入院治療，疑似患者1.5天后被隔離。有初始狀態(tài)的患者人數為：，則患者人數隨時間變化如下圖二：t=250,y=26.5958由上圖可得：在當，患者1.5天后入院治療，疑似患者1.5天后被隔離的條件下。當時，患者的人數是急劇上升的，在t=13.3715達到最大值，此時患者人數

9、為y=52851.3637在采取醫(yī)療措施，比如患者入院治療，隔離疑似患者等后患者人數隨著時間的增長呈現下降的趨勢，在250天后患者人數為26.5958。模型三分析：當，患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離。有初始狀態(tài)的患者人數為：，則患者人數隨時間變化如下圖三：t=250,y=126.5086由上圖可得：在當，患者2天后入院治療，疑似患者2天后被隔離的條件下。當時，患者的人數是急劇上升的，在t=14.324達到最大值，此時患者人數為y=228870.1396在采取醫(yī)療措施，比如患者入院治療，隔離疑似患者等后患者人數隨著時間的增長呈現下降的趨勢，在250天后患者人數126.5086。表1 各

10、個參數對應的數值問題最大值時間患病人數最大值隔離措施強度P患者入院前天數n人均每天接觸人數r250天后患病人數第二問13.0971228669.87220.6220115.5535第三問13.371552851.36370.61.52026.5958第四問14.324228870.13960.4220126.5086從上表可以看出，1.當隔離強度一樣的時，患者入院的開始時間將在一定時間內影響到患病人數。明顯可以看出，患者2天后入院與1.5天后入院相比，患者的治療時間延長了，而且患病的人數也增多。因此相關部門應及時將病人隔離并治療。2.當患者入院開始時間一樣時，隔離措施強度將影響到患病人數達到最

11、大時的時間長短。可以看出，隔離措施強度降低后，患者人數相對偏高。因此相關部門應該加強隔離措施強度，提高警惕。從上述兩個參數取值變化分析可知，“得病后入院時間”與“隔離措施強度”對于傳染病疫情態(tài)勢發(fā)展，具有很大的敏感性與相關性，其中得病后的患者幾時去醫(yī)院治療，對于疫情的控制具有更重要的意義。所以，“早發(fā)現、早隔離、早治療”，能夠幫助我們有效地、較快地控制傳染病的擴散與傳播。當患者入院開始時間一樣，隔離強度不一樣時，患者人數隨時間的變化如下圖四：當隔離強度一樣的時，治療時間不同的患者人數隨時間的變化。如圖五：六模型分析與評估本模型中采用微分方程的模型，對傳染病傳播做出合理假設，并對其得過擬合，得出

12、傳染病的發(fā)展趨勢，可以有效預報傳染病高潮到來的時刻，對群眾接受傳染病的預防知識起到很好的警示作用。但模型中的參數都具有隨機性，所以得出的結果還是會有誤差的存在，不能準確預報每次傳染病高潮的到來的準確時間，只能限定在一定時間內。本模型建立的傳染病模型因能有效地預報傳染病高潮到來的時刻，所以在現實生活中可以得到進一步的應用，特別是對現今社會中的傳染病的爆發(fā)跟流行有很好的控制作用。七、模型應用根據以上建立的模型可以得到：病毒傳播控制的建議和措施：根據以上建模的結果分析，我們明確了要制止傳染病的蔓延主要手段有：提高醫(yī)院的醫(yī)療水平和衛(wèi)生水平，加強醫(yī)療工作人員的效率，這樣可以提高隔離強度，減少入院時間。對

13、此，政府需要積極采取措施來控制傳染病的傳播，及早發(fā)現被傳染的人員，將其隔離，切斷傳染病傳播的途徑?？梢圆扇〉拇胧┯校?.控制傳染源 防止傳染源到處活動排出病原體傳播他人，應該將他們隔離看護，直到完全康復。2.切斷傳播途徑 加強公共場所的管理（如公共廁所，商場，娛樂場所等）；建筑物通風條件的改善;3.保護易感人群加強易感人群的個人衛(wèi)生意識，號召他們接種疫苗，防止傳染病的感染，提高自身的免疫力。八、參考文獻【1】數學建模簡明教程 戴朝壽 孫世良 編著【2】數學建模方法及其應用 解放軍信息工程大學 韓中庚九、附錄模型一：圖一：MATLAB的.m文件function x=illness(t,x)%S=

14、x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429;p=0.6;d3=30;d2=14;d1=1;x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)'MATLAB源代碼：s0=900*(0.9997*20)2,500,900,0,2000t,x=ode23s(illness,0,250,s0);y_max

15、,i_max=max(x(:,3)t_text='t=',num2str(t(i_max);y_text='y=',num2str(y_max);max_text=char('maximum',t_text,y_text);%生成標志最大值點的字符串y=num2str(x(end,3)plot(t,x(:,3);hold onplot(t(i_max),y_max,'r','MarkerSize',20);text(t(i_max)+0.3,y_max+0.05,max_text);xlabel('t

16、9;),ylabel('y'),hold off模型二：圖二：function x=ill3(t,x)%S=x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429;p=0.6;d3=30;d2=14;d1=1;x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)'MATLAB源程序：s0=900

17、*(0.9997*20)1.5,500,900,0,2000t3,x3=ode23s(ill3,0,250,s0);y_max3,i_max3=max(x3(:,3)t_text3='t=',num2str(t3(i_max3);y_text3='y=',num2str(y_max3);t_end3='t=',num2str(t3(end);y_end3='y=',num2str(x3(end,3);max_text3=char('maximum',t_text3,y_text3);%生成標志最大值點的字符串y3=

18、num2str(x3(end,3)plot(t3,x3(:,3);hold onplot(t3(i_max3),y_max3,'r','MarkerSize',20);text(t3(i_max3)+0.3,y_max3+0.05,max_text3);xlabel('t'),ylabel('y'),hold off模型三：圖三：MATLAB中.m文件function x=ill4(t,x)%S=x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429;p=0.4;d3=30;d2=14;d1=1;x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)'MATLAB源程序：s0=900*(0.9997*20)2,500,900,0,2000t4,x4=ode23s(ill4,0,250,s0);y_max4,i_max4=max(x4(:,3)t_text4='t=',num2str(t4(i_