小波分析考試題

1、小波分析試題適用范圍：碩士研究生時 間：2013年6月一、名詞解釋(30分)1、線性空間與線性子空間解釋：線性空間是一個在標量域(實或復)F上的非空矢量集合 V;設V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件(1)如果x>y VI,則x+ y V1;(2)如果V1,K,則kx V1, 則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。2、基與坐標解釋：在n維線性空間V中，n個線性無關的向量 .,；2,., ；n，稱為V的一組基；設：是中任一向量，于是1, ；2,., ；n線性相關，因此可以被基；1, ；2，；n, 線性表出：1,；2，；n,二a1；1*1；2. an；

2、n其中系數(shù)a1,a1,., an是被向量和基1, ；2,., ；n唯一確定的，這組數(shù)就稱為在基下的坐標，記為(a1, a1，an )。3、內(nèi)積解釋：內(nèi)積也稱為點積、點乘、數(shù)量積、標量積。x = (x!,x2,.,XnT, y = (%, y2,.,yn T, 令 x, = x1y1 x2y2 . xnyn，稱 x,y 】為 x 與 y 的內(nèi)積。4、希爾伯特空間解釋：線性 完備的內(nèi)積空間稱為 Hilbert 空間。線性(linearity):對任意f , g H,a, b R, a*f+b*g 仍然 H。完備(completeness ):空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。內(nèi)積(inner

3、 product ) ： <f, g>,它滿足：f =：f，f?,.J , g =Ig1,g2,.,gn ? 時 x,y= X1y1 X22. xm。5、雙尺度方程解釋： (t)VoVi,(t)Wov所以(t)和*(t)都可以用Vi空間的一個基-(2t-k)z 線性表示：(t)hi (2t-k) () (t)八 gk':(2t-k)(2)kk()=h (與)忌2)(3= g (號)#冷)(41 1并且有 h ()二、hke 出一(5 ,g CO 二 '、gke*' (6)，其中(3 )、( 4)即為雙2 k2 k尺度方程。二、簡述小波的定義及其主要性質(zhì)(10

4、分)答：小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具 有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier 變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數(shù))逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。小波性能除了正交性以外還有光滑性、緊支性、衰減性、對稱性以及消失矩和時頻窗面積。三、簡述小波理論的發(fā)展，并結合你所研究的領域，對小波理

5、論在該領域的應用 及發(fā)展進行綜述。(10分)答：1807年，F(xiàn)ourier提出傅里葉分析 ，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論” 論文；1910 年Haar提出最簡單的小波；1980,年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘 探；1985年，Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮； 1988年，Mallat 提出的多分辨分析理論( MRA； Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小 波包的概念?；跇訔l函數(shù)的單正交小波基由崔錦泰和王建忠在1990年構造出來。1992年A. Cohe n, I. Daubechhies等人構造出了

6、緊支撐雙正交小波基近年來，一種簡明有效的構造小波基的方法-提升方案(LiftingScheme)得到很大的發(fā)展和重視，利用提升方案構造的小波被認為是第二代小波。Goodman, Lebrun等人提出的多小波 (Multi-wavelet) 理論，Can des和Donoho等提出的脊小波(Ridgelet )和曲小波(Curvelet) 理論，等等。四、簡述連續(xù)小波變換的過程。(10分)答：可分成5個步驟， 步驟1:把小波和原始信號的開始部分進行比較；步驟 2:計 算系數(shù)c。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù)c的值越大表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c可以反映這種波形的相關程度；步驟3:

7、把小波向右移，距離為 ，得到的小波函數(shù)為，然后重復步驟1和2。再把小波向右移，得到小波，重復步驟1和2。按上述步驟一直進行下去，直到信號結束；步驟4:擴展小波 ，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為；步驟5:重復步驟14。五、闡述多分辨分析的思想并給出MALLA算法的表達式。(10分)答：Meyer于1986年創(chuàng)造性地構造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構成L2 (R )的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構造正交小波基時提出了多分辨分析(Multi-Resolution An alysis)的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的

8、所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間L2 ( R)中的多分辨分析是指L2 ( R)滿足如下性質(zhì)的一個空間序列VjZ :( 1)單調(diào)性： V4 V0 V1；(2)逼近性：Vj=C, Vj=L2(R)；jriZj Z(3)伸縮性：f(t)Vj= f (2tbVj 1；(4)平移不變性：f(t)Vj=f(t-1)Vj，k Z ；( 5)存在函數(shù)g(t) V。，使得g(t -k)k Z構成V。的Riesz基。滿足上述個條件的函數(shù)空間集合成為一

9、個多分辨分析，如果g(t)生成一個多 分辨分析，那么稱 g(t)為一個尺度函數(shù)。 關于多分辨分析的理解，我們在這里以一個三層的分解進行 說明，其小波分解樹如圖所示。從圖可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關系為 L2(R) =0 Vjl"：Vj ：-!：Vj 1。另外強調(diào)一點這 里只是以一個層分解 進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下再分解以此類推。在理解多分解分析時，我們必須牢牢把握一點：其分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近l2(r)空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基

10、相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹型結構圖可以看出，多分辨分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。Mallat算法：通過下面公式 和(2)，可以很快計算出尺度系數(shù)和小波系數(shù) cj,k,dj,k ，因此，只要確定Vj空間的初始序列Cj,kkZ，就可以算出任意空間系數(shù)和小波系數(shù)。公式(1 )和(2)稱為離散小波變換的分解公式。Vj(j<J)的所有尺度7亠teZ這就是Mallat重構算法:DB3小波函數(shù)，進行六、(10分)基于MATLAB請自行選擇一個一維信號，采用 3尺度的分解與重構。要求(1) 附上源程序；(2) 繪出原始信號以及分解、重構的結果圖。答：

11、(1)源程序Load leleccum;S=leleccum(1:100);W= db3'Subplot(621);Plot(s);Title(原始程序)；Dwtmode;lcazpd,cdzpd=dwt(s,w);Lxtzpd=2*le ngth(cazpd) Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot(xzpd); ITitle( zpd模式重構圖);Dwtmode( sym' );casym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*le ngth(caspd) Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx);

12、Subplot(625);plot(xsym);Title( sym模式重構圖);Dwtmode (' spd ');Lxtzpd=2*le ngth(caspd) Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx);Subplot(626);plot(xspd); |(2)原始信號以及分解、重構的結果圖原始圖據(jù)粗造圖像1七、給出一個小波分析用于圖像壓縮的應用實例。(10分)答：圖像壓縮可按如下程序進行處理clcclearX= imread ('5.jpg'); % 讀入圖像figure;image(X);title('原始圖像');disp

13、('壓縮前圖像X的大小：');whos(X)c,s=wavedec2(X,3,'db5');%寸圖像用db5小波進行3層小波分解%取第二層低頻高頻系數(shù)ca仁 appcoef2(c,s,'db5',1);%提取低頻系數(shù)他取小波分解結構中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)ch1=detcoef2('h',c,s,1);%水平方向cv仁 detcoef2('v',c,s,1);%垂直方向cd仁 detcoef2('d',c,s,1);%斜線方向%分別對各頻率成分進行重構a仁 wrcoef2('a',

14、c,s,'db5',1);h仁 wrcoef2('h',c,s,'db5',1);v仁 wrcoef2('v',c,s,'db5',1);d仁 wrcoef2('d',c,s,'db5',1);c1=a1,h1;v1,d1;%顯示分解后第一層各頻率成分的信息figure;c1=ui nt8(c1);image(c1);title('分解后低頻和高頻信息');%下面進行圖像壓縮處理%保留小波分解第一層低頻信息，進行圖像的壓縮%第一層的低頻信息即為ca1，顯示第一層的低頻

15、信息%首先對第一層信息進行量化編碼ca1= appcoef2(c,s,'db5',1);ca仁 wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改變圖像的高度ca1= 0.25*ca1;figure;ca1= ui nt8(ca1*2.5);image(ca1);title('第一次壓縮的圖像');disp('第一次壓縮圖像的大小為：');whos('ca1')%保留小波分解第二層低頻信息，進行圖像的壓縮，此時壓縮比更大%第二層的低頻信息即為ca2，顯示第二層的低頻信息ca2=appcoef2(c,s,

16、9;db5',2);%首先對第二層信息進行量化編碼ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);液變圖像的高度ca2=0.125*ca2;figure;ca2=ui nt8(ca2*4.5);image(ca2);title(' 第二次壓縮后的圖像');disp('第二次壓縮圖像的大小為：');whos('ca2')ca3=appcoef2(c,s,'db5',3);%首先對第二層信息進行量化編碼ca3=wcodemat(ca3,440,'mat',0);液變圖像的高度ca3=

17、0.125*ca3;figure;ca3=ui nt8(ca3*4.5);image(ca3);title(' 第三次壓縮后的圖像');disp('第三次壓縮圖像的大小為：');whos('ca3')MATLAB顯示結果壓縮前圖像X的大小：Name SizeBytes Class AttributesX 768x1024x32359296 uint8第一次壓縮圖像的大小為：Name SizeBytes Class Attributesca1 388x516x3600624 uint8第二次壓縮圖像的大小為：Name SizeBytes Class Attributesca2 198x262x3155628 uint8第三次壓縮圖像的大小為：Name SizeBytes Class Attributesca3 103x135x341715 uint81002(X)30040050D600原始圖傑1G0200300400500600T008009001000700分解啟低頻和高頻信息10)0120014002DD 4006009001000 1200 14W) 1600 1800 2