數(shù)學(xué)中的美原

1、數(shù) 學(xué) 中 的 美郭會(huì)才 指導(dǎo)教師 董永權(quán) 副教授摘 要隨著教育與娛樂(lè)的發(fā)展，將有更多的人欣賞音樂(lè)與繪畫(huà)。但是，能夠真正欣賞數(shù)學(xué)的人數(shù)是很少的。藝術(shù)追求美，數(shù)學(xué)也追求美，數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一種，數(shù)學(xué)不但體現(xiàn)了科學(xué)美也體現(xiàn)了藝術(shù)美。數(shù)學(xué)在其知識(shí)內(nèi)容、形式上等方面具有自身的許多獨(dú)特美，因此數(shù)學(xué)美是生動(dòng)的、具體的、形象的。這篇文章主要以高中數(shù)學(xué)為背景，探討了數(shù)學(xué)美的三個(gè)主要方面：數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、數(shù)學(xué)的和諧美。其中，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美分為數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔、數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔、數(shù)學(xué)證明的簡(jiǎn)潔、數(shù)學(xué)結(jié)論的簡(jiǎn)潔四部分；數(shù)學(xué)的對(duì)稱美分為：幾何中的對(duì)稱美，代數(shù)中的對(duì)稱美兩部分；數(shù)學(xué)的和諧美分為：數(shù)學(xué)從不和諧走向和

2、諧,數(shù)學(xué)比例的和諧美, 數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美三部分。并在其中相應(yīng)的列舉了例子來(lái)加以說(shuō)明論證。數(shù)學(xué)中的美無(wú)處不在，只要認(rèn)真觀察細(xì)心體會(huì)，數(shù)學(xué)就會(huì)把它的美主動(dòng)的無(wú)私的呈現(xiàn)出來(lái)，那時(shí)數(shù)學(xué)就不再枯燥無(wú)味。關(guān)鍵詞 簡(jiǎn)潔美 對(duì)稱美 和諧美正文 前 言作為一門(mén)科學(xué)，數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)就是它的真，真中見(jiàn)美，如果公正地看，數(shù)學(xué)包含的不僅是真理，也是無(wú)上的美 一種冷峭而嚴(yán)峻的美，恰像一尊雕刻一樣。感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺(jué)到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺(jué)。數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的美的因素是深廣博大的，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)、形、式，數(shù)的美，形的美，式的美，隨處可見(jiàn)，它的表現(xiàn)形式主要有簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱

3、美、和諧美。一、簡(jiǎn) 潔 美世界原本就是簡(jiǎn)潔的，簡(jiǎn)潔是一種美。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性決定它必須精煉、簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美體現(xiàn)在以下四方面：、數(shù)學(xué)概念是簡(jiǎn)潔的。數(shù)學(xué)概念敘述語(yǔ)言的高度概括，可以說(shuō)它的語(yǔ)言精煉到“一字千金”的程度。精煉準(zhǔn)確的概念多一個(gè)字就有種煩瑣感，去掉一個(gè)字就有歧義或錯(cuò)誤。比如向量的定義是“既有大小又有方向的量?！比缭凇凹取鼻凹由稀拔覀兎Q”或在“大小”后加上“的”則有煩瑣感；若去掉“既-又-”則敘述就有表達(dá)不清的歧義感。數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔是一種精煉的簡(jiǎn)單，憑借這些簡(jiǎn)單而精煉的語(yǔ)言能夠刻畫(huà)復(fù)雜的現(xiàn)象，如“函數(shù)”這個(gè)簡(jiǎn)潔的概念能刻畫(huà)出這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：設(shè)、兩個(gè)非空集合，是從到的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，則到上的

4、映射：稱為到上的函數(shù)。其它數(shù)學(xué)概念也是簡(jiǎn)潔、精煉的，如果試著加上或去掉任一個(gè)字通過(guò)仔細(xì)推敲、琢磨就會(huì)發(fā)現(xiàn)此定義不再簡(jiǎn)潔或準(zhǔn)確。在空間幾何里，兩條直線有以下三種位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3）異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)誰(shuí)能否定這樣的敘述不簡(jiǎn)練準(zhǔn)確？數(shù)學(xué)規(guī)律、性質(zhì)等的表述也是如此。如排列組合中的分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類(lèi)辦法，在第類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第類(lèi)辦法中有種不同的方法在第類(lèi)辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法、數(shù)學(xué)符號(hào)是簡(jiǎn)潔的。符號(hào)是最簡(jiǎn)潔的文字，其表達(dá)的內(nèi)容豐富而廣泛，數(shù)學(xué)就是用簡(jiǎn)潔的符號(hào)表現(xiàn)

5、復(fù)雜的事物，也正是這些簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)才使書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算、推理等更方便更快捷。比如“兩條直線平行”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為“”,直線和平面垂直用“”表示,“直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”用數(shù)學(xué)符號(hào)寫(xiě)成“”等。數(shù)學(xué)符號(hào)的特有的美感有時(shí)比漢字更具魅力。歐拉公式：e=,把實(shí)數(shù)域中看不出有任何關(guān)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起，其特例e+=把、五個(gè)重要常量簡(jiǎn)單巧妙地結(jié)合在一起，絕對(duì)耐人尋味。三角函數(shù)中數(shù)學(xué)sin+cos=.把三角和實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，建立了各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和橋梁。符號(hào)是數(shù)學(xué)科學(xué)抽象化程度的高度表現(xiàn)。另外，數(shù)學(xué)圖形中的點(diǎn)、線、面、體也是對(duì)客觀事物的抽象

6、概括，也是簡(jiǎn)潔實(shí)用的。比如著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”最終也是通過(guò)數(shù)學(xué)手段巧妙地將實(shí)際問(wèn)題抽象簡(jiǎn)化到數(shù)學(xué)中的一筆畫(huà)問(wèn)題而解決的。用點(diǎn)代表河岸和小島，用線代表橋，于是得到下面一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，如圖 圖（）、數(shù)學(xué)證明是簡(jiǎn)潔的。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔也體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)答案的獲得上力求一種簡(jiǎn)潔的方式。對(duì)于完全平方式的推導(dǎo)可以通過(guò)面積法來(lái)證明。也就是大正方形的面積等于四個(gè)小矩形的面積的和。圖（）學(xué)數(shù)學(xué)的人常有這樣的經(jīng)歷：面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的難題冥思苦想，不得其解，突然靈感突發(fā)思路頓悟，就是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的轉(zhuǎn)換一下思路而已，不絕稱贊數(shù)學(xué)的靈活多變和方法的巧妙。數(shù)學(xué)思維是邏輯美和簡(jiǎn)潔美。比如：求證，不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為

7、整數(shù)。分析：此題如果用直接證法將會(huì)是非常煩瑣的，需要無(wú)窮性的列舉兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，再驗(yàn)證其乘積與和不能同時(shí)為整數(shù)，而換用一種簡(jiǎn)潔的靈活的方法即間接證法。證明：假設(shè)存在兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)和,且+=為整數(shù)，·=為整數(shù)，那么 和 ,應(yīng)為方程 +的兩個(gè)根。于是有 （）·+=0,從而有 =·· (*) , , 均為整數(shù)， (*)式右端為整數(shù)，但是，與互質(zhì), 與也互質(zhì)，(*)左端不可能為整數(shù)，因此，得出了矛盾，所以不存在這樣的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為整數(shù)。此例充分可以說(shuō)明數(shù)學(xué)證明語(yǔ)言的簡(jiǎn)練與精確，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯體系的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性。、數(shù)學(xué)結(jié)論是簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)通過(guò)簡(jiǎn)潔的證

8、明得到的結(jié)果也給人簡(jiǎn)潔之美，如：=；，圓標(biāo)準(zhǔn)方程等等。解數(shù)學(xué)題時(shí),當(dāng)面對(duì)一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)冥思苦想最終獲得一個(gè)簡(jiǎn)潔而完美的答案時(shí),那種心情將是非常愉快的，解數(shù)學(xué)題可以培養(yǎng)人的性格，陶冶人的情操。比如由一組算式：通過(guò)觀察分析，可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：把拆開(kāi)，中間插入，插入的個(gè)數(shù)比第一個(gè)因式的個(gè)數(shù)少個(gè)，那么利用這個(gè)規(guī)律可以輕松地解答出下列算式：，。二、對(duì) 稱 美對(duì)稱和美緊密相連，具有對(duì)稱的東西給人以圓滿的勻稱美感與精神享受。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美很普遍。 、幾何中的對(duì)稱美。 在平面幾何中有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，正方形、圓形、等腰三角形都是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，圓是最美的平面圖形；在立體幾何中的正方體、長(zhǎng)方體、

9、正四面體都是對(duì)稱的幾何體，球在各個(gè)方面都是對(duì)稱的，是一切立體幾何中最美的圖形。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形在日常生活中的應(yīng)用比比皆是，都給人以完美的藝術(shù)享受。比如：幾何中的海倫公式便是以對(duì)稱形式出現(xiàn)的：=,它是那么的耐人尋味，既然把作為一個(gè)因子，那么一定也要把請(qǐng)出來(lái)，可是的單位取算術(shù)根后，得不出面積的單位，怎么辦？只要在號(hào)下再乘上一個(gè)，但乘上那條邊呢？乘上？乘上？乘上？都不行，因?yàn)檫@樣一來(lái)對(duì)于、就不公平了，想來(lái)想去還是乘上吧，一方面它的單位是，更重要的是，=對(duì)于來(lái)說(shuō)，、是平等的、對(duì)稱的。、代數(shù)中的對(duì)稱美。代數(shù)式+=+, (+)=+,（+）=+ 都有對(duì)稱性，代數(shù)中的很多平滑曲線，也給人以對(duì)稱美的感受。橢圓、

10、雙曲線、拋物線的圖象，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，正弦、余弦函數(shù)的圖象等。比如函數(shù)的圖象除對(duì)稱美外還給人一種“一江春水向東流”的視覺(jué)美。 圖（） 再如函數(shù)，的圖像給人一種“飛流直下三千尺”的山水美、對(duì)稱美。如圖（4）圖（4） 若，則當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。它的圖形也是一種典型的對(duì)稱圖形。 圖（）再如前面所提到的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”抽象成的數(shù)學(xué)圖形也是一種很美的對(duì)稱圖。另外某些有關(guān)連或?qū)α⒌母拍钜卜Q為對(duì)稱。例如：有奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)；從常量到變量，從有限到無(wú)限都能體現(xiàn)一種無(wú)形的對(duì)稱美?！肮曹棥备拍钜蔡N(yùn)涵著對(duì)稱性，或者可以看成對(duì)稱概念的推廣，例如：

11、A=(a)與=(a) 稱為共軛矩陣。在集合運(yùn)算中，以下公式也具有對(duì)稱性：=,=，,。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身在結(jié)構(gòu)上的有機(jī)統(tǒng)一。 從宏觀上講，中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何，各數(shù)學(xué)分支在結(jié)構(gòu)意義下達(dá)到完美統(tǒng)一。從微觀講，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間又是有機(jī)統(tǒng)一的，例如：在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中加法和減法是統(tǒng)一的，乘法和除法也是統(tǒng)一的，乘方和開(kāi)方是統(tǒng)一的，而實(shí)數(shù)的運(yùn)算和有理數(shù)的運(yùn)算以及自然數(shù)的運(yùn)算的法則又是統(tǒng)一的。三、和 諧 美美是和諧，和諧美也是數(shù)學(xué)美的一種。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)、形式結(jié)構(gòu)無(wú)矛盾性。數(shù)學(xué)家一直在努力追求數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、和諧。、數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧。數(shù)學(xué)在努力消除數(shù)學(xué)中的不和諧東西，比如悖論，在很大意義上講悖

12、論對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)史上的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是由于某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致，但也正是通過(guò)消除這些不和諧事例的研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的進(jìn)一步發(fā)展。正如數(shù)學(xué)家貝爾和戴維斯所說(shuō)的那樣：數(shù)學(xué)過(guò)去的錯(cuò)誤和未解決的困難，為它未來(lái)的發(fā)展提供契機(jī)。、數(shù)學(xué)比例的和諧美。數(shù)學(xué)中和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和；最負(fù)盛名的黃金分割，具有美神之稱，它是黃金三角形的底與腰的比，也是黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比，人體自身的軀干寬高比約為，層高的樓房，或?qū)幼罴?，一些名?huà)的主題大部分也畫(huà)在畫(huà)面的處。再如圓周長(zhǎng)公式這個(gè)初等數(shù)學(xué)公式，揭示了圓周長(zhǎng)和半徑之間的一種簡(jiǎn)

13、潔、奇妙、和諧的比例美。世界上存在著很多圓，但是數(shù)學(xué)定義中的圓比任何畫(huà)家、藝術(shù)家所能描繪的圓更完美更和諧。、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的和諧美。和諧指理論體系內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理，并通過(guò)簡(jiǎn)潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理，充分表現(xiàn)了其內(nèi)在的和諧性與統(tǒng)一性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美，就象音樂(lè)家憑借7個(gè)音符譜寫(xiě)出令人心醉的樂(lè)章所帶給人們藝術(shù)美的享受一樣。例如,從等式出發(fā)（1）已知求這要用到乘方運(yùn)算;（2） 已知求用到開(kāi)方運(yùn)算,（3）由和諧美原則,知求用到一種新的運(yùn)算即對(duì)數(shù)運(yùn)算。又如棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)等形狀各異但他們的體積公式都能

14、統(tǒng)一到同一公式中。數(shù)學(xué)有很多分支很多內(nèi)容，這些內(nèi)容不是互不相干的堆積起來(lái)的，而是互相聯(lián)系成一個(gè)有機(jī)的整體。這種有機(jī)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，而且，通過(guò)這種聯(lián)系和統(tǒng)一使得整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容顯得線條清晰，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了一種簡(jiǎn)潔的美。整個(gè)數(shù)學(xué)體系的前后關(guān)聯(lián)、交相呼應(yīng)、渾然一體、天衣無(wú)縫，構(gòu)成一個(gè)龐大的知識(shí)網(wǎng)，千絲萬(wàn)縷，有理可依，有論可劇絕對(duì)是世上最完美的美、最和諧的美。試問(wèn)，有哪個(gè)人能推翻數(shù)學(xué)體系？又有誰(shuí)能創(chuàng)建出另一套思維邏輯體系而與數(shù)學(xué)不發(fā)生任何聯(lián)系？我們的答案是否定的，數(shù)學(xué)才是美麗的皇后。四、結(jié) 束 語(yǔ)音樂(lè)可以描繪成感覺(jué)的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)也可以描繪成理性的音樂(lè)，音樂(lè)家可以感覺(jué)到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家也可以感受到

15、音樂(lè)音樂(lè)是夢(mèng)想，數(shù)學(xué)是工作的一生每一方都經(jīng)由對(duì)方達(dá)到盡善盡美的境地，大自然是美好的：美麗的山川，璀璨的星空，豐富的色彩，多姿的生活，寶貴的生命這些美好事物的背后都深藏著許多數(shù)學(xué)奧妙，可以說(shuō)數(shù)學(xué)美無(wú)處不在。用當(dāng)今數(shù)學(xué)家克萊因的一句話來(lái)概括數(shù)學(xué)的美就是：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫(huà)能使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)能使人獲得智慧，科技可以改變物質(zhì)生活，但是數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！睌?shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美，在萬(wàn)物世界的各個(gè)方面都能表現(xiàn)出來(lái)。只要認(rèn)真觀察、細(xì)心體會(huì)，那么不管他以前是否喜歡數(shù)學(xué)還是反感數(shù)學(xué)，他都會(huì)從此喜歡上數(shù)學(xué)、愛(ài)上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)難題、喜歡挑戰(zhàn)自己。參考文獻(xiàn)：1吳振奎 吳憫：數(shù)

16、學(xué)中的美.上海：上海教育出版社，2002.92孫維剛：孫維剛教育文叢.北京：北方婦女兒童出版社，1999.73張景中：數(shù)學(xué)家的眼光.北京：中國(guó)少年兒童出版社，2002.14馮培軍：淺談新課程理念下學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).北京：中國(guó)人民大學(xué)書(shū)報(bào)資料中心，2005年第4期.5莊亞棟主編：高中數(shù)學(xué)教與學(xué).江蘇：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部，2006年第1期.6張順燕主編：心靈之化.北京：北京大學(xué)出版社，2002.11.The Beauty Of MathematicsGuo Hui Cai Directed by Associate Professor Dong Yong QuanAbstr

17、act As education and leisure develop more people will enjoy music and painting. But the number of people who really enjoy mathematics is very small. Art follows beauty and mathematics is also The beauty of mathematics is a kind of the beauty of science.Among mathematics,it has its own beauty at the

18、aspects of content ,construction ,shape ,and etc ,so the beauty of mathematics is vivid , concrete and visiual.The article approachs the three chief beauty of mathematics : the beauty of laconic , the beauty of symmetry , the beauty of harmony . the beauty of concision contains the concision of mathematical concepts, mathematical symbols mathematical proofs and mathematical conclusions. The beauty of symmetry contains mathematical changes from unaccordance to accordance , the accordance of mathematical proportion and knowledge structure