淺談對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一些問(wèn)題資源的有效利用

1、淺談對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一些問(wèn)題資源的有效利用龔 蘭一段人生，如果太過(guò)順利，沒(méi)有半點(diǎn)挫折和不順，那這段人生也許不能算是完整的人生；一篇文章，如果從頭至尾水平如鏡，波瀾不興，那么讀這篇文章也許就像在嚼蠟，又像在喝白開(kāi)水；一節(jié)數(shù)學(xué)課，如果從開(kāi)始到結(jié)束，非常順利，一點(diǎn)“問(wèn)題”都沒(méi)有，那我們認(rèn)為它或許并不是一節(jié)真實(shí)的課堂教學(xué)，也談不上是有效的課堂教學(xué)。其實(shí)，在許多情況下，數(shù)學(xué)課堂因有“問(wèn)題”而精彩。這里提的“問(wèn)題”不是教師的教學(xué)失誤，更不是教師因?qū)I(yè)不精而在課堂上發(fā)生的科學(xué)性錯(cuò)誤。它是教師厚積博發(fā)后的意外收獲，也是教師在課堂上“無(wú)心插柳” 而成的“蔭”。有效地利用課堂教學(xué)資源能極大地提高課堂教學(xué)質(zhì)量，并有

2、力地改善課堂中師生的生存狀況。而課堂教學(xué)資源的利用有多個(gè)著力點(diǎn)，其中，課堂教學(xué)中的問(wèn)題資源是不可忽視的隱性課堂教學(xué)資源。 這里的“問(wèn)題” 指的是學(xué)生在課堂教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的疑問(wèn)，提出的問(wèn)題，也指課堂教學(xué)中的突發(fā)或偶發(fā)事件，也包括教師在課堂教學(xué)中有意或無(wú)意的教學(xué)“錯(cuò)誤”。這些問(wèn)題如果處理不當(dāng)，將會(huì)給教學(xué)帶來(lái)困難或者是意想不到的“麻煩”，而如果巧妙地加以利用，就有可能把它們?nèi)谌胝n堂教學(xué)，成為支持課堂教學(xué)的資源，并給課堂教學(xué)帶來(lái)積極的影響。一、學(xué)生提出的問(wèn)題。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的總體目標(biāo)指出：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技

3、能解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)?！庇纱丝梢?jiàn)，學(xué)生提問(wèn)題本身就具有十分重要的價(jià)值。案例：記得上學(xué)期初三總復(fù)習(xí)時(shí)碰到了這樣一道題目：如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，要使中間陰影部分小正方形的面積是5，那么大正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是_ GE 師：我先給你們足夠的時(shí)間思考，想到方法的可以舉手?？此麄兯伎嫉臅r(shí)候不少人苦思冥想不得其解，我就先說(shuō)了我想到的方法：師：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，利用HEDHDC列出比例式： 當(dāng)我還沉浸在自己的小小滿足之時(shí)，我?guī)字皇峙e起來(lái)了。生1：老師我想到了，可以不利用三角形相似，可以直接求出線段HC的長(zhǎng)度，在RtHDC中利用勾股定理，HD2+DC2=HC2，其中HD=從而求

4、出邊長(zhǎng)a=5師： 很好，他巧妙地利用了勾股定理，是我沒(méi)想到的。生2：我的方法也是利用直角三角形勾股定理，但我想利用RtAGD ，AG2+GD2=AD2其中，從而求出邊長(zhǎng)a=5 我覺(jué)得這樣算起來(lái)更快。生2的方法講完后，我看到很多同學(xué)臉上豁然開(kāi)朗師： 他的方法確實(shí)非常好，幫助大家把思路打開(kāi)了，仔細(xì)觀察圖形真的可以發(fā)現(xiàn)不少東西。生3：也可以直接放在RtHED中，利用勾股定理啊。師： 對(duì)對(duì)對(duì)，也可以。我高興地笑了。反思：這節(jié)課讓我受益匪淺。從生2和生3的發(fā)言中，我的思路也為之一新，因?yàn)檎n前備課時(shí)我只局限于利用相似，把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化了，利用勾股定理更簡(jiǎn)便。確實(shí)不得不承認(rèn)，很多時(shí)候?qū)W生的思路比老師的更快

5、，更好，通過(guò)這道題目我和學(xué)生都更深地體會(huì)到，數(shù)學(xué)問(wèn)題是可以有多種解決的方法的，重要的是要通過(guò)自己的觀察、思考、分析和對(duì)以前知識(shí)的靈活運(yùn)用。二、學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤。 學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，其實(shí)也是教師可以運(yùn)用的寶貴資源。從學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤，和學(xué)生的理解最接近，學(xué)生也最能接受并糾正，印象比較深刻。許多有經(jīng)驗(yàn)的教師就運(yùn)用“錯(cuò)題本”，專門積累學(xué)生中的錯(cuò)誤，在日常教學(xué)中教育和提醒學(xué)生。案例：有一道兩圓位置關(guān)系的題目另我印象很深刻：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A的的半徑為1，圓心A(-2,0)，B的半徑為2，圓心B(3,0)，當(dāng)A沿x軸正方向移動(dòng)的距離為 時(shí)，A與B相切。當(dāng)時(shí)我記得不少學(xué)生的答案是兩個(gè)

6、：2或8他們只想到了兩圓外切的情況，確實(shí)外切比內(nèi)切更容易想到。課堂上我提問(wèn)了這樣一個(gè)同學(xué)，師：你的答案是什么？生：2或8師：你是怎么想的？生：當(dāng)圓心A走到(0，0)時(shí)，A與B相切了，從(2，0)到(0，0)移動(dòng)的距離為2；當(dāng)當(dāng)圓心A走到(6，0)時(shí)，A與B相切了，從(2，0)到(6，0)移動(dòng)的距離為8，所以答案是2或8。師：你的這兩個(gè)答案都是對(duì)的，你可以畫出圖形后結(jié)合圖形仔細(xì)看看，此時(shí)的A與B到底是怎樣的位置關(guān)系。她低頭在卷子上畫了，邊畫邊思索，似乎發(fā)現(xiàn)了什么。生：此時(shí)的A與B是外切。哦，那么還有內(nèi)切的情況。 她很興奮。師：你能繼續(xù)求嗎？生：能，也有兩個(gè)答案。當(dāng)圓心A走到(2，0)時(shí)，A與B相

7、切了，從(2，0)到(0，0)移動(dòng)的距離為4；當(dāng)當(dāng)圓心A走到(4，0)時(shí)，A與B相切了，從(2，0)到(6，0)移動(dòng)的距離為6，所以正確答案應(yīng)該是2、4、6或8。師：對(duì)了，非常好。我估計(jì)不少同學(xué)也犯了和她一樣的錯(cuò)誤，只想到了外切，沒(méi)有想到內(nèi)切，當(dāng)然可能還有同學(xué)想到了這層，卻算錯(cuò)了，我覺(jué)得這題結(jié)合圖形是最好的解決方法，把四種情況都畫出來(lái)，對(duì)照?qǐng)D形在求。反思：課堂中學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是正常的，錯(cuò)誤是學(xué)生們最樸實(shí)的思想、經(jīng)驗(yàn)最真實(shí)的暴露。作為教師，我們絕不能以成人的眼光去要求學(xué)生，更不必去追求學(xué)生的絕對(duì)正確，因?yàn)閷W(xué)知識(shí)的過(guò)程中難免反錯(cuò)，堂就是學(xué)生犯錯(cuò)誤的地方，犯錯(cuò)誤是學(xué)生的權(quán)利。我們不要害怕孩子出錯(cuò)，更不

8、要將錯(cuò)誤藏著、捂著，或輕描淡寫一帶而過(guò)。正是由于這些美麗的錯(cuò)誤，讓學(xué)生體驗(yàn)到了成功的喜悅和失敗的滋味。也正是教師的寬容態(tài)度，才讓錯(cuò)誤給我們的課堂帶來(lái)了涌動(dòng)的生命力和最真實(shí)的美麗。因此，錯(cuò)誤是一種鮮活的課程資源，作為教師應(yīng)切切實(shí)實(shí)地開(kāi)發(fā)、利用錯(cuò)誤，讓錯(cuò)誤發(fā)揮出最大的功效。三、教師無(wú)意出現(xiàn)的錯(cuò)誤。錯(cuò)誤可能來(lái)自學(xué)生，也可能來(lái)自教師。對(duì)于來(lái)自學(xué)生的錯(cuò)誤，我們常常能從容應(yīng)對(duì)，但對(duì)于自己的失誤，我們有時(shí)候卻有點(diǎn)不知所措，這里有所謂的“面子”問(wèn)題。特別是在進(jìn)行大型公開(kāi)課的時(shí)候，有些人被所謂的“師道尊嚴(yán)”問(wèn)題所困，采用掩飾或回避的方式，結(jié)果反而適得其反。其實(shí)，如何妥善處理錯(cuò)誤，恰恰是檢驗(yàn)教師素質(zhì)的大好機(jī)會(huì)。案

9、例一：記得有一次聽(tīng)課，老師準(zhǔn)備用圓規(guī)在黑板上畫一個(gè)圓。他把一個(gè)腳尖固定在黑板上時(shí)，先順利地畫了右手邊的一大半，當(dāng)畫左手邊的一小半時(shí)，圓規(guī)的尖腳動(dòng)了位置，圓不對(duì)了，我聽(tīng)到底下聽(tīng)課的老師和學(xué)生都笑了，而老師卻固作鎮(zhèn)定，擦了重畫。我還在為這個(gè)老師捏一把汗時(shí)，沒(méi)想到這個(gè)老師馬上提問(wèn)了：“剛才我畫圓失敗了，我也聽(tīng)到你們笑了。你們能幫老師總結(jié)一下我失敗的原因嗎？”一學(xué)生說(shuō)：“因?yàn)槔蠋焾A規(guī)的一個(gè)腳尖沒(méi)有固定住，在還有一小半時(shí)動(dòng)了地方，就畫不出圓了?！彼^續(xù)問(wèn)：“那這說(shuō)明了什么呢？”他的畫音剛落，就有學(xué)生舉手說(shuō)了：“說(shuō)明我們畫圓時(shí)首先要固定一個(gè)尖腳，不能隨便移動(dòng)?！薄罢f(shuō)的很好，這個(gè)固定的腳尖就是圓心，固定了圓

10、心的位置也就固定了圓的位置?，F(xiàn)在請(qǐng)大家用你的圓規(guī)來(lái)畫圓，我想大家應(yīng)該不會(huì)再犯剛才我犯的錯(cuò)誤了吧！”學(xué)生們畫的很好案例二：一堂探究三角形三邊關(guān)系的課上師：在10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒中，挑選3根小棒，看能不能圍成一個(gè)三角形。學(xué)生同桌活動(dòng)。師：請(qǐng)同學(xué)拿出這張表，同桌動(dòng)手?jǐn)[，把結(jié)果填進(jìn)表。第一根小棒長(zhǎng)度第二根小棒長(zhǎng)度第三根小棒長(zhǎng)度能否圍成三角形生：我發(fā)現(xiàn)情況共有四種。第一根小棒長(zhǎng)度第二根小棒長(zhǎng)度第三根小棒長(zhǎng)度能否圍成三角形106510646541054師：那么哪幾種情況能圍成三角形呢？生沒(méi)人舉手，有點(diǎn)遲疑。師：大家動(dòng)起手來(lái)拼拼看。生拼了一會(huì)。生：10厘米，6厘米，5厘米這三根能圍成三角形

11、。師：好生：6厘米，5厘米，4厘米這三根也能圍成三角形。師：很好師：10厘米，5厘米，4厘米這三根能不能圍成三角形？生：不能。師：為什么這三根不能圍成三角形？生：因?yàn)閮筛痰男“糸L(zhǎng)度的總和比最長(zhǎng)的小棒還短。師：很好，說(shuō)的對(duì)。師：那么，10厘米，6厘米，4厘米這三根小棒能圍成三角形嗎？生：能。師：能嗎？生（非?？隙ǎ耗?。師請(qǐng)一學(xué)生上講臺(tái)演示，果然能。生：那我們的怎么不能？師好象傻了，楞了一會(huì)，最后做出了一個(gè)決定，他沒(méi)有把出現(xiàn)的問(wèn)題很好的解決，而是直接跳過(guò)去得出結(jié)論。師：如果兩根棒的和等于第三根棒，這樣能圍成一個(gè)三角形嗎？生：能。生：不能。生還在爭(zhēng)論。師：這個(gè)問(wèn)題我可以告訴大家答案，是不能的，請(qǐng)

12、大家記住這個(gè)結(jié)論。師：最后我們來(lái)思考一下圍成三角形的三根小棒長(zhǎng)度有什么關(guān)系？生：摸不著頭腦師（直接出示）：三角形兩邊之和要大于第三邊。生：似懂非懂反思：案例一中的教師就在無(wú)意中，滲透了畫圓時(shí)的注意點(diǎn)。教師發(fā)生失誤是多么難堪的事?。】墒墙處焻s能畫腐朽為神奇，將一次失誤轉(zhuǎn)變成了一次成功。學(xué)生能從中受益，而且起到意想不到的效果。案例二中為什么會(huì)發(fā)生這種情況呢？一般情況下，數(shù)學(xué)定理是不可能錯(cuò)的。出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很可能是小棒。后來(lái)才發(fā)現(xiàn)，有1根小棒長(zhǎng)了1毫米，而最長(zhǎng)的小棒短了5毫米。（可能教師在剪小棒時(shí)看錯(cuò)了1格測(cè)量錯(cuò)了）。如果教師不是為了完成進(jìn)度草草手場(chǎng)，而是把課停下來(lái)，和學(xué)生一起去尋找出錯(cuò)的原因，那么

13、，學(xué)生頭腦中就會(huì)逐漸建立起正確的印象。而這個(gè)問(wèn)題在課堂當(dāng)中沒(méi)有解決，本課的難點(diǎn)就沒(méi)有突破，更為糟糕的是，學(xué)生頭腦中還會(huì)始終留有錯(cuò)誤的印跡。四、教師有意制造的錯(cuò)誤。這也是許多教師常用的手法。案例：在教授冪的相關(guān)運(yùn)算時(shí)，感覺(jué)很頭痛，特別是所以的運(yùn)算法則都教完以后，學(xué)生和容易混淆。一次課上我讓他們當(dāng)老師給我出題，我當(dāng)學(xué)生來(lái)做，他們經(jīng)過(guò)小組討論，出一些平時(shí)很容易錯(cuò)的題目在黑板上，我當(dāng)場(chǎng)做，其實(shí)這次我是設(shè)計(jì)好了都做錯(cuò)，讓他們來(lái)糾錯(cuò)。有幾道典型的錯(cuò)誤題目如下：師：（A） （B） （C）（D）÷（E）（F）（G）生進(jìn)行了糾錯(cuò)：（A） （ × ） （B） （ × ） （C）（ &

14、#215; ）（D）÷（ × ） （E）（ × ）（F）（ × ）反思：教師有意制造的錯(cuò)誤往往是教師課前匠心獨(dú)具，有意而為之。因此，這樣的精心設(shè)計(jì)往往會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入深層次理解的佳境。案例中教師和學(xué)生角色互換，看似不經(jīng)意間，其實(shí)是別具匠心，讓學(xué)生從乏味的純計(jì)算中解放出來(lái)，給他們自由，讓他們來(lái)找老師的茬，學(xué)生在找茬過(guò)程中，有了興趣，開(kāi)闊了思維，也發(fā)現(xiàn)了一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤，今后自己得以借鑒。五、課堂教學(xué)中的偶發(fā)事件。案例：一節(jié)自修課上，同學(xué)們有的在看書，與的在靜靜地寫作業(yè)。突然，從教室一角傳來(lái)一陣“哈哈哈！”的笑聲，教室里原本安靜的學(xué)習(xí)氣氛一下被破壞了，幾個(gè)本來(lái)就

15、坐不住的男生乘機(jī)開(kāi)始騷動(dòng)了，東張西望地找那個(gè)發(fā)出聲音的人，嘴里也開(kāi)始嘀咕起來(lái)。我生氣地尋找“禍源”，不少同學(xué)們都一臉驚訝和不解，只有小A心虛地縮下了身子。我一腔怒氣，本想狠狠批評(píng)他，但看到他驚恐的目光，我突然意識(shí)到：他不是故意的，可能是看到了搞笑的東西忍不住下意識(shí)地笑出了聲    我站在講臺(tái)上，同學(xué)們目不轉(zhuǎn)睛地盯著我，等著一場(chǎng)狂風(fēng)暴雨但我平靜地說(shuō)：前幾天我就想做一實(shí)驗(yàn)，看學(xué)習(xí)時(shí)注意力是否易被意外分散，沒(méi)想到今天有人幫我提前做了。通過(guò)剛才的觀察，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)注意力很集中，有不少同學(xué)聽(tīng)到笑聲頭都沒(méi)抬，繼續(xù)自己的學(xué)習(xí)，還有一部分同學(xué)聽(tīng)到笑聲就抬頭看了一眼又低頭

16、寫作業(yè)了，當(dāng)然還有一些我故意沒(méi)有說(shuō)出他們的表現(xiàn)，那些想起哄的同學(xué)一下子明白了我話里有話，為了避免殃及自己也就乖乖低下了頭，停止了起哄，一場(chǎng)風(fēng)波平息了。反思：如何處理教學(xué)中的偶發(fā)事件，這是考驗(yàn)教師教學(xué)功底和教學(xué)機(jī)智的最好時(shí)機(jī)。教師面對(duì)考驗(yàn)和挑戰(zhàn)，不能忙中生亂。案例中出現(xiàn)的事件也許出現(xiàn)在我們的課堂上的幾率并不高，但是只要找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，這些偶發(fā)事件也會(huì)成為我們課堂教學(xué)上的一個(gè)有效資源。珍視并合理開(kāi)發(fā)日常教學(xué)中的問(wèn)題或錯(cuò)誤資源，一方面可以超越狹隘的教學(xué)內(nèi)容，讓師生的生活經(jīng)驗(yàn)更多地融入課堂中來(lái)，使課程內(nèi)容更加豐富多彩；另一方面可以大大激發(fā)學(xué)生的課堂參與熱情，讓“死”的知識(shí)活起來(lái)，讓“靜”的課堂“動(dòng)”起來(lái)，變單純的“傳遞”與“接受”為積極主動(dòng)的“發(fā)現(xiàn)”和“建構(gòu)”，從而達(dá)到轉(zhuǎn)變課程功能和學(xué)習(xí)方式的目的。在師生不斷的“識(shí)錯(cuò)”、“思錯(cuò)”和“糾錯(cuò)”過(guò)程中，新的問(wèn)題不斷被發(fā)現(xiàn)，新的資源不斷地生成，這對(duì)于教育視野的拓展、教育觀念的轉(zhuǎn)變以及師生創(chuàng)造性智慧的激發(fā)都會(huì)起到十分重要的作用。問(wèn)題或錯(cuò)誤，不管是來(lái)自學(xué)生的，還是來(lái)自老師的，都是很珍貴的課程資源。我們