反例中的數(shù)學美

1、反例中的數(shù)學美 張廣軍（山東工商學院數(shù)學與信息科學學院，山東煙臺264005）摘要：通過對反例的分析，指出了反例中蘊涵的數(shù)學美：奇異美、簡潔美、精確美。關鍵詞：反例；悖論；反證法；數(shù)學美中圖分類號：O172.1文獻標識碼：A 數(shù)學反例作為簡明有力的否定方法,它不僅在培養(yǎng)逆向思維能力中占有重要地位，同時在糾正錯誤結論、澄清概念、開拓數(shù)學新領域中也起到了非常重要的作用，正如美國數(shù)學家B.R.蓋爾鮑姆所說：“數(shù)學是由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學的發(fā)展也是朝著這兩個目標的提出證明和構造反例?！惫P者在教學中發(fā)現(xiàn)，即使是一些看似簡單的反例（反例一經(jīng)舉出，常常使人覺得簡單），也不是可以信手拈來的，本文想通過

2、一些出奇制勝的反例，和大家分享這種思維的樂趣，更重要的是對其中所包含的數(shù)學美的感受。一 奇異美 培根說過：“沒有奇特的奇異性，也就不存在與眾不同的美麗”。 數(shù)學中的許多奇異現(xiàn)象，它們往往與人們預期的結果相反，令人失望之余，也給了人們探索它的動力，數(shù)學中那些最美妙、最令人意想不到的反例，從另一角度說，在數(shù)學中都是一種奇異美。讓我們來看下面的例子。例1 公理：整體大于部分。反例：伽利略悖論1。我們在這里對伽利略悖論稍做一下改進，如下，把正整數(shù)與偶數(shù)作比較，在的對應下，可以得出正整數(shù)不比偶數(shù)多。但偶數(shù)又是正整數(shù)的部分，而“整體大于部分”又是一條公理，這豈不是自然數(shù)必然比偶數(shù)多嗎？于是，有了一個悖論。

3、分析：現(xiàn)在我們已經(jīng)明白“整體大于部分”只適用于有限的情形，在無限世界里，這條公理不再適用，因此，這個悖論就可以消除了。除此之外，還有一些類似的悖論，隨著人類對無限認識的進步，這些悖論從歷史長河中消失了，但不可否認的是，正是這些奇特的反例推動了數(shù)學從研究有限向無限的發(fā)展，這也恰恰說明了奇異中蘊含著奧妙與魅力，奇異中也隱藏著道理與規(guī)律。二 簡潔美 數(shù)學以簡潔著稱。反例的出現(xiàn)或反證法的使用，從另一角度豐富了這種簡潔美。 我們知道要證明一個結論，須考慮全部情形和所有可能的情況，然而推翻一個結論，只須舉出一個反例即可。而反證法恰恰是使用反例去證明的捷徑。數(shù)學中的反證法就像語言中的“不得不”，當人們很想做

4、一件事時，常用“不得不”去強調(diào)，或者起到修辭的作用，例如說“如此高尚的行為，我們不得不為之感動”。而數(shù)學中用反證法證明某命題成立時，就是在論證說：這個命題不可能不成立。例2 若和都存在，是否能斷定存在？若是，請給出證明；若否，請舉例說明。解：否。例如，取，即可說明。作者簡介：張廣軍，1973年生，男，漢族，山東濟南人，助教，主要高等數(shù)學教學研究。E-mail: guangjunwlz 例3求證：是無理數(shù)。分析：如果從正面去說明它是無理數(shù)，那么要通過對2開方，計算出它確是一個無限不循環(huán)小數(shù)。實際上，這是不可能做到的，你可以開方到小數(shù)點后百位、千位、億萬位，但永遠計算不到無限，可是從“反面”來證明

5、，情況就不同了，不僅能證明而且很簡潔。證明：假設不是無理數(shù)，即是有理數(shù)（或可比數(shù)），那么它必可表示為不可約的分數(shù)，即，兩邊平方得，可見必為一偶數(shù)，記為（為正整數(shù)），于是有，又得，這樣也成了偶數(shù)。因此我們得到一個矛盾：與都是偶數(shù)，從而是可約分數(shù)。三 精確美 在中國古代，有公孫龍關于“白馬非馬”的著名悖論1。說的是，要馬，黃馬、黑馬都可以；要白馬，黃馬、黑馬都不行?？梢?，白馬非馬。 對數(shù)學來說，語言講究精確性。如果某種數(shù)學語言導致悖論的話，數(shù)學就立即修改自己的語言，使之精確無誤。數(shù)學為此而一直奮斗，到今天已經(jīng)形成了在世人看來最不易引起爭議的精確美。讓我們來看下面的例子。例4證明：歐拉關于多面體頂點

6、數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F間的著名公式：V-E+F=2。（歐拉公式）解答：此結論不正確，自從1810年以來，有多人舉出了反例，如下：18121813年，呂里埃（Lhuilier）做出反例圖形，滿足V-E+F=4；1832年， 赫塞爾（F.Hessel）做出反例圖形，滿足V-E+F=3；1810年，龐索特（L.Poinsot）做出反例圖形，滿足V-E+F=6。這些反例正是說明歐拉公式并非對任何多面體都成立，關于這點1893年龐加萊曾將公式修改為：對任何凸多面體，其頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F滿足：V-E+F=2。例5 Van der Waerden猜想2：。(1981年G.P.Egorgcher等人證得)

7、有人曾將不等式做如下推廣：（1）（2）遺憾的是這兩個推廣均不成立。W.B.Jurkat給出下面的例子推翻了結論（1）：M.Newman給出下面的例子推翻了結論（2）：這兩個例子說明了，數(shù)學是門嚴謹?shù)?、精確的學科，來不得半點遷就和疏忽，正是由于這種特性，人們信賴用數(shù)學方法所得到的結果，比實驗結果要精確。參考文獻1張楚廷.數(shù)學文化M.北京:高等教育出版社，2000.96152.2吳振奎,劉舒強.數(shù)學中的美M.天津：天津教育出版社，1997.154.Mathematical Aesthetics in CounterexamplesZhang Guang-jun(Shandong Institute of Business and Technology Mathematics&Information Science College, Shandong Yantai 264005)Abstract: Employing the analysis of counterexamples, we show the beauty in mathematical counterexamples: