計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)-Z平面根軌跡法

1、Z平面根軌跡設(shè)計(jì)平面根軌跡設(shè)計(jì) 黃國(guó)放黃國(guó)放 龐士君龐士君1. Z平面的根軌跡平面的根軌跡 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)Z變換以后，可表示為圖變換以后，可表示為圖1 所示所示 圖圖1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 其中：其中： 為零階保持環(huán)節(jié)與被控對(duì)象的組合為零階保持環(huán)節(jié)與被控對(duì)象的組合Z傳遞函傳遞函數(shù)數(shù). 為數(shù)字控制器為數(shù)字控制器Z傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。( )DG zY(z)( )G z( )DG zGD(z)Z平面根軌跡定義為：當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)平面根軌跡定義為：當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)參數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益（如開(kāi)環(huán)增益)）由零到無(wú)窮大由零到無(wú)窮大變化變化時(shí)，其時(shí)，其閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根的的集合集合。該

2、系統(tǒng)的閉環(huán)該系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 （1.1）( )( )( )( )( )1( )( )DDGz G zY zK zR zGz G z1( )( )0DGz G z將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Z傳遞函數(shù)寫(xiě)成零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)寫(xiě)成零極點(diǎn)形式 (1.2)式中式中 和和 分別為開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)數(shù)，分別為開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)，為零點(diǎn)數(shù)，n為極點(diǎn)數(shù)，為極點(diǎn)數(shù)，K為根軌跡增益。為根軌跡增益。11()()()()mjjDniiKzzGz Gzzpjzip根據(jù)（根據(jù)（1.1）特征方程式，根軌跡特征方程為）特征方程式，根軌跡特征方程為即即 上式可表示為模值方程和

3、相角方程：上式可表示為模值方程和相角方程：( ) ( )1DGz G z 11()1()mjjniiKzzzp （1.3） 11|niimjjzpKzz及及 （1.4）其中其中()()11(21)jjmnz zz pjik0,1,2,k （1.4）式?jīng)Q定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件）式?jīng)Q定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件,而而(1.3)式式主要是確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益值主要是確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益值.根軌跡法是根軌跡法是一種一種圖解法圖解法,在已知系統(tǒng)在已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的情傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的情況下況下,研究系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)變化時(shí)研究系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)變化時(shí),對(duì)閉環(huán)

4、傳遞函數(shù)極點(diǎn)分對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)分布的影響布的影響(閉環(huán)極點(diǎn)能決定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。閉環(huán)極點(diǎn)能決定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。)Z平面上根軌跡的特點(diǎn)：平面上根軌跡的特點(diǎn)：（1）Z平面極點(diǎn)的密集度很高（因?yàn)闊o(wú)限大的平面極點(diǎn)的密集度很高（因?yàn)闊o(wú)限大的S左半平左半平面映射到有限的單位圓內(nèi)），面映射到有限的單位圓內(nèi)），Z平面上平面上2個(gè)很接近的極點(diǎn)個(gè)很接近的極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)性能卻有較大的差別，因此，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)性能卻有較大的差別，因此，要求根軌跡的要求根軌跡的計(jì)算精度較高計(jì)算精度較高，如表，如表1.1所示。所示。（2）在）在S 平面中，平面中，臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)是由根軌跡與虛軸的交是由根軌跡與虛軸的交點(diǎn)求得，點(diǎn)

5、求得，Z平面的臨界放大系數(shù)則由根軌跡與單位圓的交平面的臨界放大系數(shù)則由根軌跡與單位圓的交點(diǎn)求得。點(diǎn)求得。（3）在離散系統(tǒng)中，只考慮閉環(huán)極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)）在離散系統(tǒng)中，只考慮閉環(huán)極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響是不夠的，還需考慮性能的影響是不夠的，還需考慮零點(diǎn)零點(diǎn)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。()sTze 1 10 10 15100 150jj S平面平面極點(diǎn)極點(diǎn)位置位置Z平面極點(diǎn)位置平面極點(diǎn)位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045139.50450.9050.3680.368860.000045139.50.990.9050.9058.60.3

6、68850.9990.990.990.860.9058.6表表1.1 Z平面極點(diǎn)的密集度平面極點(diǎn)的密集度、 2.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)和Z域極點(diǎn)位置的關(guān)系域極點(diǎn)位置的關(guān)系以二階系統(tǒng)為例（高階系統(tǒng)可近似二階系統(tǒng)）以二階系統(tǒng)為例（高階系統(tǒng)可近似二階系統(tǒng)） (1.5)其特征根為其特征根為 222( ) 0 pc：相位超前控制器,又可稱(chēng)為高通濾波器，這時(shí) Kc1 Zcpc：是相位滯后控制器，又可稱(chēng)為低通濾器，這時(shí)Kc1 它們與相應(yīng)的連續(xù)控制器的零、極點(diǎn)相對(duì)位置是一致的。 控制器零、極點(diǎn)分布圖示控制器的設(shè)計(jì)常用方法零極點(diǎn)對(duì)消法 用控制器的零極點(diǎn)對(duì)消控制對(duì)象不希望的極零點(diǎn)，從而使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有滿

7、意的品質(zhì) 注意：不能用注意：不能用D(z)去對(duì)消對(duì)象在單位圓去對(duì)消對(duì)象在單位圓外、圓上以及接近單位圓的零極點(diǎn)，否外、圓上以及接近單位圓的零極點(diǎn)，否則可能產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象。則可能產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象。第第3步步 進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證 即使將希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在允許域之內(nèi)，仍有可能出現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不滿足指標(biāo)要求。這是因?yàn)?離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)多于對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的性能還受零點(diǎn)的影響； 所得極點(diǎn)范圍是按二階系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)近似繪制的。而實(shí)際系統(tǒng)經(jīng)常是高于二階的，高階系統(tǒng)的響應(yīng)盡管主要取決于它的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，但其他非主導(dǎo)極點(diǎn)也有一定的影響。 設(shè)計(jì)例子 某數(shù)字隨動(dòng)系統(tǒng)，被控對(duì)象的傳遞

8、函數(shù)是 ( )(0.21)pkGsss采樣周期T=0.2s,試設(shè)計(jì)一數(shù)字控制器,使系統(tǒng)滿足下列品質(zhì)指標(biāo):%15%0.55rts1sts3vK (a) 超調(diào)量(b) 上升時(shí)間(c) 調(diào)節(jié)時(shí)間(d) 靜態(tài)速度誤差系數(shù)（1.17）（1）期望的閉環(huán)極點(diǎn)允許范圍 21%e0.5173.5Re( )sstRe( )3.5s Re( )0.5TsRe cosIm( )rarcstIm( )3.844s Im( )44Ts（2）設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z) 1( )(0.21)0.7174 0.0736(1)(0.3679)sTekG zZssszkzz（1.18） 令D(z)=1，此時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為0.07

9、36 (0.7174)( ) ( )(1)(0.3679)k zD z G zzz其中，根軌跡增益 0.0736Kk畫(huà)出閉環(huán)根軌跡，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡不能穿過(guò)允許域，因而不可能滿足動(dòng)態(tài)品質(zhì)要求。 第第1 1次試探次試探(0.7174)(1)(0.3679)zKzz第第2 2次試探次試探 令 0.0736cKkK0.3679( )czD zKz(0.7174)( ) ( )0.0736(1)(0.7174)(1)czD z G zkKz zzKz z11110.7174lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)VzzzKzD z G zzKTTz z其中0.3494K 第第3次試探次試探令 0.3679( )0.2czD zKz0.7174( ) ( )0.0736(0.2)(1)czD z G zkKzz0.0736cKkK11110.7174lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)VzzzKzD z G zzKTTz z0.4192K 0.7174(0.2)(1)zKzz其中根據(jù)閉環(huán)增益計(jì)算控制器增益1( )1zD z0.0736cKkK0.07363.006cKkK0.07363.10cKkK10.3679( )czD zKz20.3679( )0.2czD zKz1.582cK 1.8984cK 0.35K 0.433