經(jīng)典解幾小結 橢圓、拋物線

1、20156.2.22015.2.2問題問題1 11.1.橢圓、雙曲線的橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質標準方程和簡單幾何性質 橢圓雙曲線定義|PF1|+|PF2|=2a(2a2c=|F1F2|)(ab0)|PF1|-|PF2|=2a(2a0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)圖形焦點坐標 標準方程和簡單幾何性質標準方程和簡單幾何性質準線方程 范圍x0 x0y0y0對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e=1e=1e=1e=1求圓錐曲線的標準方程的方法 方法一: ,即根據(jù)圓錐曲線的定義進行判斷并求得圓錐曲線的標準方程. 方法二:

2、 ,根據(jù)已知橢圓與雙曲線的有關的幾何性質,如長、短軸或實軸、虛軸的長度,焦點、頂點的坐標以及準線、漸近線方程等,得到關于 a,b,c 之間的關系,并結合橢圓中 a2=b2+c2,雙曲線中 c2=a2+b2的關系解出 a,b,c,并由焦點的位置確定橢圓與雙曲線的標準方程,拋物線中需要確定一個參數(shù) p 和開口方向就可以確定拋物線的標準方程. 求定量求定量定義法定義法方法三: ,可以先根據(jù)焦點的位置設出圓錐曲線的標準方程,再由曲線上的點求解,當焦點的位置不確定時,還可以進行分類討論,或者可設為統(tǒng)一方程 ,由曲線上的兩點坐標代入求解,如果已知雙曲線的漸近線方程=0,也可以設出雙曲線的統(tǒng)一方 程 (0)

3、,由曲線上的點確定參數(shù) 的值. 待定系數(shù)法待定系數(shù)法問題問題4 4圓錐曲線系有哪幾種形式？圓錐曲線系有哪幾種形式？(1)(1)橢圓系橢圓系: :過定點的橢圓方程過定點的橢圓方程可以設為可以設為 ; ;焦點在焦點在x x軸上的橢圓可以設為軸上的橢圓可以設為x x2 2/a/a2 2 +y +y2 2/b/b2 2 =1(ab0 =1(ab0),),有共同焦有共同焦點點( (c,0)c,0)的橢圓方程的橢圓方程可以設可以設 等等等等. . (2)(2)雙曲線系雙曲線系: :過定點的雙曲線方程可以設為過定點的雙曲線方程可以設為 ; ; 拋物線系拋物線系題型一題型一：圓錐曲線的標準方程與幾何性質圓錐曲

4、線的標準方程與幾何性質題型二題型二：軌跡方程軌跡方程好題目！好題目！2015.1.312015.1.312015.1.312015.1.31將圓的方程分別配方得,(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,以 O1O2所在直線為 x 軸,其中垂線為 y 軸建立如圖所示的直角坐標系. 當M 與O1外切時,有|O1M|=R+2, 當M 與O2內切時,有|O2M|=10-R. 將兩式的兩邊分別相加,得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|=6,根據(jù)橢圓的定義知圓心 M 的軌跡是以 O1、O2為焦點的橢圓,a=6,c=3,b2=a2-c2=27,方程為236+227=1. 動圓圓心 M 的軌

5、跡方程是236+227=1,軌跡是橢圓. 題型三：題型三：中點弦問題中點弦問題好題目！好題目！2015.1.312015.1.31（由焦半徑公式由焦半徑公式）點差法點差法點點A A、D D求出求出ADAD的中垂線的中垂線點斜式方程點斜式方程題型四：最值問題題型四：最值問題和定積最大和定積最大則有則有：=42-202|1|2|-1, |PF1|+|PF2|=2a(a0)為定值, |PF1|PF2|(|1|+|2|2)2=a2, cos F1PF242-2022-1=1-102(當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號). 有 1-102=-19,即 a2=9,a=3,且 2a=6|F1F2|, b

6、2=4. 故點 P 的軌跡為橢圓,其方程為29+24=1. 和定積最大和定積最大題型五題型五：弦長問題弦長問題定積和最小，均值定理定積和最小，均值定理技技巧巧題型六題型六：參數(shù)的范圍問題參數(shù)的范圍問題（2）？）？（2）？畫圖形）？畫圖形參見參見“幾何畫板幾何畫板”題型六參數(shù)的范圍問題題型六參數(shù)的范圍問題：題型七：題型七：綜合性問題綜合性問題典型范例典型范例121221123 15 ,75 ,(1)(2)124 6,FFxPPF FPF FPF F 示例已知橢圓的中心在原點，兩焦點 、在 軸上， 為橢圓上一點，且求橢圓的離心率；若的周長為求此橢圓的標準方程；122 11212121212(1)P

7、FF15PF F75FPF90PFFFFsin90sin75sin15sin15sin7521162sin15sin75sin15sin7532sin60PFPFPFPFace 詳解： 由，則在中，由正弦定理得即 15cos121212(2)PFF124 6PFPFFF124 6詳解：的周長為，222622124 6,62 66,2 636,2 6,1213612cacacacaxyacb即且，解得由得，則所求橢圓標準方程為一、選擇題一、選擇題離心率離心率二、填空題二、填空題三、解答題三、解答題橢圓的標準方程橢圓的標準方程定義定義圖形圖形方程方程焦點焦點a、b、c之之間的關間的關系系 0 12

8、222 babyax 0 12222 baaybxF1F2 PyxOyxO PF1F2|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|)( c,0)、(c,0)(0, c)、(0,c) a2=b2+c2 (a最大最大)分母分母哪個哪個大，焦點大，焦點就在哪一根就在哪一根坐標軸上坐標軸上 n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2（1 1）（2 2）橢圓的一般方程:n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2點與橢圓點與橢圓位置關系位置關系 (1)點點 P(x0，y0)與橢圓與橢圓x2a2y

9、2b21(ab0)的位置關系：的位置關系： 點點 P 在橢圓上在橢圓上x02a2y02b21； 點點 P 在橢圓內部在橢圓內部x02a2y02b21. 橢圓與直線的位置關系及判斷方法橢圓與直線的位置關系及判斷方法代數(shù)方法代數(shù)方法判斷方法判斷方法（1）聯(lián)立橢圓與直線方程組成的方程組）聯(lián)立橢圓與直線方程組成的方程組;（2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù),得到一元二次方程得到一元二次方程,計算其判別式計算其判別式;（3）小小 結結 0直線與橢圓相交直線與橢圓相交直線與橢圓相切直線與橢圓相切=0直線與橢圓相離直線與橢圓相離0相相 交交相相 切切相相 離離 直線與橢圓的位置關系的判定直線與橢圓的位置關系

10、的判定mx2+nx+p=0（m 0）Ax+By+C=0由方程組：由方程組：0相交相交方程組有兩解方程組有兩解兩個交點兩個交點代數(shù)方法代數(shù)方法= n2-4mp2222(0)1xyabab1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長A（x1,y1） 直線與二次曲線相交弦長的求法直線與二次曲線相交弦長的求法dr2AB2、直線與橢圓相交的弦長、直線與橢圓相交的弦長利用弦長公式利用弦長公式:21221241|xxxxkAB）（212212411yyyyk）（其中其中k 是弦的是弦的斜率斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的是弦的端點坐標端點坐標.B（x2,y2）新課講解新課講解 方法方法1：求出

11、求出A、B坐標，利用兩點間距離公式；坐標，利用兩點間距離公式；方法方法2：A（x1,y1）B（x2,y2）設而不求設而不求y=kx+b問題一：判斷位置關系問題例1 已知直線L: y=mx+1, 橢圓 C：222510 xy（1）判斷直線與橢圓的位置關系。（2）當m=1時，請求出當m=1時，請求出L被C截得的弦長。oyx),(11yxA),(22yxB7 730304 4板書板書222222221212212221212221(1):,251010020(25)20040,.21(25(25)1050,010571050,771,11()105,?04ymxyxymmmLCmmmxmxxxxxx

12、 xmkdkxxkxxx xxmx 解由消 得與 相交（ ）當時，代入弦長公式得，7 730304 4板書板書問題二問題二：中點弦問題中點弦問題例例2 已知橢圓已知橢圓 C： 。1 12 2y y4 4x x2 22 2(1)求過求過P ,且且被被P點平分的點平分的弦所弦所在直線方程；（需設求斜率）在直線方程；（需設求斜率）)1 , 1 (yxo)1 , 1 (Pyx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB韋達定理、中點公式韋達定理、中點公式 板書板書)則由)則由y y, ,B(xB(x), ),y y, ,點分別為A(x點分別為A(x設弦的兩端設弦的兩端1),1),k(xk(x1

13、 1設直線為y設直線為y: :(1)解1(1)解12 22 21 11 1消y整理得,消y整理得,1 12 2y y4 4x x1) 1)k(xk(x1 1y y2 22 20 04 4k)k)2(12(1k)xk)x4k(14k(1)x)x2k2k(1 (12 22 22 22 22k2k1 1k)k)4k(14k(11, 1,2 2x xx x2 22 21 1, ,2 21 1k kyx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB0 0時,時,2 21 1k k0即為所求.0即為所求.3 32y2y故x故x方法一：韋達定理及中點公式方法一：韋達定理及中點公式 驗證驗證板書板書4

14、42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 1-，整理得，整理得0 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 12k k2 21 1x xx xy yy y2 21 12 21 1. .0 03 32y2yx x即為所求方法二方法二 點差法點差法點差法步驟：設點，代入，作差，點差法步驟：設點，代入，作差，變形，利用中點坐標，弦的斜率公式變形，利用中點坐標，弦的斜率公式板書板書2 2y yy y2,2,x xx x2 21 12 21 1中點坐標弦的斜率公式弦的斜率公式

15、(1)問題二：問題二：例例2 (2) 已知橢圓已知橢圓 C： 。(2)過定點過定點P(1,1)的直線的直線L與橢圓相交與橢圓相交,求求L被橢圓截得的被橢圓截得的弦的中點軌跡弦的中點軌跡方程方程。中點弦問題1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB板書板書則則, , ,y y) )弦弦中中點點為為MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x設設L L與與橢橢圓圓的的交交點點為為A A: :( (2 2) )解解2 22 21 11 1-，整理得整理得2y,2y,y yy y2x,2x,

16、x xx x2 21 12 21 10 01 1x x1 1y y4y4y2x2x212111ABPMyyyKKxxx0 02y2yx x2y2yx x2 22 24 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 12點差法點差法yx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB點差法步驟：設點，代入，作差，變形，點差法步驟：設點，代入，作差，變形，利用中點及弦的斜率公式利用中點及弦的斜率公式 體會設點消點，體會設點

17、消點，此時，用到直線上四個點坐標此時，用到直線上四個點坐標代入上式代入上式板書板書中點坐標斜率公式斜率公式 點差法步驟：設點代入，作差，變形，點差法步驟：設點代入，作差，變形，利用中點公式利用中點公式及及弦的斜率公式弦的斜率公式 會設點消點會設點消點點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差目的是作差目的是構造出構造出弦的中點坐標和弦的斜率弦的中點坐標和弦的斜率問題二：問題二：例例2 已知橢圓已知橢圓 C： 。(3)斜率為斜率為2的直線的直線L（有很多條）（有很多條）與橢圓相交與橢圓相交,求求L被截得的被截得的弦的中點軌跡方程弦的中點軌跡方程。中點弦問

18、題1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0),(11yxA),(22yxB板書板書求斜率為求斜率為2的直線的直線L與定直線平行與定直線平行點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差目的是作差目的是構造出弦的中點坐標和弦的斜率構造出弦的中點坐標和弦的斜率則則, , ,y y) )弦弦中中點點為為MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x設設L L與與橢橢圓圓的的交交點點為為A A: :( (3 3) )解解2 22 21 11 12y,2y,y yy y2x,2x,x xx x2 21 1

19、2 21 10 08y8y2x2x2 2x xx xy yy y2 21 12 21 14 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 12）即為所求.）即為所求.3 32 24 4x x3 32 24 40（0（4y4yx x解得,解得,4 42y2yx xx x4 4- -y y由由2 22 210 04y4yx x3 32 24 4，x，x3 32 24 4x x2 21 1yx0),(11yxA),(22yxB點

20、差法點差法-，整理得整理得板書板書x怎樣求 限制范圍點差法：點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差目的是作差目的是構造出弦的中點坐標和弦的斜率構造出弦的中點坐標和弦的斜率問題三：問題三：例例3 已知橢圓已知橢圓 C： ，P(x,y)是是 C上任意一點。上任意一點。191622yx(1)求求P到直線到直線L：y=x-6的距離最小值；的距離最小值；下邊切點到直線下邊切點到直線L距離轉化為直線與直線距離距離轉化為直線與直線距離22最值問題y0參數(shù)法參數(shù)法切線法切線法(2)求函數(shù)求函數(shù)u=y-x的最大值的最大值轉化為直線轉化為直線L截距最大值截距最大值；(3)求函

21、數(shù)求函數(shù)w = 的值域的值域86xy474,4745板書板書思考yx0)6, 8( A1p2p求函數(shù)求函數(shù)w = 的值域的值域（聯(lián)立方程，用聯(lián)立方程，用=0求出求出w)86xy板書板書lmm思考：最大距離為多少？思考：最大距離為多少？22|4025|15414145d 1541.41所所以以最最小小距距離離是是654141板書板書問題轉化為問題轉化為下邊切點到直線下邊切點到直線L距離轉化為直線與直線距離距離轉化為直線與直線距離(1)1新編高中同步 作業(yè)P63#7、#82 新編高中同步 作業(yè)P64 #7、#8作業(yè)：3 新編高中同步 作業(yè)P66 #7、#84新編高中同步 作業(yè)P67 #7、#8(

22、, )( 0)M x yF c若點與定點，的距離和它到定直線思考上面思考上面探究問題探究問題，并回答下列問題：，并回答下列問題：的的距距離離和和它它到到定定直直線線，與與定定點點）若若點點（)0(),(3cFyxM 的的，此此時時點點的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 ？軌軌跡跡還還是是同同一一個個橢橢圓圓嗎嗎時時，對對應應，定定直直線線改改為為，）當當定定點點改改為為（caylcF2:)0(4 ？的的軌軌跡跡方方程程又又是是怎怎樣樣呢呢探究：探究：的的軌軌跡跡。，求求點點的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐標法如何求出其）用坐標法

23、如何求出其軌跡方程軌跡方程，并說出軌跡，并說出軌跡（2）給橢圓下一個新的定義）給橢圓下一個新的定義一般情況一般情況求求軌軌跡跡就就是是集集合合的的距距離離，根根據(jù)據(jù)題題意意，所所直直線線是是點點解解：設設lMd, acdMFMP由此可得：由此可得：.)(222acxcaycx 簡簡，得得將將上上式式兩兩邊邊平平方方，并并化化).()22222222caayaxca （則方程可化成則方程可化成設設,222bca ).0( 12222 babyaxM這是橢圓的標準方程，所以點的軌跡是長軸、短軸長.22的橢圓的橢圓、分別為分別為ba( , )M x y點2:al xc好內容好內容：2:al xcl2

24、.*5axc 準線方程是補充* *上述定義中定直線稱為準線上述定義中定直線稱為準線；定點為焦點；常數(shù)；定點為焦點；常數(shù)為離心率為離心率* *橢圓與準線無交點；橢圓與準線無交點；222222*1(0)( ,0);(,0).xyababaF cxcaFcxc 對于橢圓，焦點的準線方程是根據(jù)對稱性，相應于焦點的準線方程是相應于* *離心率離心率即即橢圓上一點到焦點的距離與到相應的準線距橢圓上一點到焦點的距離與到相應的準線距離的比離的比幾何意義幾何意義. .* *補充：補充：橢圓的第二定義：橢圓的第二定義： 動動點點M M與一與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常個定點的距離和它到一條定直線的

25、距離的比是常數(shù)數(shù)e=c/a(0e1)e=c/a(0e1)時，這個點的軌跡是橢圓時，這個點的軌跡是橢圓. .平面內與橢圓的第一定義與第二定義是相呼應的。橢圓的第一定義與第二定義是相呼應的。定義定義 1圖圖 形形定義定義 2平平面面內內與與一一個個定定點點的的距距離離和和它它到到一一條條定定直直線線的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù))10( eace的的點點的的軌軌跡跡。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦點：焦點： ),0(),0(21cFcF、焦焦點點： cax2 準線：準線：cay2 準線：準線：、兩兩個個定定點點1F的的距距離離的的和和2F等等于于常常數(shù)數(shù)（大大）的的點點于于21FF的的軌軌

26、跡跡。平面內與平面內與定義：定義：注：我們一般把這個定義稱為橢圓的第二定義，注：我們一般把這個定義稱為橢圓的第二定義，而相應的把另一個定義稱為橢圓的第一定義。而相應的把另一個定義稱為橢圓的第一定義。一一個個定定點點的的距距平面內與平面內與離離和和它它到到一一條條定定直直線線的的距距離離 的的比比是是常常數(shù)數(shù))10( eace的的點點的的軌軌跡跡。定點定點是橢圓的焦點，是橢圓的焦點，定直線定直線叫做橢圓的準線。叫做橢圓的準線。例例6 6、已知橢圓的方程為、已知橢圓的方程為 ，若橢圓上一，若橢圓上一點點P P在第二象限，且在第二象限，且PFPF1 1F F2 2=120=120，F(xiàn) F1 1、F

27、F2 2分別為分別為橢圓左右焦點，橢圓左右焦點， 求求 PF PF1 1F F2 2的面積的面積. .13422 yxPFPF1 1F F2 2稱為焦點三角形，解決和其有關的問題常涉及稱為焦點三角形，解決和其有關的問題常涉及用到正、余弦定理；用到正、余弦定理；若若PFPF1 1F F2 2中，中，F(xiàn) F1 1PFPF2 2= =，易推得，易推得S SPFPF1 1F F2 2=btan=btan2 2( (/2)/2)|PF|PF1 1| |、|PF|PF2 2| |稱為焦半徑，若設稱為焦半徑，若設P(xP(x0 0，y y0 0) )，則，則|PF|PF1 1|=a+ex|=a+ex0 0、

28、|PF|PF2 2|=a-ex|=a-ex0 0; ;|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |的最大值為的最大值為a a2 2, ,即即P P為短軸頂點；為短軸頂點；其周長為其周長為2a+2c.2a+2c.226123143xyabc 例 ： 解：由可知，2|21 FF21211221212221cos|2|FPFFFPFFFPFPFFPF 中，中，)1(4|2|12122 PFPFPF即即)2(| -4|a-2|112PFPFPF 又又56|)2)(1(1 PF可得可得由由 21211sin|2121FPFFFPFSFPF2325621 533 例例6 6 （1 1）解法二）解法二：設：設

29、P(xP(x0 0，y y0 0) )，依題，依題x x0 0000；則則|PF|PF1 1|=a+ex|=a+ex0 0、|PF|PF2 2|=a-ex|=a-ex0 0; ;又又|F|F1 1F F2 2|=2|=2|2|cos211222212121FFPFPFFFPFFPF 2148800 xx580 x56|1 PF 21211sin|2121FPFFFPFSFPF2325621 533 例例6點點P P是橢圓是橢圓 （ab0)ab0)上除長軸頂點外的上除長軸頂點外的一點，一點，F(xiàn) F1 1、F F2 2是橢圓的兩個焦點，是橢圓的兩個焦點，F(xiàn) F1 1PFPF2 2= =，證明證明：

30、2221 tgbSPFF 12222 byax簡證：余弦定理得簡證：余弦定理得|F|F1 1F F2 2| |2 2=|PF=|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos|cos = =（|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |）2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2| |（1+cos1+cos ） =(2a)=(2a)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2| |（1+cos1+cos ）=4c=4c2 2 cos12221bPFPF122212112sinsin22 1cos2F PFbSPF

31、 PFbtg.221211121PFaPFPFaPFPFPF 解解一一：，解解二二：20222202221xacaxeaPFPF .21aaPF時時，值值最最大大為為當當 .020ax時時，值值最最大大為為當當 222121)2(aPFPFPFPF 解解三三：聯(lián)聯(lián)系系緊緊扣扣定定義義，去去挖挖掘掘之之間間均值不等式定理的使用二二次次函函數(shù)數(shù)例例6 6題型題型1.橢圓的定義與方程橢圓的定義與方程例例1.已知動圓已知動圓P過定點過定點A(-3,0),并且在圓并且在圓B:(x-3)2+y2=64的內部與其相內切的內部與其相內切,求動圓圓求動圓圓心心P的軌跡方程的軌跡方程.171622yxABPOyx題型題型2.橢圓的幾何性質橢圓的幾何性質(焦點三角形中的問題焦點三角形中的問題)1222221212.1(0)10,tan,2_PFFxyababPF PFPFF 例2已知點 是以 、為焦點的橢圓上的一點，若則此橢圓的離心率為練習練習: 考例考例2的變式的變式; 35參見參見專題小課本專題小課本例例2已知已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，為橢圓上一點，F(xiàn)1PF2600(1)求橢圓離心率的范圍求橢圓離心率的范圍