函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

1、 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(一) 教學(xué)目的：掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)熟記一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.(二) 教學(xué)內(nèi)容：泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式的定義；五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式基本要求：(1)掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林展開(kāi)式，五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(2)學(xué)會(huì)用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法展開(kāi)初等函數(shù)，并利用它們作間接展開(kāi)(三) 教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林展開(kāi)式，并利用五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)某些初等函數(shù)或作間接展開(kāi)(2) 對(duì)較好學(xué)生可布置利用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積的方法展開(kāi)初等函數(shù)的習(xí)題Taylor級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Taylor

2、公式： .余項(xiàng)的形式:Peano型余項(xiàng):, （ 只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在 ）Lagrange型余項(xiàng):在與之間. 或 .積分型余項(xiàng): 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí), 有.Cauchy余項(xiàng): 在上述積分型余項(xiàng)的條件下, 有Cauchy余項(xiàng).特別地，時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為在與之間.Taylor公式的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí), 得,自然會(huì)有以下問(wèn)題: 對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù), 在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi), 函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢? 回答是否定的. 例1 函數(shù)在點(diǎn) 無(wú)限次可微. 求得 . 其Taylor級(jí)數(shù)為.該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 僅在區(qū)間內(nèi)有=. 而在其他點(diǎn)并不相等, 因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)

3、散.那么, 在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 是否必有和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢 ? 回答也是否定的. 例2 函數(shù) 在點(diǎn) 無(wú)限次可導(dǎo)且有，因此其Taylor級(jí)數(shù)，在內(nèi)處處收斂 . 但除了點(diǎn)外, 函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等.另一方面,由（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有, 則在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).綜上 , 我們有如下結(jié)論:(1)對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù), 其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散; 參閱 復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析下冊(cè)P90第9題 ); 即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其Taylor級(jí)數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是. 由此可見(jiàn), 不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的Taylor級(jí)數(shù).

4、(2) 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù), 則該冪級(jí)數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).于是 , 為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其Taylor級(jí)數(shù).4. 可展條件:定理1 ( 必要條件 ) 函數(shù)在點(diǎn)可展 , 在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .定理2 ( 充要條件 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) . 則在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)( 即可展 )的充要條件是: 對(duì), 有. 其中是Taylor公式中的余項(xiàng).證 把函數(shù)展開(kāi)為階Taylor公式, 有.定理3 ( 充分條件 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界, 則函數(shù)可展.證 利用Lagrange型余項(xiàng) , 設(shè) , 則有.例

5、3 展開(kāi)函數(shù)1） 按 冪; 2）按冪.解 , , .所以 , 1）.可見(jiàn) , 的多項(xiàng)式的Maclaurin展開(kāi)式就是其本身. 2） .二. 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 , 或直接展開(kāi), 或間接展開(kāi).1 . ( 驗(yàn)證對(duì)R ，在區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). 2 , ., .可展是因?yàn)樵趦?nèi)一致有界.3. 二項(xiàng)式 的展開(kāi)式:為正整數(shù)時(shí), 為多項(xiàng)式, 展開(kāi)式為其自身;為不是正整數(shù)時(shí), 可在區(qū)間內(nèi)展開(kāi)為對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng). 進(jìn)一步地討論可知 ( 參閱. 微積分學(xué)教程Vol 2 第二分冊(cè).):時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?利用二項(xiàng)式 的展開(kāi)式 , 可得到很多函數(shù)的展開(kāi)式. 例如取,得， .時(shí), , .間接展開(kāi):利用已知展開(kāi)式 , 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算, 可得到一些函數(shù)的展開(kāi)式. 利用微積運(yùn)算時(shí), 要求一致收斂. 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂,總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻.事實(shí)上 , 利用上述的展開(kāi)式, 兩端積分 , 就有,