求磁感應強度B

1、第二章第二章 討論課討論課求磁感應強度求磁感應強度B B 關于磁力的討論關于磁力的討論綜合討論綜合討論2005.3北京大學物理學院王稼軍編求磁感應強度求磁感應強度Bn例一：一無窮長載流直導線，例一：一無窮長載流直導線，在某處彎成一個半徑為在某處彎成一個半徑為R R的半的半形，通以電流，求垂直于形，通以電流，求垂直于O點點的直線上一點的直線上一點P(OP=x) )的磁感的磁感應強度應強度n解：分三段取微元算解：分三段取微元算n半圓半圓 n兩半無限長兩半無限長n問題：問題：n可否先求出閉合圓環(huán)軸線上的場可否先求出閉合圓環(huán)軸線上的場再取其二分之一？再取其二分之一？n對半圓取微元求對半圓取微元求dB，

2、如此投影？，如此投影？304rrlIdBd cos,sindBdBdBdBzx2005.3北京大學物理學院王稼軍編結論：結論：n用整個圓環(huán)后取用整個圓環(huán)后取1/2，只求了只求了 x軸分量，丟軸分量，丟掉了掉了 z分量分量cos,sindBdBdBdBzxXn 如此投影沒有考慮如此投影沒有考慮dB矢量性矢量性sincos,sindBdBdBdBzx n 正確的做法正確的做法注意各個量的注意各個量的表示表示2005.3北京大學物理學院王稼軍編n例二：證明當一對電流元對一平面成鏡象對例二：證明當一對電流元對一平面成鏡象對稱時，它們在對稱面上產生的合磁感應強度稱時，它們在對稱面上產生的合磁感應強度必沿

3、平面的法線方向。必沿平面的法線方向。jdyidxl d111),(rcbaPAjdyidxl d222),(rcbaPA2211rl drl dBdPicdycbadydxkjicbadydxkji20021)()(rjdyidxrjdyidxBP)()(2121rrjdyrridxia2kcj b22icdy22005.3北京大學物理學院王稼軍編 n例三：如圖電流例三：如圖電流 I流過邊長為流過邊長為a的等的等邊三角形導線，求電流在此三角形邊三角形導線，求電流在此三角形為底的正四面體的頂點處為底的正四面體的頂點處P的磁感的磁感應強度應強度B的大小和方向的大小和方向n解題的要點是抓住解題的要點

4、是抓住B的矢量性，空間角度的矢量性，空間角度n先求一根導線在先求一根導線在P點的點的B，分析三根導線產生的，分析三根導線產生的B的關系，然后投影、疊加的關系，然后投影、疊加10110cos2)cos(cos4rIrIBABar23213coscos11032BBBaIBCABCAB2005.3北京大學物理學院王稼軍編三者方向三者方向n方向向上同方向向上同 B 0|Bcos33131BBBBP31cosPDODaIaIaIBP6332313230002005.3北京大學物理學院王稼軍編n例四：如圖取直角坐標系例四：如圖取直角坐標系 xyz 在在-d x d的一層無窮區(qū)域內有均勻的一層無窮區(qū)域內有

5、均勻的傳導電流，電流密度的方向為的傳導電流，電流密度的方向為z軸軸的正方向，大小恒定為的正方向，大小恒定為 j。試求區(qū)域。試求區(qū)域內外各處的磁感應強度內外各處的磁感應強度B 的分布。的分布。n可以等效于一系列與可以等效于一系列與Z軸平行的無線大電流平軸平行的無線大電流平 板。磁感應強度只有板。磁感應強度只有y軸分量軸分量n 先將平板分割成無限大載流平面先將平板分割成無限大載流平面n討論一塊無限大載流平面產生磁場討論一塊無限大載流平面產生磁場B的對稱性的對稱性n討論該區(qū)域電流產生磁場的對稱性討論該區(qū)域電流產生磁場的對稱性n利用安培環(huán)路定理算出利用安培環(huán)路定理算出2005.3北京大學物理學院王稼軍

6、編n切一薄片沿切一薄片沿Z軸分割成成對軸分割成成對長直導線，疊加結果的長直導線，疊加結果的dB必平行或反平行于必平行或反平行于 y軸；軸；n或者從軸矢量角度分析或者從軸矢量角度分析n對一塊板作安培環(huán)路對一塊板作安培環(huán)路Ljll dB0jllB02jB20n結論：結論： B與距離無關與距離無關 2005.3北京大學物理學院王稼軍編疊加結果：中垂面上疊加結果：中垂面上B=0n作高斯面如圖作高斯面如圖 jxldlBdxL0jxB0jdldlBdxL0jdB0jB202005.3北京大學物理學院王稼軍編n例五：如圖例五：如圖(a)所示，半徑為所示，半徑為R、質量為、質量為m的勻的勻質細圓環(huán)均勻帶電，總

7、電量為質細圓環(huán)均勻帶電，總電量為Q(Qo)，放在，放在光滑的水平面上環(huán)內外有垂直環(huán)面向上的均光滑的水平面上環(huán)內外有垂直環(huán)面向上的均勻磁場勻磁場B若將圓環(huán)以角速度若將圓環(huán)以角速度 繞著通過圓心的繞著通過圓心的豎直軸勻速旋轉試求環(huán)內因為這種轉動而形豎直軸勻速旋轉試求環(huán)內因為這種轉動而形成的附加張力。成的附加張力。磁場中環(huán)磁場中環(huán)旋轉形成旋轉形成電流，電流，對環(huán)對環(huán)的一的一個微個微元分元分析力析力安培力安培力張力張力合力維持勻速旋轉合力維持勻速旋轉/2QI 磁力磁力2005.3北京大學物理學院王稼軍編n微元在磁場微元在磁場B中受力中受力BRdQIdlBdFm2TddTdFT2sin2RmdRvdmd

8、FO222)(n微元所受附加張力微元所受附加張力T n合力合力 dRmdQBRTdFdFdFmTO2)2(2n討論：討論：n線圈受到安培力屬于什么性質的力？線圈受到安培力屬于什么性質的力？ n這里的電荷是否是嚴格的線分布？這里的電荷是否是嚴格的線分布？/2QI )(2mQBRTdmRdRmdm222005.3北京大學物理學院王稼軍編n無外場情況下載流線圈受力無外場情況下載流線圈受力n擴張力擴張力使線圈變形使線圈變形n如果擴張力大如果擴張力大線圈斷裂線圈斷裂 n例：超導線圈，零電阻，允許大電例：超導線圈，零電阻，允許大電流通過，所以出現(xiàn)線圈損傷的原因流通過，所以出現(xiàn)線圈損傷的原因不是不是“燒壞燒

9、壞”的，而是撐壞的的，而是撐壞的擴張力的后果擴張力的后果n等離子體磁約束，外加磁場靠大電等離子體磁約束，外加磁場靠大電流提供，需要考慮裝置的承受力流提供，需要考慮裝置的承受力都是擴都是擴張力張力A3101A510n結論：結論：線圈自身安培力使圈內磁場區(qū)得以擴大線圈自身安培力使圈內磁場區(qū)得以擴大線圈受到的安培力為擴張力線圈受到的安培力為擴張力2005.3北京大學物理學院王稼軍編電荷是否是嚴格的線分布？電荷是否是嚴格的線分布？n否！否！n如果電荷分布為嚴格的線密度分布，則每如果電荷分布為嚴格的線密度分布，則每個相鄰電荷之間的間距趨于零，靜電斥力個相鄰電荷之間的間距趨于零，靜電斥力( (張力張力)

10、)必然發(fā)散。必然發(fā)散。n實際的環(huán)上的電荷分布不是線分布，而是實際的環(huán)上的電荷分布不是線分布，而是體分布。所以張力為有限值體分布。所以張力為有限值 n所謂線分布或點分布都是理想模型所謂線分布或點分布都是理想模型2005.3北京大學物理學院王稼軍編例六例六n設電子質量為設電子質量為m，帶負電荷，帶負電荷e，以角速度，以角速度 繞帶正電的質子作圓周運動。當加上外磁繞帶正電的質子作圓周運動。當加上外磁場場B,其方向垂直于電子軌道平面，其方向垂直于電子軌道平面，設電子設電子軌道半徑不因加上磁場而改變軌道半徑不因加上磁場而改變，試證明電，試證明電子角速度的改變量近似等于子角速度的改變量近似等于 meB2

11、2005.3北京大學物理學院王稼軍編即討論：外磁場對電子軌道運動的影響即討論：外磁場對電子軌道運動的影響 n無磁場時，電子僅受庫侖力，其角速度無磁場時，電子僅受庫侖力，其角速度 0滿足滿足n加外磁場加外磁場B，設電子角速度平行于外磁場，設電子角速度平行于外磁場，電子受電子受庫侖力、洛侖茲力（庫侖力、洛侖茲力（與庫侖力同向）與庫侖力同向），假設軌道的半，假設軌道的半徑不變（相當于定態(tài)假設），設洛侖茲力遠小于庫侖徑不變（相當于定態(tài)假設），設洛侖茲力遠小于庫侖力有力有rmrZe202024213020)4(mrZermrBerZe2202400,020222005.3北京大學物理學院王稼軍編emeB

12、rmrBe020rmrmrBerBerZe020020224洛倫茲力遠小洛倫茲力遠小于庫侖力，高于庫侖力，高階無窮小，略階無窮小，略meB2n考慮電子角速度反平行于外磁場，有同考慮電子角速度反平行于外磁場，有同樣結論，樣結論，的方向總是與外磁場的方向總是與外磁場B相同相同 n電子角速度改變將引起電子磁矩改變電子角速度改變將引起電子磁矩改變 Bmmreer42222總是與外總是與外磁場方向磁場方向相反相反2005.3北京大學物理學院王稼軍編綜合討論綜合討論n如何理解密繞無限長螺如何理解密繞無限長螺線管外部線管外部B=0？n討論書上討論書上p141思考題思考題27：利用圓形線圈軸線利用圓形線圈軸線上磁場公式算出上磁場公式算出 IdzZRIRBdzl dB0232220)(24n結果等同于結果等同于Il dBL0n原來證明螺線管外部原來證明螺線管外部B=0?如何理解？如何理解？2005.3北京大學物理學院王稼軍編n28問證明無限長螺線管問證明無限長螺線管外部磁場為零點成立