2004年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題分類集錦3王瑛

1、34中學(xué)數(shù)學(xué)2004年第 10期2004年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題分類集錦 ( )王瑛整理6三解函數(shù)( A ) 2( B)( C) 2( D) 4B ( 1) 全國(guó)卷 理 ( 9) 為了得到函數(shù) y = sin( 2x( 9) 福建卷理 ( 2) tan15+ co t15等于 ().- x ) 的圖像 ,可以將函數(shù) y = co s2x 的圖像 () .6( A ) 2 ( B) 2+3( C) 4 ( D) 433C ( A ) 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度6( B) 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度3( 10) 福建卷理 ( 11) 定義在 R上的函數(shù) f ( x )滿足 f ( x ) = f ( x + 2)

2、, 當(dāng) x 3, 5 時(shí) , f ( x ) = 2 -|x - 4|, 則 () .( A ) f ( sin ) f ( co s1)( C) f ( co s 2 ) f ( sin2) D ( 11) 湖北卷理 ( 12) 設(shè) y = f ( t ) 是某港口水的深度 y (米 ) 關(guān)于時(shí)間 t (時(shí) ) 的函數(shù) ,其中 0 t 24.( A ) - 6( B) 6( C) - 12( D ) 12 A 下表是該港口某一天從 0時(shí)至 24時(shí)記錄的時(shí)間 t 與水深 y 的關(guān)系:( 3) 全國(guó)卷 理 ( 11) 函數(shù) y = sin4x + co s2x的最小正周期為 () . t0369

3、1215182124( A )( B)4( C)( D) 2B 2 x y12 15. 1 12. 1 9. 1 11. 9 14. 9 11. 9 8. 9 12. 1經(jīng)長(zhǎng)期觀察 ,函數(shù) y = f ( t) 的圖像可以近似地看成函數(shù) y = k + A sin(kt+ h) 的圖像 . 下面的函數(shù)中 ,最能( 4) 全國(guó)卷 理 ( 2) 函數(shù) y = |sin 2 |的最小正周期是 () .近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 () .( A ) y = 12+ 3sin t , t 0, 24 ( A ) 2( B)( C) 2( D) 4C 6( B) y = 12+ 3sin( t +

4、 ) , t 0, 24( 5) 全國(guó)卷 文 ( 10) 函數(shù) y = 2sin( 3- co s( + x ) (x R) 的最小值等于 ( ) .6- x )6( C) y = 12+ 3sin t , t 0, 24 12( D) y = 12+ 3sin( t + ) , t 0, 24 A 122( A) - 3 ( B) - 2 ( C) - 1 ( D) -5C ( 6) 天津卷理 ( 12) 定義在 R上的函數(shù) f ( x ) 既是偶函數(shù)又是周期函數(shù) , 若 f (x ) 的最小正周期是 ,( 12) 重慶卷理 ( 5) sin163sin223+ sin253sin313=

5、() .且 當(dāng) x 0,2 時(shí) , f ( x ) = sinx , 則 f (53 ) 的值為( A ) - 12( B) 12( C) - 32( D) 32B () .( 13) 廣東卷 ( 5) 函數(shù) f ( x ) = sin2 (x + ) -4( A) - 12( B) 12( C) - 32( D) 32 D sin2 ( x - ) 是 () .4( 7) 上海卷理 ( 14) 三角方程 2sin( - x ) = 12的解集為 () .( A ) x|x = 2k+ , k Z .3( A ) 周期為 的奇函數(shù)( B) 周期為 的偶函數(shù)( C) 周期為 2的奇函數(shù)( D )

6、周期為 2的偶函數(shù) A ( 14) 廣東卷 ( 9) 當(dāng) 0 x f ( - 1) f ( 1)( B) f ( 0) f ( 1) f ( - 1)解得( C) f ( 1) f ( 0) f ( - 1)ta nB =3526 , 舍去負(fù)值得2( D) f ( - 1) f ( 0) f ( 1) A ( 16) 全 國(guó) 卷 理 ( 14) 函 數(shù) y =sinx +3 co sx 在區(qū)間 0, 上的最小值為 . 1 2( 17) 全 國(guó) 卷 文 ( 15) 函 數(shù) y =sinx -ta nB = 2+6 ,2ta nA = 2tanB = 2+6 .設(shè) AB 邊上的高為 CD ,則AB

7、 = AD+ DB= CD + CD = 3CD , 1 5tanAta nB2+62 co sx ( x R) 的最大值為 . 2由AB = 3, 得CD = 2+6 .( 18) 全國(guó)卷 理 ( 15) 函數(shù) f ( x ) = cosx - 1 co s2x ( x R) 的最大值等于 . 3 所以 AB 邊上的高等于 2+6 .( 25) 全國(guó)卷 理 ( 17) 已知 T為銳角 , 且 tanT24( 19) 全國(guó)卷 文 ( 14) 已知函數(shù)y = 1 = 1 , 求2sin2TcosT- sinTsin2Tcos2T 的值 .2解原式 = sinTco s2T ,sin x + (

8、A 0) 的最小正周期為 3,則 A =A . 3 2 ( 20) 北京卷理 ( 9) 函數(shù) f ( x ) = co s2x -23 sinx cosx 的最小正周期是 . ( 21) 北京卷文 ( 9) 函數(shù) f ( x ) = sinx co sx 的最小正周期是 . 2sinTcosTcos2T因?yàn)閠a nT= 1 時(shí) ,sinT 0,co s2T 0,2T所以原式 = 1 . 又因?yàn)?T為銳角 ,2cos由ta nT= 1 ,得cosT= 2 ,25所以原式 = 5 .4 3( 26) 全國(guó)卷 理 ( 17) 已知 T為第二象限角 , 3 sin(T+ )( 23) 全 國(guó) 卷 理

9、( 17) 求 函 數(shù) f ( x ) =sin4x + cos4 x + sin2x cos2x 的最小正周期、最大值和且 sinT= 15 ,求 4的值.TT4sin2 + co s2 + 12 - sin2xsin(T+4 )最小值 .(解答見(jiàn)本刊 2004年第 7期 P38)解sin2T+ cos2T+ 1 2 ( 24) 全國(guó)卷 理 ( 17) 已知銳角 ABC 中 ,sin( A + B ) = 3 , sin( A - B ) = 1 .2 ( sinT+ co sT)= 2sinTco sT+ 2co s2T= 2 ( sinT+ cosT) . 4co sT( sinT+ c

10、o sT)55( ) 求 證 tanA = 2ta nB ;當(dāng) T為第二象限角 ,且 sinT= 15 時(shí) ,4( ) 設(shè) AB = 3, 求 AB 邊上的高 .( ) 證明由 sin( A+ B )= 3 , sin( A- B )= 1 ,sinT+ co sT 0,cosT= - 1 , 455 sinA cosB + co sAsinB = 3 ,sin(T+4 ) 25所以sin2T+ cos2T+ 1 = 4co sT= -2 .sinA cosB - co sAsinB = 1 .5 2( 27) 北京卷理 ( 15) 在 ABC中 , sinA + co sA= 2 , AC

11、= 2, AB = 3,求 tanA的值和 ABC的sinA cosB =co sA sinB =5 , 1 . 5ta nA = 2. ta nB2面積 . 解法 1 由sinA+ cosA=2 cos( A - 45)所以tanA = 2ta nB.= 2 ,得cos( A - 45) = 1 .( ) 解 A + B ,222sin( A + B ) = 3 ,5ta n( A + B ) = - 3 ,4又0 A 180, 得A - 45= 60, A = 105.ta nA = ta n( 45+ 60)= 1+3 = - 2 -3 .1 -3 即 tanA + tanB 1 - t

12、a nA tanB= - 3 ,4sinA= sin105= sin( 45+ 60) = 2 +6 .4將 ta nA = 2tanB 代入上式并整理得2tan2B - 4tanB - 1 = 0.故S= 1 AC AB sinA = 3 (2 +6 ) .A BC2436中學(xué)數(shù)學(xué)2004年第 10期解 法 2 由 sinA + co sA = 22( ) 求 sin2 B + C + co s2A 的值;2得( sinA + co sA ) 2 = 1 , 2sinA cosA = - 1 .( ) 若 a =3 ,求 bc的最大值 .22解( )sin2 B + C + co s2A又0

13、 A 0,co sA 0.( sinA - cosA )2= 1- 2sinAco sA= 3 ,2 62= 1 1 - cos( B + C ) + ( 2co s2 A - 1) 2= 1 ( 1+ cosA ) + ( 2co s2 A - 1) = - 1 .sinA - cosA =229b2 + c2 - a2 1 + 得sinA = 2 +6 .( ) 2bc= co sA =3 , 4 - 得cosA = 2 -6 .4ta nA = sinA = - 2 -3 .co sA 2 bc = b2 + c2 - a2 2bc - a2 , 3 bc 3 a2 . 又a =3 ,4

14、bc 9 ,當(dāng)且僅當(dāng) b = c = 3 時(shí) , bc = 9 ,(以下同解法 1)( 28) 天津卷理 ( 17) 已知 tan( + T) =4 1 ,2424故 bc 的最大值是 9 .4( 1) 求 tanT的值 ;( 2) 求sin2T- co s2T1+ co s2T 的值.( 31) 湖北卷理 ( 17) 已知 6sin2T+ sinTco sT-2co s2T= 0,T ,) , 求 sin( 2T+ ) 的值 .( 1) 解tan( + T) = 41+ tanT1 - tanT,23(解答見(jiàn)本刊 2004年第 7期 P42)由ta n( + T) = 1 , 有1+ tan

15、T 1 ,( 32) 湖南卷理 ( 17) 已知sin( + 2T) 421 - tanT=24解得ta nT= - 1 .sin( - 2T) = 1 , T ( , ) ,求 2sin2T+ tanT-( 2) 解法 13sin2T- cos2T1+ co s2T =2sinTcosT- co s2T 1+ 2cos2T- 14442co tT- 1的值.解由 sin( + 2T) sin( - 2a )2sinT- co sT 1 544=2co sT= tanT-2 = - 6 .= sin( + 2T) co s( + 2T) 144解法 2 由 ( 1) , tanT= -3 ,=

16、 1 sin( + 4T) = 1 cos4T= 1 , 12224得sinT= -3 co sT,得co s4T= 1 . 又T ( , ) ,所以T= 5. 1 124212sin2T=cos2T,1 - co s2T=9co s2T,9于是2sin2T+ ta nT- cotT- 1sin2T- co s2T- 2co s2T即co s2T= 9 ,于是co s2T= 4 ,= - co s2T+sinTco sT = - co s2T+sin2T105 2 3= - ( cos2T+ 2co t2T) = - ( co s 5 + 2co t 5 )sin2T= 2sinTco sT=

17、 -代入得sin2T- cos2Tco s2T= -3 55 , 66 3 51+ co s2T =6 .= - ( -2- 23 ) =23 .( 29) 江蘇卷 ( 17) 已知 0 T ,ta n T+( 33) 湖南卷文 ( 17) 已知 ta n( + T) = 2,求2cot T = 5 , 求 sin(T- ) 的值 .24 1的值 .2232sinTcosT+ co s2T解由已知 tan T + co t T = 2= 5 ,解由 tan( + T) = 1+ tanT22sinT2得sinT= 4 . 0 T 0,B (, 2)或B (, - 2 ) ,EC1 = ( 1,

18、 3, 2) ,FD1 ( - 4, 2, 2) .設(shè)向量 n ( x , y , z ) 與平面 C1DE 垂直 , 則有又 F ( 1, 0) ,得直線 l 的方程為(- 1) y = 2 (x - 1)或(- 1) y = - 2 ( x - 1) .n DEn EC1 3x - 3y = 0x + 3y + 2z = 0x = y = - 1 z .22n = ( - z , - z , z ) = z ( - 1, - 1, 2) ,當(dāng) 4, 9 時(shí) , 直線 l在 y軸上的截距為 - 1222或 -.2 - 1( 17) 福建卷理 ( 17) 設(shè)函數(shù) f ( x ) = a b ,

19、其中其中 z 0.取 n0 = ( - 1, - 1, 2) , 則 n0 是一個(gè)與平面 C1 DE垂直的向量.向量 A A1 = ( 0, 0, 2) 與平面 CDE 垂直 ,n 與 A A 所成的角為二面角 C - DE - C向 量 a = ( 2cosx , 1) , b = ( cosx ,3 sin2x ) , x R.( ) 若 f ( x ) = 1 -3 且 x - , ,0的平面角 .11 n AA 633cos=0 1=,求 x ;( ) 若函數(shù) y = 2sin2x 的圖像按向量 c =( m, n) (|m| ) 平移后得到函數(shù) y = f ( x ) 的圖|n0|

20、|A A1| 3tan= 2 .22( ) 設(shè) EC1 與 FD1 所成的角為 U,則像 , 求實(shí)數(shù) m、n 的值. EC FD 21co sU=11=.解( ) 依題設(shè) , f (x ) = 2co s2x +3 sin2x= 1+ 2sin( 2x + ).|EC1| |FD1|14由1+ 2sin( 2x +6 ) = 1 -3 ,6 8 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用( 1) 全國(guó)卷 理 ( 10) 函數(shù) y = x co sx - sinx 在得sin( 2x + ) = - 3 .下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) () .62 3由- x ,有- 2x + 5 , 33266( A ) ( 2 , 2 )(

21、B) (, 2)( C) ( 3, 5 )( D) ( 2, 3)B 2x + = - ,即x = - .22634( ) 函數(shù) y = 2sin2x 的圖像按向量 c = (m , n ) 平移后得到函數(shù) y = 2sin2( x - m ) + n 的圖像 ,即函數(shù) y = f ( x ) 的圖像 .由 ( ) 得f ( x ) = 2sin2( x + ) + 1.12( 2) 全國(guó)卷 文 ( 4) 函數(shù)y = (x + 1) 2 ( x - 1) 在 x = 1處的導(dǎo)數(shù)等于 () .( A ) 1( B) 2( C) 3( D) 4 D ( 3) 天津卷理 ( 9) 函數(shù) y = 2s

22、in( - 2x ) ( x 6 0, ) 為增函數(shù)的區(qū)間是 () . |m| 0 ( B) a 0 ( C)a - 3時(shí) , 在 R上存在一個(gè)區(qū)間 ,其上有 f( x ) 0,所以 , 當(dāng) a - 3時(shí) ,函數(shù) f ( x ) ( x R)不是減函數(shù) .綜上 , 所求 a 的取值范圍是 ( - , - 3.( 14) 全國(guó)卷 理 ( 22) 已知函數(shù)f ( x ) =ln( 1+ x ) - x , g ( x ) = x lnx .( ) 求函數(shù) f ( x ) 的最大值 ;( ) 設(shè) 0 a b ,證明:0 g (a) + g (b) - 2g (a + b ) (b - a ) ln2

23、.2(解答見(jiàn)本刊 2004年第 8期 P37. )( 15) 全國(guó)卷 文 ( 19) 已知直線 l1 為曲線 y = x 2 + x - 2在點(diǎn) ( 1, 0) 處的切線 , l2 為該曲線的另一條切線 , 且 l1 l2 .( ) 求直線 l2 的方程;( ) 求由直線 l1、 l2 和 x 軸所圍成的三角形的面積 .解( )y= 2x + 1.直線 l1 的方程為y = 3x - 3.設(shè)直線 l2 過(guò)曲線y = x 2 + x - 2 上的點(diǎn)B (b , b2 + b - 2) ,則 l2 的方程為y = ( 2b+ 1) x - b2 - 2.12因?yàn)閘 l , 則有2b+ 1= - 1

24、 , b = - 2 . A ( 9) 湖南卷理 ( 12) 設(shè) f ( x )、 g ( x ) 分別是定義332所以直線 l 的方程為y = - 1 x - 22.在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù) ,當(dāng) x 0,且 g ( - 3) = 0,則不等式 f (x ) g ( x ) 0的解集是 () .( ) 解方程組39y = 3x - 3,y = - 1 x - 22( A ) ( - 3, 0) ( 3, + )( B) ( - 3, 0) ( 0, 3)39 .得x = 1 ,y = - 5 .12( C) ( - , - 3) ( 3, + )62( D) ( - , - 3) ( 0,

25、3) D 所以直線 l 和 l 的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1 , - 5 ) .( 10) 湖北卷理 ( 16) 某日中午 12時(shí)整 , 甲船自A 處以 16km /h的速度向正東行駛 ,乙船自 A 的正北18km處以 24km /h 的速度向正南行駛 ,則當(dāng)日 12時(shí)6l1、 l2與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( 1, 0)、 ( -故所求的三角形的面積為2 22 , 0) . 330分 時(shí)兩船之間 距離對(duì)時(shí) 間的變 化率是 km /h.- 1. 6 S = 1 2 25 |- 3 5|= 2 125. 12( 11) 湖南卷文 ( 13) 過(guò)點(diǎn) P( - 1, 2) 且與曲線 y= 3x 2 - 4

26、x + 2在點(diǎn) M( 1, 1) 處的切線平行的直線方( 16) 全 國(guó) 卷 理 ( 18) 求 函 數(shù)f ( x ) = 1程是 . 2x - y + 4 = 0 ln( 1+ x ) -x 2 在 0, 2 上的最大值和最小值.4( 12) 全國(guó)卷 理 ( 19) 已知 a R, 求函數(shù)f ( x ) = x 2eax 的單調(diào)區(qū)間 . (解答見(jiàn)本刊第 7期 P38)( 13) 全國(guó)卷 文 ( 19) 已知函數(shù) f (x ) = ax 3+ 3x 2 - x + 1在 R上是減函數(shù). 求 a 的取值范圍 .解求函數(shù) f ( x ) 的導(dǎo)數(shù):f (x ) = 3ax 2 + 6x - 1.(解

27、答見(jiàn)本刊 2004年第 8期 P38)( 17) 全 國(guó)卷 理 ( 22) 已知 函 數(shù) f ( x ) = e- x ( co sx + sinx ) , 將滿足 f (x ) = 0的所有正數(shù) x 從小到大排成數(shù)列 x n .( ) 證明數(shù)列 f ( xn ) 為等比數(shù)列;( ) 記 Sn 是數(shù)列 xn f ( xn ) 的前 n 項(xiàng)和 ,求 S1 + S2 + + Sn( ) 當(dāng) f( x ) 0( x R) 時(shí) , f ( x ) 是減函數(shù) .3ax 2 + 6x - 1 0( x R) a 0 且 = 36+ 12a 0a - 3.limnn.(解答見(jiàn)本刊 2004年第 9期 P39

28、)( 18) 天津卷理 ( 20) 已知函數(shù) f ( x ) = ax 3 +所以 , 當(dāng) a - 3時(shí) , 由 f( x ) 0, f ( x ) ( x R)是減函數(shù) ;( ) 當(dāng) a = - 3 時(shí) ,f (x ) = - 3x 3 + 3x 2 - x + 1= - 3(x - 1 ) 3 + 8 ,bx 2 - 3x 在 x = 1處取得極值 .( 1) 討論 f ( 1) 和 f ( - 1) 是函數(shù) f ( x ) 的極大值還是極小值 .( 2) 過(guò)點(diǎn) A ( 0, 16)作曲線 y = f ( x ) 的切線 ,求此切線方程 .39(解答見(jiàn)本刊 2004年第 8期 P38)40

29、中學(xué)數(shù)學(xué)2004年第 10期( 19) 天津卷文 ( 21) 已知函數(shù) f (x ) = ax3 + cx+ d (a 0) 是 R上的奇函數(shù) , 當(dāng) x = 1時(shí) f ( x ) 取得極 值 - 2.( 1) 求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間和極大值;( 2) 證 明: 對(duì)任意 x 1 , x 2 ( - 1, 1) , 不等式|f ( x 1 ) - f ( x 2 )| - 1, c 0, 函數(shù)f ( x ) = x + b的圖像與函數(shù) g( x ) = x 2 + bx + c的F( x ) 的極小值點(diǎn).綜上所述 , 當(dāng)且僅當(dāng) 0時(shí) ,函數(shù) F ( x ) 在( - , + ) 上有極值點(diǎn).由 = 4(b2 - 3c ) 0,得b 3c .b = - 1+ 2c ,- 1+ 2c 3c .解之得 0 c 7+ 43 .故所求 c的取值范圍是( 0, 7 - 43 ) ( 7+ 43 , + ) .( 24) 湖南卷理 ( 20) 已知函